항공우주102 해밀톤 방정식 (Hamilton’s Equation) 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)은 \(n\) 개의 2차 미분 방정식으로 구성되어 있다. 이 방정식을 \(2n\) 개의 1차 미분 방정식으로 재 구성한 것이 해밀톤 방정식(Hamilton's equation)이다. 먼저 일반화된 운동량(generalized momentum)을 다음과 같이 정의한다. \[ p_i= \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}, \ \ \ \ \ i=1, 2, ... , n \tag{1} \] 이어서 해밀토니안 함수(Hamiltonian function)를 다음과 같이 정의하고, \[ H= \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i-L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \tag{2} \] 일반화된 속도.. 2021. 8. 8. 라그랑지 방정식 (Lagrange’s Equation) 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)과 해밀톤 방정식(Hamilton's equation)은 해석 동역학(analytical dynamics)의 근간을 이룬다. 라그랑지 방정식은 해밀톤의 원리(Hamilton's principle)를 일반화 좌표로 표현한 2차 미분 방정식이며, 해밀톤 방정식은 라그랑지 방정식으로부터 유도할 수 있는 1차 미분 방정식이다. \(N\) 개의 질점으로 이루어진 홀로노믹(holonomic) 시스템이 있다고 하자. 그러면 \(N\) 개의 질점의 위치벡터를 일반화 좌표 \(q_i\) 를 이용하여 표현하면 다음과 같다. \[ \mathbf{r}_k= \mathbf{r}_k (q_1, q_2, ... , q_n, t), \ \ \ \ \ k=1, 2, ... ,N \t.. 2021. 8. 8. 일반화 좌표 (Generalized Coordinate) \(N\) 개의 질점으로 이루어진 시스템이 있다고 하자. 각 질점의 위치는 \(N\) 개의 위치 벡터 \(\mathbf{r}_k=\mathbf{r}_k (x_k, y_k, z_k ), \ \ k=1,...,N\) 으로 표현할 수 있다. 여기서 \(x_k, y_k, z_k\) 는 \(k\) 번째 질점의 위치를 직교 좌표계(Cartesian coordinate)로 표시한 좌표다. 질점이 운동할 경우 질점의 각 위치를 시간의 함수 \(x_k (t), y_k (t), z_k (t)\) 로 표현하면 된다. 그러면 3차원 공간상에 \(N\) 개의 운동 궤적이 나타날 것이다. 그런데 만약 \(3N\) 차원 공간이 있다면 \(N\) 개의 질점으로 이루어진 시스템의 운동을 한 점의 운동으로 표현할 수 있지 않을까. 이와.. 2021. 8. 8. 해밀톤의 원리 (Hamilton’s Principle) \(N\) 개의 질점으로 이루어진 시스템이 있다고 하자. 각 질점에 작용하는 합력을 \(\mathbf{R}_k\) 이라고 할 때 시스템이 정적 평형 상태에 있다면 \(\mathbf{R}_k=0\) 이다. 그러면 합력이 질점에 하는 가상일(virtual work)은 \(\mathbf{R}_k \cdot \delta \mathbf{r}_k = 0 \) 이다. 전체 시스템에 대한 가상일은 각 질점의 가상일을 모두 합하면 된다. 전체 가상일도 \(0\) 이다. \[ \delta W= \sum_{k=1}^N \mathbf{R}_k \cdot \delta \mathbf{r}_k = 0 \tag{1} \] 이제 합력을 외력 \(\mathbf{F}_k\) 와 구속력 \(\mathbf{F}_k^\prime\) 의 합으로.. 2021. 8. 4. 홀로노믹 구속 (Holonomic Constraint)과 가상 변위 어떤 시스템을 구성하고 있는 질점들이 자유롭게 움직이지 못하고 운동학적으로 제약을 받고 있다면 그 시스템은 구속(constraint)되어 있다고 한다. 그리고 운동학적인 제약사항을 위치, 속도, 시간 등의 함수로 표현한 것을 구속조건 식이라고 한다. 예를 들면 3차원 공간 상에 두 질점이 길이가 \(L\) 인 막대기로 연결되어 있을 경우, 두 질점은 자유롭게 운동하지 못하고 다음 구속조건 식을 만족하면서 운동해야 한다. \[ (x_1-x_2 )^2+(y_1-y_2 )^2+(z_1-z_2 )^2=L^2 \tag{1} \] 구속조건은 구속조건식의 형태에 따라 크게 홀로노믹 구속(holonomic constraint)과 비홀로노믹 구속(nonholonomic constraint)으로 분류된다. 홀로노믹 구속은.. 2021. 8. 4. 포텐셜 에너지 (Potential Energy) 직교 좌표계(Cartesian frame)에서 어떤 질점 \(m\) 에 힘 \(\mathbf{F}\) 가 가해지고 이로 인하여 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안에 질점의 위치가 \(\mathbf{r}\) 에서 \(\mathbf{r}+d\mathbf{r}\) 로 변화했을 때, 힘 \(\mathbf{F}\) 가 한 일(work)은 다음과 같이 정의된다. \[ dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \] 여기서 \(d\mathbf{r}\) 을 극소 변위(infinitesimal displacement)라고 하고 \(dW\) 를 극소 일이라고 한다. 뉴턴 운동 법칙에 의해서 \(\mathbf{F}=m \ddot{\mathbf{r}}\) 이므로 위 식에 대입하면 일 \(dW\) 는 다음과 같.. 2021. 8. 3. [CR3BP] 자코비 적분 (Jacobi Integral) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 6. 16. 기본 운동학 방정식 (BKE) 동일한 벡터라도 좌표계가 달라지면 그 표현이 달라진다. 뿐만 아니라 동일한 벡터를 시간 미분할 때도 미분을 수행하는 좌표계가 달라지면 그 값이 달라진다. 예를 들어 어떤 원판의 중심에서 원판 위의 한점을 가리키는 위치 백터 \(\vec{r}\)이 있다고 하자. 이 원판이 회전하고 관찰자 A도 원판의 중심에서 원판과 같이 회전한다고 하자. 그러면 관찰자 A에게는 시간이 흘러도 벡터 \(\vec{r}\)의 크기와 방향이 바뀌지 않고 그대로일 것이므로, 이 벡터를 시간에 대해서 미분한다면 관찰자 A는 그 값을 \(0\)이라고 할 것이다. 반면에 원판의 중심에 또다른 관찰자 B가 있다고 하자. 관찰자 B는 원판이 회전함에도 불구하고 원판과는 별개로 그대로 있다고 하자(약간 공중 부양해 있다고 가정). 그러면 관.. 2021. 4. 13. 각속도 벡터 각속도 벡터(angular velocity vector)는 어떤 좌표계를 기준으로 다른 좌표계가 회전 운동할 때, 회전축과 회전 속력을 나타내기 위한 벡터다. 각속도 벡터의 크기는 회전 속력의 크기인 각속력을 나타내고, 각속도 벡터의 방향은 기준 좌표계에 대하여 회전 운동하는 좌표계의 순간적인 회전축 방향을 나타낸다. 각속력의 크기뿐만 아니라 회전축 방향도 순간순간 변할 수 있으므로 각속도 벡터는 시간의 함수다. 좌표계 \(\{b\}\)가 좌표계 \(\{a\}\)를 기준으로 회전 운동할 때, 좌표계 \(\{a\}\)에서 본 좌표계 \(\{b\}\)의 각속도 벡터는 \(^a \vec{\omega}^b\)로 표기한다. 예를 들어서 원판이 점 \(O\)를 중심으로 일정한 각속력 \(\omega_0\)로 회전하.. 2021. 4. 13. [CR3BP] 라그랑지 포인트 (Lagrange Point) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 4. 10. 이전 1 ··· 5 6 7 8 9 10 11 다음
