원형 지구 가정에 의한 미사일 운동 방정식 유도

지구는 자전의 영향으로 약간 타원형이다. 그래서 위도와 경도를 계산하기가 복잡하고, 지면과 수직인 방향이 지구의 중심을 향하지 않기 때문에 수식 전개가 어려워진다. 하지만 지구가 타원형이 아니고 원형이라고 가정하면 이러한 문제가 해결된다.

지구는 이심율이 매우 작은 거의 원형에 가까운 타원형이기 때문에 원형 지구 가정은 지구 재진입 비행체나 중/장거리 미사일의 운동 방정식을 세울 때 많이 사용된다.

 

 

원형 지구 가정에 의해서 다음 식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} & \vec{r}=-r \ \hat{n}_3 \tag{1} \\ \\ & r=R_{mean}+h \\ \\ & \vec{g}=g \ \hat{n}_3 \end{align} \]

 

여기서 \(R_{mean}\) 은 지구 평균 반지름이고 \(h\) 는 지면에서의 고도, \(\{n\}\) 은 이동 NED 좌표계(moving local tangent frame)이다.

ECEF 좌표계에서 미사일의 운동 방정식을 다음과 같이 구한 바 있다(일반적으로 미사일 운동을 위한 좌표계는 \(\{i\} \to \{e\} \to \{n\} \to \{d\} \to \{m\} \to \{b\}\) 순으로 전개된다).

 

\[ \frac{^ed \vec{V}}{dt}= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+\vec{g}+\frac{\vec{T}}{m}- 2 ^i\vec{\omega}^e \times \vec{V} - ^i \vec{\omega}^e \times \left( ^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \tag{2} \]

 

먼저 속도벡터를 좌표계 \(\{d\}\) 에서 미분해 보자. 식 (2)와 BKE를 이용하면 다음 관계식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} \frac{^d d \vec{V}}{dt} &= \frac{^e d \vec{V}}{dt} + ^d \vec{\omega}^e \times \vec{V} \tag{3} \\ \\ &= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+\vec{g}+\frac{\vec{T}}{m} \\ \\ & \ \ \ \ \ - 2 ^i\vec{\omega}^e \times \vec{V} - ^i \vec{\omega}^e \times \left( ^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) + ^d \vec{\omega}^e \times \vec{V} \end{align} \]

 

방향코사인행렬, 오일러각, 그리고 쿼터니언 | 박성수 | 딥웨이브- 교보ebook

 

식 (3)을 좌표계 \(\{d\}\) 로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{V}^d &= - \left(2[\omega_{ie}^d \times ]+ [\omega_{ed}^d \times] \right) V^d + \frac{C_m^d L^m}{m}+ \frac{D^d}{m} \tag{4} \\ \\ & \ \ \ \ + C_n^d g^n +\frac{C_b^d T^b}{m}-[\omega_{ie}^d \times]^2 r^d \end{align} \]

 

여기서 \(^d \vec{\omega}^e =- ^e \vec{\omega}^d\) 임을 이용하였다. \(^e \vec{\omega}^d\) 는 연쇄법칙을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ ^e \vec{\omega}^d = \ ^e \vec{\omega}^n + \ ^n \vec{\omega}^d \tag{5} \]

 

먼저 \(^e \vec{\omega}^n\) 을 좌표계 \(\{n\}\) 으로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \omega_{en}^n &= C^T (y, \ -\frac{\pi}{2}- \lambda_{lat}) \left( \begin{bmatrix} 0 \\ - \dot{\lambda}_{lat} \\ 0 \end{bmatrix} + C^T (z, \lambda_{lon} ) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\lambda}_{lon} \end{bmatrix} \right) \tag{6} \\ \\ &= \begin{bmatrix} \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \\ -\dot{\lambda}_{lat} \\ -\dot{\lambda}_{lon} \sin \lambda_{lat} \end{bmatrix} \end{align} \]

 

여기서 \( \lambda_{lon}\) 는 경도, \(\lambda_{lat}\) 는 위도다.

\(^n \vec{\omega}^d\) 를 좌표계 \(\{d\}\) 로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \omega_{nd}^d = C_n^d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{\gamma} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \dot{\psi} \sin \gamma \\ \dot{\gamma} \\ \dot{\psi} \cos \gamma \end{bmatrix} \tag{7} \]

 

따라서 \(\omega_{ed}^d\) 는 식 (6)과 (7)을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \omega_{ed}^d &= C_n^d \omega_{en}^n+ \omega_{nd}^d \tag{8} \\ \\ &= \begin{bmatrix} \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \cos \psi \cos \gamma - \dot{\lambda}_{lat} \sin⁡ \psi \cos \gamma + \dot{\lambda}_{lon} \sin⁡ \lambda_{lat} \sin \gamma - \dot{\psi} \sin \gamma \\ - \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \sin \psi - \dot{\lambda}_{lat} \cos \psi + \dot{\gamma} \\ \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma - \dot{\lambda}_{lat} \sin⁡ \psi \sin \gamma - \dot{\lambda}_{lon} \sin⁡ \lambda_{lat} \cos \gamma + \dot{\psi} \cos \gamma \end{bmatrix} \end{align} \]

 

\(\omega_{ie}^d\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \omega_{ie}^d &= C_e^d \omega_{ie}^e \tag{9} \\ \\ &= \begin{bmatrix} \omega_{ie} \cos⁡ \lambda_{lat} \cos \psi \cos \gamma + \omega_{ie} \sin \lambda_{lat} \sin \gamma \\ - \omega_{ie} \cos \lambda_{lat} \sin \psi \\ \omega_{ie} \cos⁡ \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma - \omega_{ie} \sin \lambda_{lat} \cos \gamma \end{bmatrix} \end{align} \]

 

\(r^d\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ r^d=C_n^d r^n= \begin{bmatrix} r \sin \gamma \\ 0 \\ -r \cos \gamma \end{bmatrix} \tag{10} \]

 

\( [ \omega_{ie}^d \times ]^2 r^d\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ [ \omega_{ie}^d \times]^2 r^d = \begin{bmatrix} r \omega_{ie}^2 \left( \cos⁡ \lambda_{lat} \sin \lambda_{lat} \cos \psi \cos \gamma - \cos^2⁡ \lambda_{lat} \sin \gamma \right) \\ r \omega_{ie}^2 \cos \lambda_{lat} \sin \lambda_{lat} \sin \psi \\ r \omega_{ie}^2 \left( \cos⁡ \lambda_{lat} \sin \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma + \cos^2⁡ \lambda_{lat} \cos \gamma \right) \end{bmatrix} \tag{11} \]

 

\( [\omega_{ie}^d \times ] V^d\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ [ \omega_{ie}^d \times ] V^d = \begin{bmatrix} 0 \\ V \omega_{ie} \cos \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma - V \omega_{ie} \sin \lambda_{lat} \cos \gamma \\ V \omega_{ie} \cos \lambda_{lat} \sin \psi \end{bmatrix} \tag{12} \]

 

\( [ \omega_{ed}^d \times ] V^d\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ [ \omega_{ed}^d \times] V^d = \begin{bmatrix} 0 \\ ( V \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma - V \dot{\lambda}_{lat} \sin⁡ \psi \sin \gamma \\ -V \dot{\lambda}_{lon} \sin \lambda_{lat} \cos \gamma + V \dot{\psi} \cos \gamma ) \\ V \dot{\lambda}_{lon} \cos \lambda_{lat} \sin \psi +V \dot{\lambda}_{lat} \cos \psi - V \dot{\gamma} \end{bmatrix} \tag{13} \]

 

\(C_m^d L^m\) 은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ C_m^d L^m = \begin{bmatrix} 0 \\ L \sin \sigma \\ -L \cos \sigma \end{bmatrix} \tag{14} \]

 

\(C_n^d g^n\) 은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ C_n^d g^n= \begin{bmatrix} -g \sin \gamma \\ 0 \\ g \cos \gamma \end{bmatrix} \tag{15} \]

 

\(C_b^d T^b\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ C_b^d T^b= \begin{bmatrix} T \cos \epsilon \\ T \sin \sigma \sin \epsilon \\ -T \cos \sigma \sin \epsilon \end{bmatrix} \tag{16} \]

 

 

 

종합하면 식 (4)의 벡터를 각 성분별로 정리하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \dot{V} = - \frac{D}{m} + \frac{T \cos \epsilon}{m} -g \sin \gamma \tag{17} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{red} +r \omega_{ie}^2 \cos \lambda_{lat} \left( \cos⁡ \lambda_{lat} \sin \gamma - \sin \lambda_{lat} \cos \psi \cos \gamma \right) } \\ \\ \\ & \dot{\psi} = \frac{(L+T \sin \epsilon ) \sin \sigma}{mV \cos \gamma} {\color{red} + \frac{V \tan \lambda_{lat} \sin \psi \cos \gamma}{r} } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{red} -2 \omega_{ie} \left( \cos⁡ \lambda_{lat} \cos \psi \tan \gamma - \sin \lambda_{lat} \right) } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{red} + \frac{ r \omega_{ie}^2 \cos \lambda_{lat} \sin \lambda_{lat} \sin \psi }{V \cos \gamma} } \\ \\ \\ & \dot{\gamma} = \frac{(L+T \sin \epsilon ) \cos \sigma }{mV} - \frac{g \cos \gamma}{V} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{red} + \frac{V \cos \gamma}{r} + 2 \omega_{ie} \cos⁡ \lambda_{lat} \sin \psi } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{red} + \frac{r \omega_{ie}^2}{V} \cos \lambda_{lat} \left( \sin \lambda_{lat} \cos \psi \sin \gamma + \cos \lambda_{lat} \cos \gamma \right) } \end{align} \]

 

빨간색 부분은 ‘평평한 지구 가정’에 의해 유도된 식에서 추가된 항이다.

한편, 미사일의 위치를 계산하기 위하여 속도 관계식을 살펴보자. 속도 \(\vec{V}\) 는 지면에서의 상대 속도이므로

 

\[ \vec{V} = \frac{^e d \vec{r}}{dt} = \frac{ ^n d \vec{r}}{dt}+ \ ^e \vec{\omega}^n \times \vec{r} \tag{18} \]

 

이다. 속도벡터를 좌표계 \(\{n\}\) 으로 표현하면 다음 식이 성립한다.

 

\[ V^n=C_d^n V^d= \dot{r}^n+ [ \omega_{en}^n \times ] r^n \tag{19} \]

 

식 (19)를 풀어 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \dot{\lambda}_{lat} = \frac{V \cos \psi \cos \gamma}{r} \tag{20} \\ \\ & \dot{\lambda}_{lon}= \frac{V \sin \psi \cos \gamma}{r \cos \lambda_{lat}} \\ \\ & \dot{r} = V \sin \gamma \end{align} \]