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항공우주/우주역학

ECEF 좌표계와 LLH 좌표계

by 세인트 워터멜론 2021. 12. 30.

지구중심지구고정 좌표계(ECEF, earth-centered earth-fixed frame)는 지구의 중심에 원점이 위치하며 지구에 고정되어 있어서 지구와 함께 자전하는 좌표계이다.

 

 

지구와 함께 자전한다는 점에서 ECI 좌표계와는 다르다. 기호로는 {e}로 표시한다.

 

 

좌표계의 \(\hat{e}_1-\hat{e}_2\) 평면은 지구의 적도면에 위치한다. \(\hat{e}_3\) 축은 ECI 좌표계의 \(\hat{i}_3\) 와 같은 방향으로 지구의 자전축 방향이며 \(\hat{e}_1\) 축은 지구 적도와 그리니치(Greenwich) 자오선이 만나는 점을 향한다. \(\hat{e}_2\) 축은 오른손 법칙에 의해 정해진다.

ECI 좌표계에 대한 ECEF 좌표계의 각속도 벡터는 \(^i \vec{\omega}^e =\omega_{ie} \hat{e}_3\) 이며 지구자전 각속도 \(\omega_{ie}\) 는 약 \(360^0/day\) 로서 WGS-84(World Geodetic System 1984)의 국제 표준값은 \(\omega_{ie}=7.291151467 \times 10^{-5} \ rad/sec\) 이다.

ECI좌표계에서 ECEF좌표계로의 DCM(방향코사인행렬)은 다음과 같다.

 

\[ C_e^i=C(z, \theta_g )= \begin{bmatrix} \cos⁡ \theta_g & -\sin \theta_g & 0 \\ \sin⁡ \theta_g & \cos \theta_g & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{1} \]

 

여기서 \(\theta_g\) 는 ECI 좌표계에서 ECEF 좌표계로의 회전각으로 그리니치 평균항성시(GMST, Greenwich Mean Sidereal Time) 또는 그리니치 각이라고 한다.

LLH(latitude-longitude-height) 좌표계는 물체의 위치를 위도, 경도, 높이로 표시하는 좌표계로서 지리 좌표계(geodetic frame)라고도 한다.

다음 그림에서 점 \(P\) 는 LLH 좌표계로 표현하고자 하는 관심 위치이며 점 \(P^\prime\) 은 중력가속도 방향으로 지구 자오선, 즉 타원상에 투사한 점이다. 지구는 자전의 영향으로 적도부분이 약간 부풀어 오른 타원체이다. 중력가속도 방향은 지구 중심을 향하지 않으며 타원의 접선과 직각방향이라는 데 주의해야 한다.

 

 

경도 (\(\lambda_{lon}\))는 그리니치 자오선 평면과 점 \(P^\prime\) 을 통과하는 자오선 평면과의 각도로 정의하며, 위도 (\(\lambda_{lat}\))는 점 \(P^\prime\) 에서 중력가속도 방향과 적도면과의 각도로 정의한다. 높이 (\(h\))는 점 \(P^\prime\) 과 \(P\) 의 거리로 정의하는데, 기하학적으로 정의된 지구 타원과 실제 지표와는 다르기 때문에 일반적인 지표상의 높이와는 다르다.

LLH 좌표계는 직교 좌표계가 아니기 때문에 DCM 관계식으로는 표현할 수 없다. ECEF 좌표계와 LLH 좌표계간의 상호 변환식을 유도해 보자.

 

 

다음 그림과 같이 점 \(P\) 를 관심 위치, 벡터 \(\vec{r}\) 을 점 \(P\) 까지의 위치벡터, 점 \(P^\prime\) 을 지표상의 투사점이라고 하자. ECEF 좌표계의 \(\hat{e}_3\) 축으로 경도 \(\lambda_{lon}\) 만큼 회전시켜 만든 임시 좌표계를 \(\{t\}\) 좌표계라고 한다.

 

 

지구 중심에서 점 \(P^\prime\) 까지의 거리를 \(r_0\) 라고 하고, \(\hat{t}_1\) 축과의 각을 지구중심 위도 \(\lambda_c\) 라고 한다. 점 \(P^\prime\) 의 \(\hat{t}_1\) 축과 \(\hat{t}_3\) 축으로의 성분을 각각 구하면 다음과 같다.

 

\[ x=r_0 \cos \lambda_c, \ \ \ z=r_0 \sin⁡ \lambda_c \tag{2} \]

 

위 식으로부터 \(\lambda_c\) 를 구하면

 

\[ \tan \lambda_c = \frac{z}{x} \tag{3} \]

 

이다. 한편 점 \(P^\prime\) 은 지구 타원상의 한 점이므로 다음 식을 만족한다.

 

\[ \frac{x^2}{R_{eq}^2 }+ \frac{z^2}{R_{po}^2 }=1 \tag{4} \]

 

여기서 \(R_{eq}\) 는 지구 적도 반지름, \(R_{po}\) 는 극 반지름이다. 식 (2)를 (4)에 대입하면,

 

\[ r_0= \left( \frac{ \cos^2 \lambda_c }{ R_{eq}^2 } + \frac{ \sin^2 \lambda_c }{R_{po}^2 } \right)^{-1/2} \tag{5} \]

 

가 된다. 점 \(P^\prime\) 에서 접선을 구하기 위하여 식 (4)를 미분하면,

 

\[ \frac{ 2xdx}{R_{eq}^2} + \frac{2zdz}{R_{po}^2 }=0 \tag{6} \]

 

이 되고, 이 식과 식 (3)으로부터 접선의 방정식은

 

\[ \frac{dx}{dz} = - \frac{R_{eq}^2}{R_{po}^2} \ \frac{2z}{2z} =- \frac{R_{eq}^2}{R_{po}^2 } \tan \lambda_c \tag{7} \]

 

로 구할 수 있다. 한편, 점 \(P^\prime\) 에서 접선은 다음 식으로도 구할 수 있으므로,

 

\[ \frac{-dx}{dz} = \tan \lambda_{lat} \tag{8} \]

 

식 (8)과 (7)을 이용하면 지구중심 위도 (\(\lambda_c\))와 위도 (\(\lambda_{lat}\))의 관계식을 다음과 같이 구할 수 있다.

 

\[ \tan \lambda_{lat} = \frac{ R_{eq}^2 }{R_{po}^2} \tan \lambda_c \tag{9} \]

 

길이 \(D\) 를 점 \(P^\prime\) 의 \(\hat{t}_1\) 축 성분이라고 하면 식 (5와 (9)를 이용하여 길이 \(D\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} D &= r_0 \cos \lambda_c = \frac{ \cos \lambda_c }{ \sqrt{ \frac{\cos^2⁡ \lambda_c }{R_{eq}^2 } + \frac{ \sin^2 \lambda_c }{R_{po}^2} } } \tag{10} \\ \\ &= \frac{ R_{eq}^2 \cos⁡ \lambda_{lat}} { \sqrt{ R_{eq}^2 \cos^2 \lambda_{lat} + R_{po}^2 \sin^2 \lambda_{lat} }} \end{align} \]

 

\(R_{po}^2=R_{eq}^2 (1-e_{er}^2)\) 의 관계식을 이용하면, 식 (10)은

 

\[ \begin{align} D &= \frac{ R_{eq} \cos⁡ \lambda_{lat} }{ \sqrt{1-e_{er}^2 \sin^2 \lambda_{lat}}} \tag{11} \\ \\ &= R_{tr} \cos \lambda_{lat} \end{align} \]

 

가 된다. 여기서 \(R_{tr}\) 을 접선반경(tangential radius)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ R_{tr} = \frac{ R_{eq} }{ \sqrt{1-e_{er}^2 \sin^2 \lambda_{lat}}} \tag{12} \]

 

한편 길이 \(B\) 도 길이 \(D\) 와 비슷한 방법으로 계산할 수 있으며 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} B &= \frac{r_0 \sin \lambda_c }{ \sin \lambda_{lat}} \tag{13} \\ \\ &= R_{tr} (1-e_{er}^2) \end{align} \]

 

이제, 관심 위치 점 \(P\) 를 임시 좌표계 \(\{t\}\) 로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \vec{r}= (D+h \cos⁡ \lambda_{lat}) \ \hat{t}_1 + (B+h) \sin \lambda_{lat} \ \hat{t}_3 \tag{14} \]

 

식 (11)과 (13)을 식 (14)에 대입하고, ECEF 좌표계와 임시 좌표계 \(\{t\}\) 간의 DCM이 \(C_t^e=C(z, \lambda_{lon})\) 임을 감안하여 식 (14)의 벡터 \(\vec{r}\) 을 ECEF 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ r^e = \begin{bmatrix} (R_{tr}+h) \cos \lambda_{lat} \cos \lambda_{lon} \\ (R_{tr}+h) \cos \lambda_{lat} \sin \lambda_{lon} \\ \left( R_{tr} (1-e_{er}^2 )+h \right) \sin \lambda_{lat} \end{bmatrix} \tag{15} \]

 

위 식이 LLH 좌표계에서 ECEF 좌표계로 좌표 변환하는 식이다.

 

 

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이와 반대로 ECEF 좌표계를 LLH 좌표계로 변환하는 문제는 간단치 않으며 반복계산법이 요구된다. 우선 관심 위치가 ECEF 좌표계에서 다음과 같이 주어졌다고 가정한다.

 

\[ r^e= \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & r_3 \end{bmatrix}^T \tag{16} \]

 

식 (16)은 식 (15)와 같기 때문에 두 식으로부터 경도 \(\lambda_{lon}\) 를 구하면 다음과 같다.

 

\[ \frac{ r_2}{ r_1} = \frac{ \sin \lambda_{lon}} {\cos⁡ \lambda_{lon}} = \tan \lambda_{lon} \tag{17} \]

 

높이 \(h\) 를 구하기 위하여 식 (15)와 식 (16)의 \(r_1\) 과 \(r_2\) 를 이용하면

 

\[ \sqrt{r_1^2+r_2^2 }= (R_{tr}+h) \cos⁡ \lambda_{lat} \tag{18} \]

 

와 같다. 따라서 \(h\) 는 위도 \(\lambda_{lat}\) 이 주어지면 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ h= \frac{ \sqrt{r_1^2+r_2^2 }}{ \cos \lambda_{lat}} -R_{tr} \tag{19} \]

 

한편, 식 (15)에서 \(r_3\) 를 이용하면,

 

\[ \frac{r_3}{ \sqrt{r_1^2+r_2^2 }} = \frac{ \left( R_{tr} (1-e_{er}^2 )+h \right) \sin \lambda_{lat} }{(R_{tr}+h) \cos \lambda_{lat}} \tag{20} \]

 

가 되므로 높이 \(h\) 가 주어지면 \(\lambda_{lat}\) 은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \tan \lambda_{lat} = \frac{r_3}{ \sqrt{r_1^2+r_2^2 }} \left( 1- \frac{e_{er}^2 R_{tr}}{R_{tr}+h} \right)^{-1} \tag{21} \]

 

위 식은 겉보기에 명시적(explicit)인 식으로 보이지만 접선반경 \(R_{tr}\) 도 \(\lambda_{lat}\) 의 함수이기 때문에 암시적(implicit)인 식임에 주의해야 한다.

높이 \(h\) 와 위도 \(\lambda_{lat}\) 은 식 (19)와 (21)을 이용하여 반복계산법으로 구하면 된다. 즉,

 

\[ \mbox{guess } \lambda_{lat} \to R_{tr} \to h \to \lambda_{lat} \to R_{tr} \to h \to \cdots \]

 

 

 

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