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항공우주102

방향코사인행렬 (DCM) DCM은 Direction Cosine Matrix의 약자다. 방향코사인행렬 또는 회전행렬(rotation matrix)이라고 한다. 기호로는 \(C_b^a\) 라고 쓰고 위 첨자와 아래 첨자에 각각 좌표계를 표시한다. 그리고 좌표계 \(\{a\}\)에서 좌표계 \(\{b\}\)로의 DCM이라고 읽는다. DCM은 \(3 \times 3\) 행렬이다. 그러면 9개의 행렬 성분(element)이 있는데, 각각은 다음과 같이 정의한다. \[ C_b^a = \begin{bmatrix} \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_2 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_3 \\ \hat{a}_2 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_2 \cdot.. 2021. 2. 6.
벡터를 직교 좌표계로 표현하기 스칼라(scalar)는 크기만 가진 어떤 양이다. 반면에 벡터(vector)는 크기와 방향을 갖는 양이다. 벡터는 통상적으로 영문 소문자위에 화살표로 표기한다. 즉 벡터 \(u\)는 \(\vec{u}\)로 표기한다. 또한 벡터는 화살표로 그린다. 화살표의 크기는 벡터의 크기를 나타내며, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다. 벡터의 크기는 벡터의 절대값으로 표기한다. 벡터 \(\vec{u}\)의 크기는 \(\left\vert \vec{u} \right\vert\)다. 두 개의 벡터는 크기와 방향이 모두 같으면 '같다'고 한다. 아래 그림에서 두 벡터 \(\vec{u}\)와 \(\vec{w}\)는 출발점이 다르지만 크기와 방향이 같으므로 같다. 즉, \(\vec{u}=\vec{w}\) 이다. 벡터는 특정.. 2021. 2. 5.
직교 좌표계 물체의 위치와 운동을 표현하기 위해서는 기준점과 기준 좌표계(reference frame)가 필요하다. 기준점을 좌표계의 원점이라고 하며 물체의 위치를 기준점으로부터 좌표계의 각 축 방향으로 얼마큼 떨어져 있는지 숫자로 나타낸다. 좌표계로는 좌표계의 각 축이 직각을 이루는 직교 좌표계(Cartesian coordinate system)가 주로 사용되지만, 원통 좌표계(cylindrical coordinate system)와 구 좌표계(spherical coordinate system)등도 많이 사용된다. 직교 좌표계에서는 3차원 공간의 경우 통상적으로 각 축을 \(x, y, z\)축이라고 하든가 아니면 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) 축이라고 표기한다. 하지만, 좌표계가 여러 개가 .. 2021. 2. 5.
기본 궤도 미분 방정식을 풀기 위한 조건 기본 궤도 미분 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{ dt^2 } + \frac{ \mu }{ r^3 } \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu =GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식을 유도하는데 다음 3가지 가정을 전제로 했다. 먼저 질량 \(m\)은 질량 M에 비해서 무시할 수 있을 정도로 작다. 둘째, 질점 \(M\)은 말 그대로 질점이거나 또는 질점으로 간주할 수 있는 완전한 원구체이며 만유인력은 원구체의 중심을 향한다. 셋째, 질점 \(M\)과 \(m\)사이에 작용하는 힘은 만유인력 밖에 .. 2021. 1. 12.
더 단순화된 이체문제 이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다. 두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다. \[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \] 이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다. \[ M≫m \tag{3} \] 그러면 \(M+m \approx .. 2021. 1. 12.
기본 궤도 미분 방정식 전 우주에 물체가 딱 2개 밖에 없다고 가정한다. 이 2개의 물체도 질점(부피와 모양이 없이 질량만 가진 물체)이라고 가정한다. 질량이 있으므로 두 질점 사이에는 만유인력이 작용한다. 이런 조건에서 이 두 질점의 운동 방정식을 세워보려고 한다. 이와 같이 '만유인력 하에서의 두 질점의 운동에 관한 문제'를 이체문제(two-body problem)라고 한다. 그림과 같이 질량 \(M\)과 질량 \(m\)인 두 질점이 거리 \(r\)만큼 떨어져 있고, 두 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다. 그림에는 관성좌표계 \(\{i\}\)도 표시했다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 관성좌표계가 필요하기 때문이다. 그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 \(M\)에는 질점 \(m\)방향으로 힘이 작용하므로 질점.. 2021. 1. 11.
이체문제 (Two-Body Problem) 천문역학의 기초는 17세기에 정립되었다. 이 시기에 가장 큰 공헌을 한 사람은 티코 브라헤 (Tycho Brahe, 1546-1601), 요하네스 케플러 (Johanness Kepler, 1571-1630), 그리고 아이작 뉴턴 (Isaac Newton, 1642-1727)이다. 덴마크 출신의 관측 천문학자인 브라헤는 수십년간 행성의 운동을 관측하고 그 위치를 기록하였는데 당시 망원경이 사용되기 전에 육안으로 관측할 수 있는 가장 정확한 관측기록을 남긴 것으로 평가받고 있다. 브라헤의 정밀하고 방대한 관측 자료를 인계받은 독일의 천문학자 케플러는 그의 자료를 분석하여 행성운동에 관한 3가지 법칙을 만들었다. 1609년에 행성의 운동에 관한 제1법칙인 타원궤도의 법칙과 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙을 발.. 2021. 1. 11.
자이로스코프 효과 과학관에 가면 자이로스코프 효과(gyroscopic effect)가 무엇인지 몸으로 느끼게 해주는 장치가 있다. 바로 손잡이가 달려있는 자전거 바퀴와 회전의자다. 처음에는 관람객에게 자전거 바퀴를 양손에 쥐게 한 후 회전의자에 앉힌다. 그리고 회전의자를 돌린다. 그러면 아무런 일도 일어나지 않는다. 이번에는 자전거 바퀴를 손으로 잡아당겨 빠르게 회전시킨다. 그리고 관람객이 앉아 있는 회전의자를 돌린다. 그러면 이번에는 마치 유령이 자전거 바퀴를 비트는 듯한 느낌이 온다. 손으로 꽉 잡지 않으면 자전거 바퀴가 비틀어진다. 매우 신기한 일이다. 이것이 자이로스코프 효과라고 불리는 현상이다. 자이로스코프 효과는 회전하는 물체의 회전축에 모멘트를 가했을 때 모멘트의 회전 방향대로 회전축이 움직이지 않고 그 직각.. 2021. 1. 10.
만유인력의 법칙 뉴턴의 만유인력의 법칙(law of universal gravitation)은 질량을 가진 물체사이에 작용하는 인력(끌어당기는 힘)에 관한 것으로서 뉴턴은 이 법칙을 제2법칙과 결합하여 행성의 운동을 해석하고 케플러 법칙을 증명하였다. 만유인력의 법칙에 의하면 두 질점 간의 인력은 두 질점을 연결한 선과 평행하게 작용하며 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하고 두 질점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[ \begin{align} \vec{F}_1 &= G \frac{Mm}{r^2} \hat{e}_r \tag{1} \\ \\ &= G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} \end{align} \] 여기서 \(M, m \)은 두 질점의 질량, \.. 2021. 1. 10.
경로 좌표계와 극 좌표계 비슷해 보이지만 서로 다른 좌표계가 있다. 경로 좌표계(path coordinate)와 극 좌표계(polar coordinate)이다. 경로 좌표계는 물체가 이동하는 경로를 따라 각 지점에서 물체의 속도 방향(tangential component, \(\hat{e}_t \))과 경로의 곡률 중심(center of curvature) 방향(normal component, \(\hat{e}_n \))을 좌표축으로 삼는다. 그래서 Tangential-Normal 좌표계라고도 한다. 경로가 미리 정해져 있거나 혹은 가늠할 수 있는 경로를 따라 움직이는 물체의 운동을 표현할 때 편리한 좌표계다. 예를 들면 롤러코스터나 자동차 또는 인공위성 등의 운동이 이에 해당한다. 위 그림에서 \(\{a\}\)는 기준 좌표계고.. 2021. 1. 9.

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