항공우주118 더 단순화된 이체문제 이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다. 두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다. \[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \] 이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다. \[ M≫m \tag{3} \] 그러면 \(M+m \approx .. 2021. 1. 12. 기본 궤도 미분 방정식 전 우주에 물체가 딱 2개 밖에 없다고 가정한다. 이 2개의 물체도 질점(부피와 모양이 없이 질량만 가진 물체)이라고 가정한다. 질량이 있으므로 두 질점 사이에는 만유인력이 작용한다. 이런 조건에서 이 두 질점의 운동 방정식을 세워보려고 한다. 이와 같이 '만유인력 하에서의 두 질점의 운동에 관한 문제'를 이체문제(two-body problem)라고 한다. 그림과 같이 질량 \(M\)과 질량 \(m\)인 두 질점이 거리 \(r\)만큼 떨어져 있고, 두 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다. 그림에는 관성좌표계 \(\{i\}\)도 표시했다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 관성좌표계가 필요하기 때문이다. 그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 \(M\)에는 질점 \(m\)방향으로 힘이 작용하므로 질점.. 2021. 1. 11. 이체문제 (Two-Body Problem) 천문역학의 기초는 17세기에 정립되었다. 이 시기에 가장 큰 공헌을 한 사람은 티코 브라헤 (Tycho Brahe, 1546-1601), 요하네스 케플러 (Johanness Kepler, 1571-1630), 그리고 아이작 뉴턴 (Isaac Newton, 1642-1727)이다. 덴마크 출신의 관측 천문학자인 브라헤는 수십년간 행성의 운동을 관측하고 그 위치를 기록하였는데 당시 망원경이 사용되기 전에 육안으로 관측할 수 있는 가장 정확한 관측기록을 남긴 것으로 평가받고 있다. 브라헤의 정밀하고 방대한 관측 자료를 인계받은 독일의 천문학자 케플러는 그의 자료를 분석하여 행성운동에 관한 3가지 법칙을 만들었다. 1609년에 행성의 운동에 관한 제1법칙인 타원궤도의 법칙과 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙을 발.. 2021. 1. 11. 자이로스코프 효과 과학관에 가면 자이로스코프 효과(gyroscopic effect)가 무엇인지 몸으로 느끼게 해주는 장치가 있다. 바로 손잡이가 달려있는 자전거 바퀴와 회전의자다. 처음에는 관람객에게 자전거 바퀴를 양손에 쥐게 한 후 회전의자에 앉힌다. 그리고 회전의자를 돌린다. 그러면 아무런 일도 일어나지 않는다. 이번에는 자전거 바퀴를 손으로 잡아당겨 빠르게 회전시킨다. 그리고 관람객이 앉아 있는 회전의자를 돌린다. 그러면 이번에는 마치 유령이 자전거 바퀴를 비트는 듯한 느낌이 온다. 손으로 꽉 잡지 않으면 자전거 바퀴가 비틀어진다. 매우 신기한 일이다. 이것이 자이로스코프 효과라고 불리는 현상이다. 자이로스코프 효과는 회전하는 물체의 회전축에 모멘트를 가했을 때 모멘트의 회전 방향대로 회전축이 움직이지 않고 그 직각.. 2021. 1. 10. 만유인력의 법칙 뉴턴의 만유인력의 법칙(law of universal gravitation)은 질량을 가진 물체사이에 작용하는 인력(끌어당기는 힘)에 관한 것으로서 뉴턴은 이 법칙을 제2법칙과 결합하여 행성의 운동을 해석하고 케플러 법칙을 증명하였다. 만유인력의 법칙에 의하면 두 질점 간의 인력은 두 질점을 연결한 선과 평행하게 작용하며 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하고 두 질점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[ \begin{align} \vec{F}_1 &= G \frac{Mm}{r^2} \hat{e}_r \tag{1} \\ \\ &= G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} \end{align} \] 여기서 \(M, m \)은 두 질점의 질량, \.. 2021. 1. 10. 경로 좌표계와 극 좌표계 비슷해 보이지만 서로 다른 좌표계가 있다. 경로 좌표계(path coordinate)와 극 좌표계(polar coordinate)이다. 경로 좌표계는 물체가 이동하는 경로를 따라 각 지점에서 물체의 속도 방향(tangential component, \(\hat{e}_t \))과 경로의 곡률 중심(center of curvature) 방향(normal component, \(\hat{e}_n \))을 좌표축으로 삼는다. 그래서 Tangential-Normal 좌표계라고도 한다. 경로가 미리 정해져 있거나 혹은 가늠할 수 있는 경로를 따라 움직이는 물체의 운동을 표현할 때 편리한 좌표계다. 예를 들면 롤러코스터나 자동차 또는 인공위성 등의 운동이 이에 해당한다. 위 그림에서 \(\{a\}\)는 기준 좌표계고.. 2021. 1. 9. 추력 방정식 탄도 미사일이나 발사체의 추력(thrust)은 로켓 엔진이 연료를 빠르게 분사하면서 생기는 반작용에 의해서 생성된다. 다음 그림은 로켓과 로켓에서 분사된 연료로 구성된 질점(particle) 시스템을 보여주고 있다. 추력 유도 과정을 간단하게 하기 위해서 로켓에는 대기 압력 이외에 다른 힘이 존재하지 않고 분사된 연료의 방향은 로켓 동체의 센터라인과 일치한다고 가정한다. 그림에서 \(\hat{e}_{ct}\)는 로켓 동체의 센터라인을 나타내는 방향 벡터다. 위에 있는 그림은 시간 \(t\)에서 질량 \(m\)인 로켓이 절대 속도 \(V\)로 \(\hat{e}_{ct}\) 방향으로 날아가는 것을 나타내고, 아래 그림은 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안에 로켓의 연소과정을 거쳐 적은 질량 \(\Delt.. 2021. 1. 9. 발사체의 발사 궤적 발사체에 작용하는 힘은 로켓 엔진에서 생성되는 추력(thrust), 공기 저항으로 인한 항력(drag), 그리고 중력이다. 추력과 비행 방향(또는 속도 방향)은 발사체의 동체 라인과 일치하며 항력은 속도의 반대 방향으로 작용한다. 중력은 지구의 중심 방향으로 작용한다. 다음 그림은 지표를 기준으로 발사체의 속도와 궤적을 그린 것이다. \(T\)는 추력, \(D\)는 항력, \(V\)는 속도, \(h\)는 고도, \(g\)는 중력 가속도, \(m\)은 질량, \(\gamma \)는 비행 경로각이다. 비행 경로각은 발사체의 속도 벡터와 수평면의 각도다. 지구가 둥글기 때문에 수평면은 발사체의 위치마다 달라서 국지적인 수평면(local horizon), 또는 지역 수평면이라고 한다. 지구 자전의 영향을 무시하.. 2021. 1. 8. 이전 1 ··· 9 10 11 12 다음
