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항공우주/우주역학15

[CR3BP-4] 자코비 적분 (Jacobi Integral) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 6. 16.
[CR3BP-3] 라그랑지 포인트 (Lagrange Point) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 4. 10.
[CR3BP-2] 운동방정식의 무차원화 원궤도제한삼체문제(CR3BP)의 운동방정식은 비선형 연립 미분방정식이므로 수치적으로 풀어야 하는데, 방정식에는 스케일이 크게 다른 항이 혼재되어 있다. 예를 들면 각속도 \(\omega_s\)는 매우 작은 값을 갖는 반면 질량, 거리 등은 매우 큰 값을 갖는다. 이와 같이 수치적 방법에서 스케일이 크게 다른 값이 혼재되어 있을 때 각 항들을 적절한 척도를 이용하여 스케일을 조정한다면 수치 오차를 최소화시킬 수 있다. CR3BP의 운동방정식을 무차원화(nondimensionalization)하여 수치 오차를 최소화하고 또한 사용되는 파라미터를 줄여 방정식을 단순화시켜 보자. 방정식을 무차원화하기 위해서는 먼저 기준 질량, 기중 거리, 기준 시간을 정해야 한다. 기준 질량 \(m_0\)으로서 두 주요(pri.. 2021. 4. 9.
[CR3BP-1] 운동방정식 유도 삼체문제(three-body problem)에서 세 질점 중 한 개의 질점의 질량 \(m_3\)이 다른 두 질점 \(m_1\), \(m_2\)보다 훨씬 작아서 무시할 수 있을 정도라고 가정해 보자. 그러면 질점 \(m_3\)는 두 질점 \(m_1\) 및 \(m_2\)에는 어떤 영향도 미치지 못할 것이므로 두 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)의 운동은 이체문제(two-body problem)로 간주할 있다. 이와 같이 삼체문제를 특수한 경우로 제한한 문제를 '제한된 삼체문제(restricted three-body problem)' 라고 한다. 제한된 삼체문제에서 두 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)의 운동은 이체문제를 따르므로 그 궤도는 두 질점 공통의 질량중심점을 중심으로 한 원, 타원, 포물선, 쌍.. 2021. 4. 8.
삼체문제 (Three-Body Problem) 이체문제(two-body problem)에서는 전 우주에 질점(point mass)이 딱 2개 밖에 없으며 두 질점 사이에는 만유인력만 작용한다는 가정하에서 두 질점의 운동에 관한 문제를 다루었다. 이체문제는 해석적인 해가 존재했으며 두 질점의 절대적인 또는 상대적인 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중의 하나였다. 삼체문제(three-body problem)는 이체문제에 질점 하나를 추가한 것이다. 전 우주에 질점이 3개밖에 없으며 세 질점 사이에 만유인력만 작용한다는 가정하에서 세 질점의 운동을 다루는 문제다. 삼체문제는 질점 하나를 더 추가했을 뿐이지만 이체문제와는 확연히 다른 매우 복잡한 운동의 모습을 보여준다. 우선 삼체문제는 해석적인 해가 없다. 수치적으로 운동 방정식을 풀어야 한다... 2021. 4. 7.
기본 궤도 미분 방정식으로 알 수 있는 것 - 3 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 알 수 있는 것에는 또 무엇이 있을까. 궤도의 모양을 알 수 있다. 궤도 미분 방정식에 의하면 궤도의 모양은 4가지밖에 없다. 원궤도, 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도가 그것이다. 어떻게 궤도의 모양을 알 수 있는지 살펴보도록 하자. 사실 궤도 미분 방정식을 풀면 질점 \(m\)의 운동 궤도 모양을 알 수 있다. 위 식은.. 2021. 3. 1.
기본 궤도 미분 방정식으로 알 수 있는 것 - 2 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 만유인력은 보존력(conservative force)이므로 만유인력 이외의 다른 힘이 존재하지 않는다는 가정 하에서 질점 \(m\)의 기계적인 에너지(mechanical energy)는 보존될 것으로 예상할 수 있다. 궤도 미분 방정식을 이용하여 질점 \(m\)의 운동 궤도상에서 실제로 기계적인 .. 2021. 2. 25.
기본 궤도 미분 방정식으로 알 수 있는 것 - 1 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2\vec{r}}{dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 먼저 3차원 공간상에 있는 질점 \(m\)은 특정 평면내에서만 운동한다는 것을 알 수 있다. 이 평면을 궤도면(orbital plane)이라고 한다. 질점 \(M\)을 태양, 질점 \(m\)을 지구로 본다면 지구의 공전면을 황도면이라고 하는데, 지구는 태양 주위를 돌지만 황도면을 벗어나지는 못한다... 2021. 2. 24.
기본 궤도 미분 방정식을 풀기 위한 조건 기본 궤도 미분 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{ dt^2 } + \frac{ \mu }{ r^3 } \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu =GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식을 유도하는데 다음 3가지 가정을 전제로 했다. 먼저 질량 \(m\)은 질량 M에 비해서 무시할 수 있을 정도로 작다. 둘째, 질점 \(M\)은 말 그대로 질점이거나 또는 질점으로 간주할 수 있는 완전한 원구체이며 만유인력은 원구체의 중심을 향한다. 셋째, 질점 \(M\)과 \(m\)사이에 작용하는 힘은 만유인력 밖에 .. 2021. 1. 12.
더 단순화된 이체문제 이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다. 두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다. \[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \] 이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다. \[ M≫m \tag{3} \] 그러면 \(M+m \approx .. 2021. 1. 12.