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유도항법제어86

[INS] 관성항법시스템 오차 방정식 (INS Error Equations) 관성항법시스템(INS)은 초기 위치, 속도 및 자세 정보와 가속도계 및 자이로스코프에서 얻어지는 측정 정보를 이용하여 현재의 위치, 속도 및 자세 정보를 제공하는 시스템이다. INS는 항법 좌표계에서 가속도를 적분하여 속도와 위치를 결정하는데, 가속도 신호는 동체 좌표계에서 측정되므로 이 값을 동체 좌표계에서 항법 좌표계로 변환해야 한다. 그런데 동체 좌표계와 항법 좌표계간에는 자세 변화가 있으므로 두 좌표계간의 자세각을 알아야 하고, 이를 위해서는 동체 좌표계에서 측정된 자이로스코프 신호를 적분해야 한다. 따라서 INS는 위치 결정을 위해서는 세 번의 수치적분, 속도 결정을 위해서는 두 번의 수치적분, 자세 결정을 위해서는 한 번의 수치적분이 수행되어야 한다. 이와 같은 수치적분 때문에 INS의 항법 .. 2024. 3. 15.
[INS] 관성항법 방정식 (Kinematics of Inertial Navigation) 관성항법시스템 (INS, inertial navigation system)은 관성센서인 가속도계와 자이로스코프에서 측정된 가속도(specific force, 단위 질량당 힘)와 각속도를 이용하여 운동체의 위치, 속도, 자세를 추정하는 항법시스템의 한 종류다. 관성항법시스템은 단독으로 위치, 속도, 자세를 추정할 수 있기 때문에 외부 센서나 신호를 사용할 수 없거나 또는 신뢰할 수 없는 상황, 예를 들면 수중이나 지하에서 특히 유용하다. 관성항법의 구현 방식에는 운동체의 회전 운동과 기계적으로 분리된 짐벌(Gimbal)에 관성센서를 장착하는 짐벌 (Gimbaled INS) 방식과, 운동체에 관성센서를 직접 부착하는 스트랩다운 (Strapdown INS) 방식으로 나눌 수 있다. 최신 관성항법시스템은 대부분.. 2024. 3. 3.
연속시간 상태공간 방정식의 이산화 (Discretization) 보통 제어기는 디지털 방식으로 구현되고 있다. 이 방식에서는 제어기의 출력도 디지털 신호이기 때문에 일정한 시간 간격에서만 사용할 수 있다. 즉 이산시간(discrete-time) 단계에서만 새로운 제어입력 값을 사용할 수 있다. 하지만 제어 대상 시스템이 연속시간(continuous-time) 시스템이라면 연속적인 입력이 필요하기 때문에 간헐적으로 계산되는 제어 입력을 사용할 수는 없다. 이 때 일반적으로 사용하는 방법은 다음 샘플링 시간까지 제어입력 값을 일정하게 유지시키는 것이다. 이를 0차홀드(ZOH, zero-order hold) 방식이라고 한다. 물론 더 복잡한 유형의 홀드 연산도 가능하지만, ZOH가 가장 널리 사용된다. 연속시간 (continuous-time) 선형 시불변 (LTI, lin.. 2024. 2. 12.
[Continuous-Time] 무한구간 (Infinite-horizon) LQR 다음과 같은 선형 시스템과 \[ \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어진 목적함수가 있을 때, \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q \mathbf{x}+ \mathbf{u}^T R \mathbf{u} \right) \ dt \tag{2} \] 목적함수를 최소화하는 최종자유상태 LQR (free-final-state linear quadratic regulator) 문제의 해는 다음과 같이 주어진다 (https://pasus.tis.. 2023. 12. 21.
[Continuous-Time] 자유최종상태 (Free-final-state) LQR 다음과 같은 선형 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A(t) \mathbf{x}+B(t) \mathbf{u} \tag{1} \] 이 시스템의 초기 시간 \(t_0\) 와 초기 상태변수 \(\mathbf{x}(t_0)\) 는 주어졌다고 가정한다. 또한 최종 시간 \(t_f\) 도 주어졌다고 가정한다. 하지만 최종 상태변수에 관한 제약조건이 없다고 가정한다. 이 시스템의 목적함수도 다음과 같이 고정된 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어졌다고 하자. \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q(t) \mathbf{x.. 2023. 12. 19.
근궤적법 (Root locus method)에서 K→∞ 일 때의 근 두 개의 다항식 \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 가 주어졌을 때, 근궤적법(root locus method)은 \(K\) 가 \(0\) 부터 \(\infty\) 까지 변할 때 다음 다항식의 근(root)을 복소평면 위에 스케치하는 방법이다. \[ 1+ K \frac{N(s)}{D(s)} = 0 \tag{1} \] 근궤적법은 다음과 같은 가정하에 수행된다. (1) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 계수는 모두 실수(real number)이고 최고차항의 계수는 \(1\)이다. (2) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 근은 알고 있다. (3) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 는 공통 근이 없다. (4) \(N(s)\) 의 차수(order)는 \(D(s)\) 의 차수보다 작거나 같다. 여기서 .. 2023. 11. 3.
[PSOC-12] 예제 : 램버트 문제 (Lambert’s problem) 램버트 문제(Lambert's problem)는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem)이다. \[ \begin{align} & \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2 }+ \frac{ \mu}{ (\sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} })^3} \mathbf{r}=0 \tag{1} \\ \\ & \mathbf{r}(t_0 )= \mathbf{r}_0, \ \ \ \mathbf{r}(t_f )=\mathbf{r}_f, \ \ \ t_0, \ t_f \ \mbox{given} \end{align} \] 여기서 \(\mu\) 는 중력 파라미터, .. 2023. 9. 23.
상태공간 방정식과 전달함수 모든 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템은 다음과 같이 상태공간 방정식(state-space equation)으로 표현할 수 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &=A \mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t) \tag{1} \\ \\ \mathbf{y}(t) &=C \mathbf{x}(t)+D \mathbf{u}(t), \ \ \ t \ge 0 \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\), \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\), \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 이고 \(A, B, C, D\) 는 상수 행렬이다. 이.. 2023. 9. 22.
최적유도법칙과 비례항법유도 (PNG) 최종 속도가 설정된 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/293)과 최종 속도가 설정되지 않은 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/294)을 '유도'해 보았다. 편의상 표적이 고정된 경우와 표적이 등속 운동을 하는 경우를 분리하여 각각의 최적유도법칙을 다시 써 보겠다. 먼저 표적이 정지 고정된 경우의 비행체의 운동방정식과 최적 유도법칙은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}_m = \mathbf{v}_m \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}_m= \mathbf{g}_m+ \mathbf{a}_m \\ \\ \\ & \mathbf{a}_{mV} (t)= \frac{6}{t_{go}^2 } \left( .. 2023. 9. 20.
최적유도법칙 (Optimal Guidance Law): 최종 속도 미설정 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/293)와 유사한 문제를 풀어본다. 차이점은 최종 시간에서 속도벡터에 관한 제약조건이 없는 경우이다. 편의상 운동 방정식을 다시 쓴다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}= \mathbf{v} \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}= \mathbf{g}(\mathbf{r})+\mathbf{a} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{r}\) 과 \(\mathbf{v}\) 는 각각 관성좌표계에 대한 위치벡터와 속도벡터를 나타낸다. \(\mathbf{a}\) 는 제어 가속도, \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) 은 비행체 또는 미사일에 작용하는 중력 가속도로서 위치의 함수이다... 2023. 9. 17.