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항공우주102

평평한 지구 가정에 의한 미사일 운동 방정식 유도 단거리 미사일의 경우 지구 자전속도, 중력 가속도 방향, 지표면의 곡률 등의 차이는 미사일 운동에 큰 영향을 끼치지 못한다. 이 경우에는 '평평한 지구 가정'을 적용할 수 있다. 평평한 지구 가정이란 지구가 자전하지 않고 지면이 평평한 것으로 가정하겠다는 뜻이다. 그러면 지표면에 고정된 한 점을 원점으로 한 고정 NED 좌표계(fixed local tangent frame) \(\{n\}\) 을 관성좌표계로 간주할 수 있다(일반적으로 미사일 운동을 위한 좌표계는 \(\{i\} \to \{e\} \to \{n\} \to \{d\} \to \{m\} \to \{b\}\) 순으로 전개된다). 그리고 지구 중력가속도 방향은 항상 NED 좌표계의 Down 방향(\(\hat{n}_3\))이므로 다음과 같이 쓸 수 .. 2021. 12. 22.
ECEF 좌표계에서 미사일 운동 방정식 유도 지구 중심에서 미사일의 위치까지의 위치 벡터를 \(\vec{r}\) 이라고 하고 미사일을 질량 \(m\) 인 질점이라고 가정하면, 뉴턴의 운동법칙에 의해서 미사일 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다. \[ \frac{^id}{dt} \left( m \frac{^id\vec{r}}{dt} \right) = \vec{L}+\vec{D}+m \vec{g} \tag{1} \] 여기서 \(\vec{L}\) 은 양력, \(\vec{D}\) 는 항력, \(\vec{g}\) 는 중력가속도다. 식 (1)에서 중요한 점은 질량 \(m\) 이 상수가 아니라 시간의 함수라는 것이다. 그럼에도 불구하고 식 (1)을 아래 식과 같이 미분하면 안된다. \[ \frac{^id}{dt} \left( m \frac{^id \vec{r}.. 2021. 12. 21.
미사일 좌표계의 정의 미사일 운동 방정식을 세우기 위해서는 상황에 따라 다음과 같이 여러 개의 좌표계가 필요하다. (1) ECI (earth-centered inertial)와 ECEF (earth-centered earth-fixed) 좌표계: ECI 좌표계 \(\{i\}\) 와 ECEF 좌표계 \(\{e\}\) 좌표계는 다음 그림과 같이 정의한다. ECI 좌표계에 대한 ECEF 좌표계의 각속도 벡터는 \[ ^i \vec{\omega}^e = \omega_{ie} \hat{e}_3 \tag{1} \] 이며 지구자전 각속도 \(\omega_{ie}\) 는 약 \(360^0/day\) 로서 WGS-84(World Geodetic System 1984)의 국제 표준값은 \(\omega_{ie} = 7.291151467 \time.. 2021. 12. 20.
궤도 에너지와 속도 운동에너지(kinetic energy)와 위치에너지(potential energy)의 합이 기계적인 에너지 \(\mathcal{E}\) 이며, 이 에너지는 운동 궤도상에서 일정하게 보존된다. \[ \frac{v^2}{2}- \frac{\mu }{r} = \mathcal{E} = \mbox{constant} \tag{1} \] 여기서 \(\frac{v^2}{2} \) 은 단위질량당 운동에너지, \(-\frac{\mu}{r}\) 는 단위질량당 위치에너지이다. 이제 이체문제(two-body problem)에서 질점 \(M\) 을 지구로, 질점 \(m\) 을 우주비행체로 보고 논의를 진행하자. 궤도의 에너지 \(\mathcal{E}\) 는 궤도상에서 모두 동일하므로 근지점(perigee)이나 원지점(apogee.. 2021. 12. 14.
케플러(Kepler) 법칙의 증명 케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다. 케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다. 케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다. 케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을.. 2021. 12. 13.
이체문제에서 궤도의 모양 이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다. \[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \] 여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (e.. 2021. 12. 13.
Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현 Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다. \[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla u \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \tag{1} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla v \rig.. 2021. 10. 22.
Navier-Stokes 방정식 - 2 Navier-Stokes 방정식은 비선형 연립 편미분 방정식으로서 이 방정식의 해가 항상 존재하는지 여부도 아직 증명되지 않은 밀레니엄 문제 7개 중의 하나로 꼽힌다. 극히 단순한 경우를 제외하고는 해석적인 해가 존재하지 않을 뿐만 아니라, 수치해(numerical solution) 마저 구하기가 매우 어렵다. 비압축성(incompressible) 유체를 가정한다면 밀도 \(\rho\) 는 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같이 된다. \[ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \tag{1} \] 식 (1)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식에서 \(x\) 축 성분은 다음과 같이 간략화된다. \[ \begin{align} \rho \left( \frac{\partial u}{\parti.. 2021. 8. 10.
Navier-Stokes 방정식 - 1 Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙으로부터 유도될 수 있다. 공기를 비롯한 유체는 고체와 달리 정해진 모양이 없기 때문에 뉴톤 제2법칙을 적용하기 위해서는 특별한 아이디어가 필요하다. 공기와 같은 속도로 움직이는 미소 유체요소(infinitesimal fluid element)를 생각해보자. 이 유체요소는 일정한 질량을 가지고 있으며, 질량을 유지하기 위해서 부피는 변할 수 있다고 가정한다. 이 유체요소를 질점으로 보면 뉴톤 제2법칙을 적용할 수 있다. 이 유체요소에 작용하는 힘은 체적력(body force), 압력, 그리고 점성력(viscous force)이 있다. 먼저 체적력에는 대표적으로 중력이 있으며 이밖에 관성력과 전자기력 등이 있다. 체적력 \(d\mathbf{F}_b\) 를 단위.. 2021. 8. 10.
연속 방정식 (continuity equation) 공력(aerodynamic forces)의 측정과 예측을 위해서는 유동장(flow field)에 대한 지식이 필요하다. 유동장은 압력, 밀도, 온도, 속도 등4개의 파라미터로 정의할 수 있는데 모두 위치와 시간의 함수이다. 이와 관련된 지배 방정식은 연속 방정식, Navier-Stokes 방정식, 에너지 방정식이며 각각은 질량 보존 법칙, 뉴톤 제2법칙, 그리고 에너지 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다. 먼저 연속 방정식(continuity equation)을 유도해보자. 공간상에 고정된 위치에 있는 미소(infinitesimal) 체적이 있다고 가정한다. 질량 보존의 법칙에 의하면 이 미소체적에서 빠져나가는 유량과 들어오는 유량의 차이는 미소체적 내부의 공기 질량의 감소량과 같아야 한다. 위 그림에서 .. 2021. 8. 9.

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