ECEF 좌표계에서 미사일 운동 방정식 유도

지구 중심에서 미사일의 위치까지의 위치 벡터를 $\overrightarrow{r}$ 이라고 하고 미사일을 질량 $m$ 인 질점이라고 가정하면, 뉴턴의 운동법칙에 의해서 미사일 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{{}^{i}d}{dt}\left(m\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\right)=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{D}+m\overrightarrow{g}\end{array}$$

 

여기서 $\overrightarrow{L}$ 은 양력, $\overrightarrow{D}$ 는 항력, $\overrightarrow{g}$ 는 중력가속도다.

 

 

 

 

식 (1)에서 중요한 점은 질량 $m$ 이 상수가 아니라 시간의 함수라는 것이다. 그럼에도 불구하고 식 (1)을 아래 식과 같이 미분하면 안된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{}^{i}d}{dt}\left(m\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\right)\ne \dot{m}\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}+m\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}\end{array}$$

 

로켓 엔진에서 추력이 얻어지는 과정을 살펴보면 추력은 연료를 빠르게 분사하면서 생기는 반작용에 의해서 생성된다. 추력 방정식을 이용하면 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다(아래 게시글 참고).

 

추력 방정식

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& m\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{D}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}\end{array}$$

 

여기서 $\overrightarrow{T}$ 는 추력벡터이다. 식 (3)은 질량이 시간의 함수일때의 식이지만, 질량이 상수일 때와 동일하다.

미사일의 속도는 ECEF 기준, 즉 지면 기준의 상대적인 속도다. BKE(기본운동학방정식)에 의해서 미사일의 지면 기준 속도 $\overrightarrow{V}=\frac{{}^{e}d\overrightarrow{r}}{dt}$ 와 ECI 기준 속도와의 관계식을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& \frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}& =\frac{{}^{e}d\overrightarrow{r}}{dt}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r}\\ & =\overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r}\end{array}$$

 

그리고 ECEF 기준 가속도와 ECI 기준 가속도와의 관계식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}& =\frac{{}^{i}d}{dt}(\overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r})\\ & =\frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times (\overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r})\\ \\ & =\frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}+2^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r})\end{array}$$

 

식 (5)를 식 (3)에 대입하면, 미사일의 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& m\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}& =m(\frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}+2^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{V}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r}))\\ & =\overrightarrow{L}+\overrightarrow{D}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}\end{array}$$

 

이 식을 정리하면 다음과 같이 ECEF 좌표계에서 미사일의 가속도 관계식을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}+\frac{\overrightarrow{D}}{m}+\overrightarrow{g}+\frac{\overrightarrow{T}}{m}-2^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{V}{-}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r})\end{array}$$

 

여기서 추력, 항력, 중력 가속도의 크기는 다음과 같이 표현된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & |\overrightarrow{T}|=T=g_0{I}_{sp}{\dot{m}}_e\\ & |\overrightarrow{D}|=D=\frac{1}{2}\rho V^2{C}_{D}S\\ \\ & |\overrightarrow{g}|=g=\frac{\mu }{r^2}\end{array}$$

 

여기서 $g_0$ 는 해수면에서의 중력 가속도, $I_{sp}$ 는 비추력, ${\dot{m}}_e$ 는 질량 유속(mass flow rate), $\mu$ 는 중력 파라미터, $S$ 는 미사일 기준 단면적, $C_D$ 는 항력계수다.