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시스템모델/미사일

ECEF 좌표계에서 미사일 운동 방정식 유도

by 세인트워터멜론 2021. 12. 21.

지구 중심에서 미사일의 위치까지의 위치 벡터를 \(\vec{r}\) 이라고 하고 미사일을 질량 \(m\) 인 질점이라고 가정하면, 뉴턴의 운동법칙에 의해서 미사일 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \frac{^id}{dt} \left( m \frac{^id\vec{r}}{dt} \right) = \vec{L}+\vec{D}+m \vec{g} \tag{1} \]

 

여기서 \(\vec{L}\) 은 양력, \(\vec{D}\) 는 항력, \(\vec{g}\) 는 중력가속도다.

 

 

 

 

식 (1)에서 중요한 점은 질량 \(m\) 이 상수가 아니라 시간의 함수라는 것이다. 그럼에도 불구하고 식 (1)을 아래 식과 같이 미분하면 안된다.

 

\[ \frac{^id}{dt} \left( m \frac{^id \vec{r}}{dt} \right) \ne \dot{m} \frac{^id \vec{r}}{dt}+m \frac{^id^2 \vec{r}}{dt^2 } \tag{2} \]

 

로켓 엔진에서 추력이 얻어지는 과정을 살펴보면 추력은 연료를 빠르게 분사하면서 생기는 반작용에 의해서 생성된다. 추력 방정식을 이용하면 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다(아래 게시글 참고).

 

 

추력 방정식

탄도 미사일이나 발사체의 추력(thrust)은 로켓 엔진이 연료를 빠르게 분사하면서 생기는 반작용에 의해서 생성된다. 다음 그림은 로켓과 로켓에서 분사된 연료로 구성된 질점(particle) 시스템을

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\[ m \frac{^id^2 \vec{r}}{dt^2 }= \vec{L}+\vec{D}+m\vec{g}+ \vec{T} \tag{3} \]

 

여기서 \(\vec{T}\) 는 추력벡터이다. 식 (3)은 질량이 시간의 함수일때의 식이지만, 질량이 상수일 때와 동일하다.

미사일의 속도는 ECEF 기준, 즉 지면 기준의 상대적인 속도다. BKE(기본운동학방정식)에 의해서 미사일의 지면 기준 속도 \(\vec{V}=\frac{^ed\vec{r}}{dt}\) 와 ECI 기준 속도와의 관계식을 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \frac{^id \vec{r}}{dt} &= \frac{^e d\vec{r}}{dt}+ ^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \tag{ 4} \\ \\ &= \vec{V}+ ^i \vec{\omega} ^e \times \vec{r} \end{align} \]

 

그리고 ECEF 기준 가속도와 ECI 기준 가속도와의 관계식은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \frac{^id^2 \vec{r}}{dt^2 } &= \frac{^id}{dt} \left( \vec{V}+ ^i \vec{\omega} ^e \times \vec{r} \right) \tag{5} \\ \\ &= \frac{^ed \vec{V}}{dt}+^i \vec{\omega}^e \times \vec{V} + ^i \vec{\omega}^e \times \left( \vec{V} +^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \\ \\ &= \frac{^ed \vec{V}}{dt}+2 ^i \vec{\omega}^e \times \vec{V} + ^i \vec{\omega}^e \times \left(^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \end{align} \]

 

식 (5)를 식 (3)에 대입하면, 미사일의 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} m \frac{^id^2 \vec{r}}{dt^2 } &= m \left( \frac{^ed \vec{V}}{dt}+2 ^i \vec{\omega}^e \times \vec{V} + ^i \vec{\omega}^e \times \left(^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \right) \tag{6} \\ \\ &= \vec{L}+\vec{D}+m\vec{g}+ \vec{T} \end{align} \]

 

이 식을 정리하면 다음과 같이 ECEF 좌표계에서 미사일의 가속도 관계식을 구할 수 있다.

 

\[ \frac{^ed \vec{V}}{dt}= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+\vec{g}+ \frac{\vec{T}}{m} -2 ^i \vec{\omega}^e \times \vec{V}- ^i \vec{\omega}^e \times \left(^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \tag{7} \]

 

여기서 추력, 항력, 중력 가속도의 크기는 다음과 같이 표현된다.

 

\[ \begin{align} & |\vec{T} |=T=g_0 I_sp \dot{m}_e \tag{8} \\ \\ & | \vec{D}|=D= \frac{1}{2} \rho V^2 C_D S \\ \\ & |\vec{g} |=g=\frac{\mu}{r^2} \end{align} \]

 

여기서 \(g_0\) 는 해수면에서의 중력 가속도, \(I_{sp}\) 는 비추력, \(\dot{m}_e\) 는 질량 유속(mass flow rate), \(\mu\) 는 중력 파라미터, \(S\) 는 미사일 기준 단면적, \(C_D\) 는 항력계수다.

 

 

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