평평한 지구 가정에 의한 미사일 운동 방정식 유도

단거리 미사일의 경우 지구 자전속도, 중력 가속도 방향, 지표면의 곡률 등의 차이는 미사일 운동에 큰 영향을 끼치지 못한다. 이 경우에는 '평평한 지구 가정'을 적용할 수 있다.

평평한 지구 가정이란 지구가 자전하지 않고 지면이 평평한 것으로 가정하겠다는 뜻이다. 그러면 지표면에 고정된 한 점을 원점으로 한 고정 NED 좌표계(fixed local tangent frame) $\{n\}$ 을 관성좌표계로 간주할 수 있다(일반적으로 미사일 운동을 위한 좌표계는 $\{i\}\to \{e\}\to \{n\}\to \{d\}\to \{m\}\to \{b\}$ 순으로 전개된다). 그리고 지구 중력가속도 방향은 항상 NED 좌표계의 Down 방향(${\hat{n}}_3$)이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{g}=g{\hat{n}}_3\end{array}$$

 

 

ECEF 좌표계에서 미사일의 운동 방정식을 다음과 같이 구한 바 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}+\frac{\overrightarrow{D}}{m}+\overrightarrow{g}+\frac{\overrightarrow{T}}{m}-2^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{V}{-}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^e\times \overrightarrow{r})\end{array}$$

 

평평한 지구 가정을 적용하면

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& & \frac{{}^{e}d\overrightarrow{V}}{dt}=\frac{{}^{n}d\overrightarrow{V}}{dt}\\ & {}^i{\overrightarrow{\omega }}^e{=}^n{\overrightarrow{\omega }}^n=0\end{array}$$

 

이므로 운동 방정식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{{}^{n}d\overrightarrow{V}}{dt}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}+\frac{\overrightarrow{D}}{m}+\overrightarrow{g}+\frac{\overrightarrow{T}}{m}\end{array}$$

 

한편 운동 방정식을 구성하는 벡터는 다음 식으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & \overrightarrow{V}=V{\hat{d}}_1\\ & \overrightarrow{D}=-D{\hat{d}}_1\\ \\ & \overrightarrow{T}=T{\hat{b}}_1\\ \\ & \overrightarrow{L}=-L{\hat{m}}_3\end{array}$$

 

여기서 ${\hat{d}}_i,{\hat{m}}_i,{\hat{b}}_i$ 는 좌표계 $\{d\},\{m\},\{b\}$ 의 해당 축을 의미한다.

속도벡터 $\overrightarrow{V}$ 를 좌표계 $\{d\}$ 에서 미분해 보자. 식 (4)와 BKE를 이용하면 다음 관계식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& \frac{{}^{d}d\overrightarrow{V}}{dt}& =\frac{{}^{n}d\overrightarrow{V}}{dt}{+}^d{\overrightarrow{\omega }}^n\times \overrightarrow{V}\\ & =\frac{\overrightarrow{L}}{m}+\frac{\overrightarrow{D}}{m}+\overrightarrow{g}+\frac{\overrightarrow{T}}{m}{+}^d{\overrightarrow{\omega }}^n\times \overrightarrow{V}\end{array}$$

 

식 (6)을 좌표계 $\{d\}$ 로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\dot{V}}^d=-[{\omega }_{nd}^d\times ]V^d+\frac{C_m^d{L}^m}{m}+\frac{D^d}{m}+C_n^d{g}^n+\frac{C_b^d{T}^b}{m}\end{array}$$

 

여기서 ${}^d{\overrightarrow{\omega }}^n={-}^n{\overrightarrow{\omega }}^d$ 임을 이용하였다. ${}^n{\overrightarrow{\omega }}^d$ 는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {}^n{\overrightarrow{\omega }}^d=\dot{\psi }{\hat{n}}_3+\dot{\gamma }{\hat{d}}_2\end{array}$$

 

식 (8)을 이용하여 ${}^n{\overrightarrow{\omega }}^d$ 를 좌표계 $\{d\}$ 로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& {\omega }_{nd}^d& =C_n^d\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \dot{\psi }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \dot{\gamma }\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-\dot{\psi }\sin \gamma \\ \dot{\gamma }\\ \dot{\psi }\cos \gamma \end{array}\right]\end{array}$$

 

따라서 식 (7)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& \left[\begin{array}{c}\dot{V}\\ 0\\ 0\end{array}\right]& =-\left[\begin{array}{c}0\\ V\dot{\psi }\cos \gamma \\ -V\dot{\gamma }\end{array}\right]+\frac{1}{m}\left[\begin{array}{c}0\\ L\sin \sigma \\ -L\cos \sigma \end{array}\right]+\frac{1}{m}\left[\begin{array}{c}-D\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ & +\left[\begin{array}{c}-g\sin \gamma \\ 0\\ g\cos \gamma \end{array}\right]+\frac{C_b^d{T}^b}{m}\end{array}$$

 

식 (10)의 벡터를 각 성분별로 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & \dot{V}=-\frac{D}{m}+\frac{T\cos ϵ}{m}-g\sin \gamma \\ & \dot{\psi }=\frac{(L+T\sin ϵ)\sin \sigma }{mV\cos \gamma }\\ \\ & \dot{\gamma }=\frac{(L+T\sin ϵ)\cos \sigma }{mV}-\frac{g\cos \gamma }{V}\end{array}$$

 

한편, 미사일의 위치를 계산하기 위하여 위치벡터를 좌표계 $\{n\}$ 으로 표현한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \overrightarrow{r}=x{\hat{n}}_1+y{\hat{n}}_2-h{\hat{n}}_3\end{array}$$

 

그러면 속도 관계식에 의해서 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& V^n={\dot{r}}^n=C_d^n{V}^d\end{array}$$

 

식 (13)을 풀어 쓰면 다음과 같이 미사일의 위치를 좌표계 $\{n\}$ (여기서는 관성 좌표계)으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& & \dot{x}=V\cos \psi \cos \gamma \\ & \dot{y}̇=V\sin \psi \cos \gamma \\ \\ & \dot{h}=V\sin \gamma \end{array}$$

 

식 (11)과 (14)는 단거리 미사일의 종말 단계에서 많이 사용되는 운동 방정식이다. 탄도 미사일의 경우 종말 단계에서는 추력이 $0$ 이므로 $T=0$ 으로 설정한다. 크루즈 미사일의 경우 종말 단계에서는 속력이 일정하므로 식 (11)에서 첫번째 식을 제외시킨다. 그리고 $ϵ=0$ 으로 가정해서 다음과 같은 간략화된 식을 사용한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& & \dot{V}=0\\ & \dot{\psi }=\frac{L\sin \sigma }{mV\cos \gamma }\\ \\ & \dot{\gamma }=\frac{L\cos \sigma }{mV}-\frac{g\cos \gamma }{V}\end{array}$$