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항공우주104

다중 슈팅방법 (Multiple Shooting Method) 예제 Ascher의 책 'Computer Methods for Ordinary Dierential Equations and Dierential-Algebraic Equations' 에 나와 있는 예제를 다중 슈팅방법(multiple shooting method)을 이용하여 풀어보고자 한다. 미분방정식은 다음과 같다.  \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 \lambda^3 & \lambda^2 & 2 \lambda \end{bmatrix} \mathbf{x}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ q(t) \end{bmatrix} \tag{1} \end{align} \]   여.. 2024. 5. 14.
다중 슈팅방법 (Multiple Shooting Method) 다음과 같은 비선형 미분방정식이 있다.  \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} (t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) \tag{1} \end{align} \]   여기서 초기값 \(\mathbf{x}(t_0 )\) 는 일부만 주어지거나 또는 주어지지 않았다고 가정한다. 대신 최종 시간 \(t_f\) 에서 경계값 \(\mathbf{x}_f\) 가 주어졌다고 가정한다. 이와 같은 경계값 문제의 경우 초기값이 다 주어지지 않았으므로 시간 전파를 통해 수치적분을 수행할 수가 없다. 슈팅방법(shooting method)은 경계값 문제를 초기값 문제로 바꾸어 푼다 (https://pasus.tistory.com/276). 주어지지 않은 초기값을 적당히 추정한.. 2024. 5. 14.
섭동력을 받는 램버트 문제의 보정 해 램버트 문제의 해(https://pasus.tistory.com/316)는 두 위치 \(\mathbf{r}_1\) 과 \(\mathbf{r}_2\) 사이를 비행하는 데 걸리는 시간 \(\Delta t\) 가 주어졌을 때, 두 위치를 연결하는 이체문제 (two-body problem) 궤적(trajectory)을 계산한다. 하지만 램버트 문제에서 고려하지 않았던 섭동력(perturbation)으로 인하여 궤적이 목표로 한 위치 \(\mathbf{r}_2\) 에 도달하지 못할 때는 어떻게 해야 할까. 일반적인 섭동력 (J2 섭동력, 태양복사압력, 항력, 달 또는 태양 등의 제3의 중력 등)의 경우 이러한 오차 거리(miss distance)가 크지 않기 때문에, 출발 위치 \(\mathbf{r}_1\) 에서.. 2024. 4. 12.
오일러 운동방정식 (Euler’s Equation of Motion) 질량중심을 기준으로 한 강체의 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/191). \[ \begin{align} \vec{M}_G &= \frac{ ^bd \vec{H}_G}{dt}+ \ ^i\vec{\omega} ^b \times \vec{H}_G \tag{1} \\ \\ &= \bar{I}_G \cdot \frac{ ^b d \ ^i\vec{\omega} ^b }{dt} + \ ^i\vec{\omega} ^b \times (\bar{I}_G \cdot \ ^i\vec{\omega} ^b ) \end{align} \] 여기서 \( ^i \vec{\omega} ^b\) 는 관성 좌표계 \(\{i\}\) 에 대한 강체 좌표계 \(\{b\}\) 의 각속도벡터, \(\bar{.. 2024. 3. 22.
중력 영향권 (Sphere of Influence) 우주비행체가 지구에서 출발하여 태양계 내의 다른 행성으로 비행한다고 하자. 이 우주비헹체는 지구의 영향권에서 벗어나면 태양의 영향권으로 들어가고, 태양의 영향권에서 벗어나면 도착 행성의 영향권으로 들어갈 것이다. 지구의 영향권 내에서는 지구에 인한 중력이 우주비행체에 작용하는 주된 힘(force)이고, 태양을 비롯한 다른 천체로 인한 중력은 교란(disturbance)으로 간주할 수 있다. 따라서 지구의 영향권 내에서는 우주비행체의 운동방정식을 지구중심 관성좌표계(ECI)로 작성하는 것이 유리할 것이다 (https://pasus.tistory.com/184). 마찬가지로 태양의 영향권 내에서는 태양의 중력이 우주비행체에 작용하는 주된 힘이고 지구를 비롯한 다른 천체로 인한 중력은 교란으로 간주할 수 있다.. 2024. 1. 8.
감시정찰 (Surveillance and Reconnaissance) 영역 계산 한국군 최초의 정찰위성 1호가 2023년 12월 2일 발사에 성공하였다. 2024년에는 정찰위성 2호부터 4호까지 차례로 발사될 예정이라고 한다. 최근에는 전통적인 군사 영역은 물론이고 민간 영역에서도 우주 자산을 이용한 감시 및 정찰 활동이 빠르게 증가하고 있다. 참고로 감시(surveillance)와 정찰(reconnaissance)은 모두 정보 수집을 위한 활동이지만 시간과 임무의 구체성에서 차이가 있다. 감시는 주로 장기적으로 특정 지역이나 대상을 모니터링하여 정보를 수집하는 과정이다. 예를 들어 군사적인 목적으로 특정 지역을 지속적으로 관찰하는 것이 여기에 해당한다. 정찰은 일반적으로 특정 목적을 위한 한시적이고 전략적인 정보 수집에 중점을 둔다. 예를 들어 새로운 또는 알려지지 않은 지역의 상.. 2023. 12. 26.
램버트 문제 (Lambert’s problem)의 해 램버트 문제(Lambert's problem)는 이름에서 알 수 있듯이 18세기 수학자 Johann Heinrich Lambert에 의해 처음 제기된 문제다. 그는 이 문제를 해결하기 위해 램버트의 정리(https://pasus.tistory.com/315)를 고안하였다. 참고로 램버트 정리의 증명은 라그랑지(Lagrange)가 하였고 램버트 문제의 해를 처음으로 구한 사람은 가우스(Gauss)였다. 램버트 문제는 기본적으로 두 지점 사이를 비행하는 데 걸리는 시간이 주어졌을 때, 두 지점 사이를 연결하는 궤도를 찾는 것이다. 수학적으로 램버트 문제는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary valu.. 2023. 12. 10.
램버트 정리 (Lambert’s theorem) 램버트(Lambert)는 궤도 운동을 하는 물체에 대한 두 지점 사이의 비행시간(time of flight)은 두 지점까지의 거리의 합, 두 지점을 직선으로 연결한 코드(chord) 길이, 궤도의 장반경만의 함수가 아닐까 생각했다. 나중에 라그랑지에 의해서 증명된 이 내용을 램버트 정리(Lambert's theorem)라고 한다. 램버트 정리는 케플러 방정식에서 도출할 수 있으며, 둘은 비슷한 문제를 푸는 관계라고 볼 수 있다. 케플러 방정식의 경우와 마찬가지로 램버트의 정리도 타원, 포물선, 쌍곡선의 세 가지 경우로 나뉜 램버트 방정식으로 표현되는데 수학적인 형식은 다음과 같다. \[ t_2-t_1=f(r_1+r_2, c, a) \tag{1} \] 여기서 \(r_1, r_2\) 는 궤도의 촛점(지구 중.. 2023. 12. 6.
케플러 문제 (Kepler’s problem) - 5 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도의 케플러 방정식을 이용하여 케플러 문제 (Kepler's problem)를 풀어보았는데(https://pasus.tistory.com/313). 이번에는 범용(universal) 케플러 방정식을 이용하여 케플러 문제를 풀어보도록 하겠다. 범용 케플러 방정식은 다음과 같았다. (https://pasus.tistory.com/310). \[ \begin{align} \sqrt{\mu} (t-t_0 )=S(z) \chi^3+ \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{\sqrt{\mu}} \chi^2 C(z)+r_0 \chi \left( 1-zS(z) \right) \tag{1} \end{align} \] 여기서 \(z= \frac{\chi^2}{a}\) 이.. 2023. 12. 2.
케플러 문제 (Kepler’s problem) - 4 우주비행체의 비행시간과 실제 비행각과의 함수 관계를 다루는 문제를 케플러 문제 (Kepler's problem)라고 한다. 케플러 문제는 비행시간(time of flight) 계산 문제와 예측(prediction) 문제로 나눌 수 있다. 비행시간 계산 문제는 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0\)가 주어졌을 때 비행각이 \(\Delta \theta\) 만큼 변화하기까지 필요한 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하는 문제다. 예측 문제는 비행시간 계산 문제의 역으로서 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각 \( \theta_0\) 과 비행시간 \(t-t_0\) 이 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta (t)\) 를 계산하는 문제다. 이전 게시글을 통해.. 2023. 12. 1.