궤도 에너지와 속도

운동에너지(kinetic energy)와 위치에너지(potential energy)의 합이 기계적인 에너지 \(\mathcal{E}\) 이며, 이 에너지는 운동 궤도상에서 일정하게 보존된다.

 

\[ \frac{v^2}{2}- \frac{\mu }{r} = \mathcal{E} = \mbox{constant} \tag{1} \]

 

여기서 \(\frac{v^2}{2} \) 은 단위질량당 운동에너지, \(-\frac{\mu}{r}\) 는 단위질량당 위치에너지이다.

 

 

이제 이체문제(two-body problem)에서 질점 \(M\) 을 지구로, 질점 \(m\) 을 우주비행체로 보고 논의를 진행하자. 궤도의 에너지 \(\mathcal{E}\) 는 궤도상에서 모두 동일하므로 근지점(perigee)이나 원지점(apogee)에서 에너지를 계산하는 것이 쉽다. 지구중심에 가장 근접한 지점을 근지점이라고 하고, 가장 먼 지점을 원지점이라고 한다.

 

 

원 궤도는 지구중심에서의 거리가 일정하기 때문에 근지점과 원지점이 따로 없다. 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도에서 근지점 \(r_p\) 는 실제 비행각이 \(\theta=0\) 인 지점이 되며 아래 식과 같이 주어진다.

 

\[ r_p= \frac{p}{1+e \cos 0 }= \frac{p}{1+e} \tag{2} \]

 

포물선 궤도는 \(e=1\) 이므로 근지점의 거리는 \(r_p= \frac{p}{2}\) 이다. 포물선 궤도를 제외한 모든 궤도에서 \(p=a(1-e^2)\) 이므로 타원과 쌍곡선 궤도에서 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ r_p= \frac{p}{1+e}= \frac{a(1-e^2)}{1+e}=a(1-e) \tag{3} \]

 

포물선과 쌍곡선 궤도의 경우 열린 궤도(open orbit)이므로 원지점까지의 거리는 무한대이다. 타원 궤도의 원지점 \(r_a\) 는 \(\theta =180^0\) 에서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ r_a= \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos⁡ 180^0 }= \frac{a(1-e^2)}{1-e}=a(1+e) \tag{4} \]

 

근지점과 원지점에서는 \(\vec{r}\) 과 \(\vec{v}\) 가 서로 직각이므로 각운동량 크기는 \(h=r_p v_p=r_a v_a\) 가 된다. 여기서 \(v_p\) 와 \(v_a\) 는 각각 근지점과 원지점에서의 속도이다.

 

 

근지점에서 에너지는 식 (1)의 정의에 의하여

 

\[ \mathcal{E} = \frac{v_p^2}{2} - \frac{\mu}{r_p} = \frac{h^2}{2r_p^2 }- \frac{\mu}{r_p} \tag{5} \]

 

가 된다. 포물선 궤도를 제외한 모든 궤도에서 \(p=a(1-e^2)\) 이고 정의에 의하여 \(h^2=\mu p\) 이며, 근지점의 거리는 식 (3)으로 주어지므로, 식 (5)의 에너지는

 

\[ \begin{align} \mathcal{E} &= \frac{\mu a(1-e^2 )}{2a^2 (1-e)^2 }- \frac{\mu}{a(1-e)} \tag{6} \\ \\ &= - \frac{\mu}{2a} \end{align} \]

 

가 된다. 포물선 궤도에서는 근지점의 거리가 \(r_p=\frac{p}{2}\) 이므로 식 (5)에 대입하면,

 

\[ \mathcal{E} = \frac{\mu p}{2(p/2)^2 }- \frac{\mu}{(p/2)}=0 \tag{7} \]

 

이 된다. 식 (6)은 포물선 궤도를 제외한 조건에서 유도되었지만 포물선 궤도의 장반경의 길이를 \(a=\infty\) 라고 생각하면 식 (6)을 4개의 궤도 모두의 에너지 식으로 사용할 수가 있다.

식 (6)에 의하면 궤도의 장반경은 에너지만의 함수임을 알 수 있다. 따라서 궤도의 장반경을 알 수 있다면 에너지를 계산할 수 있고, 궤도의 에너지를 알 수 있다면 궤도의 장반경을 계산할 수 있다. 또한 원과 타원 궤도와 같이 닫힌 궤도(closed orbit)의 경우 장반경은 \(a \gt 0\) 이므로 에너지는 \(\mathcal{E} \lt 0\) 이며, 포물선 궤도와 쌍곡선 궤도와 같이 열린 궤도(open orbit)의 경우 장반경은 \(a=\infty\) 이거나 \(a \lt 0\) 이므로 에너지는 \( \mathcal{E} \ge 0 \) 임을 알 수 있다.

 

 

궤도상에서 우주비행체의 속도를 식 (1)과 (6)을 이용하여 유도하면 다음과 같다.

 

\[ v= \sqrt{2 \left( \frac{\mu }{r}+ \mathcal{E} \right) } = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r}- \frac{\mu}{a} } \tag{8} \]

 

원 궤도는 궤도의 반지름이 \(r=a\) 이므로

 

\[ v_{circle} = \sqrt{ \frac{\mu}{a}} \tag{9} \]

 

이며, 포물선 궤도에서는 \( \mathcal{E}=0 \) 이므로 속도는

 

\[ v_{parabola} = \sqrt{ \frac{2\mu}{r}} \tag{10} \]

 

이다.

한편 포물선 궤도에서 \(r=\infty \) 일 때 속도는 \( v_{\infty}=0\) 이지만 쌍곡선 궤도에서는 \(v_\infty = \sqrt{2\mathcal{E}}\) 임을 알 수 있다.

지구의 중력장을 벗어나려면 열린 궤도를 취해야 한다. 이때 우주비행체의 속도는 포물선 궤도를 따를 경우는 식 (10), 쌍곡선 궤도를 따를 경우는 식 (8)로 주어진다. 동일 위치 \(r\) 에서의 속도를 비교해 보면 쌍곡선 궤도의 에너지가 \(\mathcal{E} \gt 0\) 이므로 항상 \(v_{hyperbola} \gt v_{parabola}\) 이다. 따라서 지구 중력장을 벗어날 수 있는 최소의 속도, 즉 최소 지구탈출 속도는 포물선 궤도를 따를 때이며 그 속도는 \(v_{escape}= \sqrt{ \frac{2 \mu}{r}}\) 이다.

 

 

지구의 표면에서의 지구탈출 속도를 계산해 보면

 

\[ v_{escape} = \sqrt{ \frac{2\mu_{earth}}{R_{earth}}} = 11.18 \ km/sec \tag{11} \]

 

이다. 여기서 \( R_{earth}\) 는 지구 반지름, \(\mu_{earth}\) 는 지구의 중력 파라미터이다. 이 속도는 마하 \(33\) 에 해당하는 엄청난 속도로 지구 중력장을 벗어나는 속도를 얻는 것이 불가능하게 생각될 정도다. 하지만 이 속도는 지구와 우주비행체 사이에 만유인력만 작용한다는 가정하에서 지표면에서 지구 중력장을 벗어나는데 필요한 초기 속도라는 것을 알아야 한다.

식 (8)의 속도는 에너지 보존법칙으로도 구할 수 있다. \(r=\infty\) 에서 속도가 \(v_{\infty}=0\) 인 물체가 지구 표면으로 떨어진다면 지표면에서의 속도는 식 (1)에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \frac{v_\infty^2}{2}- \frac{\mu_{earth}}{r_\infty} = 0 = \frac{v_{escape}^2}{2} - \frac{ \mu_{earth}}{R_{earth}} \tag{12} \\ \\ & \ \ \to v_{escape}= \sqrt{ \frac{2\mu_{earth}}{R_{earth}}} \end{align} \]

 

 

지표면에서의 지구탈출 속도를 제2우주속도라고도 한다. 그렇다면 제1우주속도는?

우주비행체가 지구의 표면에 추락하지 않고 지구의 중심을 기준으로 최소의 주기를 갖고 운동할 수 있는 속도를 제1우주속도라고 한다. 궤도의 주기는 다음 식으로 주어진다.

 

\[ T= \frac{ 2\pi }{ \sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \tag{13} \]

 

여기서 \(a\) 는 원 궤도에서는 궤도의 반지름, 타원 궤도에서는 장반경의 길이이다. 최소 주기 운동을 하려면 이 값이 최소가 되어야 하는데, 이 값을 최소로 하면서 물체가 지구의 지표면에서 추락하지 않는 운동은 지구의 중심을 기준으로 지구의 반지름 \(R_{earth}\) 을 반지름으로 하는 원 궤도 운동이다.

 

 

이 때의 속도는 식 (9)에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v_c= \sqrt{ \frac{\mu_{earth}}{R_{earth}} }= 7.9 \ km/sec \tag{14} \]

 

식 (14)의 속도를 제1우주속도라고 한다. 이때의 주기는 식 (13)에 의해서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ T= \frac{ 2\pi }{ \sqrt{\mu_{earth}}} R_{earth}^{\frac{3}{2}} = 84.5 \ min \tag{15} \]

 

식 (15)로 주어지는 시간이 지표면에 추락하지 않고 지구를 1회전할 수 있는 최소 시간이다.