포텐셜 에너지 (Potential Energy)

직교 좌표계(Cartesian frame)에서 어떤 질점 $m$ 에 힘 $\mathbf{F}$ 가 가해지고 이로 인하여 아주 짧은 시간 $dt$ 동안에 질점의 위치가 $\mathbf{r}$ 에서 $\mathbf{r}+d\mathbf{r}$ 로 변화했을 때, 힘 $\mathbf{F}$ 가 한 일(work)은 다음과 같이 정의된다.

 

$$dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

 

여기서 $d\mathbf{r}$ 을 극소 변위(infinitesimal displacement)라고 하고 $dW$ 를 극소 일이라고 한다.

 

 

 

 

뉴톤 운동 법칙에 의해서 $\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{r}}$ 이므로 위 식에 대입하면 일 $dW$ 는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}dW& =m\ddot{\mathbf{r}}\cdot d\mathbf{r}=m\ddot{\mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}}dt\\ \\ & =m\frac{d\dot{\mathbf{r}}}{dt}\cdot \dot{\mathbf{r}}dt=m\dot{\mathbf{r}}\cdot d\dot{\mathbf{r}}\\ \\ & =\frac{1}{2}md(\dot{\mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}})=d(\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}})=dT\end{array}$$

 

여기서 $T$ 를 운동 에너지(kinetic energy)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

$$T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}}$$

 

한편 질점에 가해진 힘 $\mathbf{F}$ 가 위치만의 함수이고, 즉 $\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r})$, 위치만의 함수인 어떤 스칼라 함수 $V(\mathbf{r})$ 의 그래디언트(gradient)로 표현될 수 있다면, 즉

 

$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{r})$$

 

함수 $V(\mathbf{r})$ 을 포텐셜 에너지(potential energy)라고 하고, 힘 $\mathbf{F}$ 를 보존력(conservative force)이라고 한다.

힘 $\mathbf{F}$ 가 보존력이면 그 때의 일은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}dW& =\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}\\ \\ & =-(\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz)\\ \\ & =-dV\end{array}$$

 

여기서 $(x,y,z)$ 는 질점의 위치벡터 $\mathbf{r}$ 의 좌표이다.

그러면 운동 에너지와 일의 관계식으로부터 다음 식이 성립한다.

 

$$dW=dT=-dV$$

 

따라서 $d(T+V)=0$ 이 되므로 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 합은 보존된다.

 

$$T+V=E=const$$

 

여기서 $E$ 를 기계적 에너지라고 하고 위 식을 에너지 보존 법칙이라고 한다.

힘 $\mathbf{F}$ 가 위치만의 함수 $V(\mathbf{r})$ 의 그래디언트로 표현될 수 있으면 에너지 보존 법칙이 성립하기 때문에 그 때의 힘을 보존력이라고 이름 붙인 것이다. 보존력의 예로는 중력과 탄성력(또는 스프링 힘)등을 들 수 있다.

하지만 만약 힘 $\mathbf{F}$ 가 위치뿐 만 아니라 시간의 함수인 포텐셜 에너지 $V(\mathbf{r},t)$ 의 그래디언트로 표현된다면,

 

$$\mathbf{F}(\mathbf{r},t)=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{r},t)$$

 

함수 $V(\mathbf{r},t)$ 의 전미분(total differential) $dV$ 는 다음과 같으므로

 

$$dV=\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz+\frac{\partial V}{\partial t}dt$$

 

기계적 에너지 보존 법칙이 성립되지 않음에 주의해야 한다.

 

$$\frac{d}{dt}(T+V)=\frac{\partial V}{\partial t}\ne 0$$