포텐셜 에너지 (Potential Energy)

직교 좌표계(Cartesian frame)에서 어떤 질점 \(m\) 에 힘 \(\mathbf{F}\) 가 가해지고 이로 인하여 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안에 질점의 위치가 \(\mathbf{r}\) 에서 \(\mathbf{r}+d\mathbf{r}\) 로 변화했을 때, 힘 \(\mathbf{F}\) 가 한 일(work)은 다음과 같이 정의된다.

 

\[ dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]

 

여기서 \(d\mathbf{r}\) 을 극소 변위(infinitesimal displacement)라고 하고 \(dW\) 를 극소 일이라고 한다.

 

 

 

 

뉴턴 운동 법칙에 의해서 \(\mathbf{F}=m \ddot{\mathbf{r}}\) 이므로 위 식에 대입하면 일 \(dW\) 는 다음과 같이 된다.

 

\[ dW = m \ddot{\mathbf{r}} \cdot d\mathbf{r}=\frac{1}{2} m \ d( \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}})= d \left( \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right) =dT \]

 

여기서 \(T\) 를 운동 에너지(kinetic energy)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ T = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \]

 

한편 질점에 가해진 힘 \(\mathbf{F}\) 가 위치만의 함수이고, 즉 \(\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r})\), 위치만의 함수인 어떤 스칼라 함수 \(V(\mathbf{r})\) 의 그래디언트(gradient)로 표현될 수 있다면, 즉

 

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r})= - \nabla V(\mathbf{r}) \]

 

함수 \(V(\mathbf{r})\) 을 포텐셜 에너지(potential energy)라고 하고, 힘 \(\mathbf{F}\) 를 보존력(conservative force)이라고 한다.

힘 \(\mathbf{F}\) 가 보존력이면 그 때의 일은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} dW &= \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = - \nabla V(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r} \\ \\ &= - \left( \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz \right) \\ \\ &= -dV \end{align} \]

 

여기서 \((x, y, z)\) 는 질점의 위치벡터 \(\mathbf{r}\) 의 좌표이다.

그러면 운동 에너지와 일의 관계식으로부터 다음 식이 성립한다.

 

\[ dW=dT=-dV \]

 

따라서 \(d(T+V)=0\) 이 되므로 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 합은 보존된다.

 

\[ T+V=E=const \]

 

여기서 \(E\) 를 기계적 에너지라고 하고 위 식을 에너지 보존 법칙이라고 한다.

힘 \(\mathbf{F}\) 가 위치만의 함수 \(V(\mathbf{r})\) 의 그래디언트로 표현될 수 있으면 에너지 보존 법칙이 성립하기 때문에 그 때의 힘을 보존력이라고 이름 붙인 것이다. 보존력의 예로는 중력과 탄성력(또는 스프링 힘)등을 들 수 있다.

하지만 만약 힘 \(\mathbf{F}\) 가 위치뿐 만 아니라 시간의 함수인 포텐셜 에너지 \(V(\mathbf{r},t)\) 의 그래디언트로 표현된다면,

 

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r},t)= - \nabla V(\mathbf{r},t) \]

 

함수 \(V(\mathbf{r},t)\) 의 전미분(total differential) \(dV\) 는 다음과 같으므로

 

\[ dV = \frac{\partial V}{\partial x} dx+ \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz + \frac{\partial V}{\partial t} dt \]

 

기계적 에너지 보존 법칙이 성립되지 않음에 주의해야 한다.

 

\[ \frac{d}{dt} (T+V) = \frac{\partial V}{\partial t} \ne 0 \]