[CR3BP] 자코비 적분 (Jacobi Integral)

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^2 } \\ \\ & r_{23}= \sqrt{ (x+\mu-1)^2+y^2+z^2 } \end{align} \]

 

이다.

 

 

식 (1)에서 오른쪽 항을 보면 이체문제에서 볼 수 있는 위치에너지(potential energy)의 미분 형태로 쓸 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ \partial U}{ \partial x} \tag{2} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ \partial U}{ \partial y} \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ \partial U}{ \partial z} \end{align} \]

 

여기서 \(U\) 는 위치에너지 함수로서 다음과 같다.

 

\[ U(x,y,z)= -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \tag{3} \]

 

식 (3)의 위치에너지는 상대적인 에너지이므로 기준을 바꿔도 된다. 이체문제에서 그랬듯이 같이 무한대의 거리에서 위치에너지의 기준을 잡는 대신에 연구자에 따라서는 다른 기준을 사용하기도 한다. 즉, 위치에너지를 다음과 같이 정의하기도 한다.

 

\[ U(x,y,z)= -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} -\frac{\mu (1-\mu)}{2} \tag{4} \]

 

식 (3)의 위치에너지에 상수항을 추가한 이유는 나중에 밝혀지겠지만 라그랑지 포인트 L4와 L5에서 위치에너지의 크기를 \(-3/2\) (또는 자코비 적분이 \(3\))으로 만들기 위해서다. 여기서도 식 (4)를 위치에너지로 정의하겠다.

식 (2)를 조금 더 바꿔 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} = - \frac{ \partial }{ \partial x} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) + U \right) \tag{5} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} = - \frac{ \partial }{ \partial y} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) + U \right) \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ \partial }{ \partial z} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) +U \right) \end{align} \]

 

이제 식 (5)의 오른쪽에서 공통 항을 다음과 같이 정의한다.

 

\[ U_{eff} = -\frac{1}{2} (x^2+y^2) -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} - \frac{\mu (1-\mu )}{2} \tag{6} \]

 

식 (6)에서 \(U_{eff}\) 를 구심력 위치에너지가 포함된 유효(effective) 위치에너지로 해석한다. 여기서 구심력이 포함된 이유는 식 (1)이 관성좌표계로 표현된 운동 방정식이 아니라, 관성좌표계에 대해서 일정한 각속도로 회전하는 회전좌표계(synodic frame) \(\{b\}\) 로 표현된 식이기 때문이다.

이번에는 식 (6)을 식 (5)에 대입하고 양변에 각각 \(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}\) 를 곱해보자.

 

\[ \begin{align} & \dot{x} \ddot{x}-2\dot{x} \dot{y} = - \dot{x} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial x} \tag{7} \\ \\ & \dot{y} \ddot{y}+2 \dot{y} \dot{x} = - \dot{y} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial y} \\ \\ & \dot{z} \ddot{z} = - \dot{z} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial z} \end{align} \]

 

식 (7)의 왼쪽 항과 오른쪽 항을 각각 더하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} + \dot{z} \ddot{z} = - \dot{x} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial x} - \dot{y} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial y} - \dot{z} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial z} \tag{8} \]

 

위 식은 다음 식과 동일하다.

 

\[ \frac{d}{dt } \left( \frac{\dot{x}^2}{2} + \frac{\dot{y}^2}{2} + \frac{\dot{z}^2}{2} \right) = - \frac{ d U_{eff}}{ dt} \tag{9} \]

 

여기서 식 왼쪽의 괄호항을 다음과 같이 정의한다.

 

\[ T_{eff} = \frac{1}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) \tag{10} \]

 

식 (10)에서 \(T_{eff}\) 가 운동에너지(kinetic energy)로 보이지만 관성 좌표계로 표현된 식이 아니기 때문에 유효 운동에너지라고 한다. 식 (10)을 식 (9)에 대입하면 다음 식이 성립한다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( T_{eff} +U_{eff} \right) = 0 \tag{11} \]

 

식 (11)에 의하면 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합은 일정하다는 것을 알 수 있다. 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합을 유효 총 에너지(effective total energy)라고 하고 \(E_{eff}\) 로 표현하면 식 (11)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ T_{eff} + U_{eff} = E_{eff} = - \frac{C}{2} \tag{12} \]

 

여기서 상수 \(C=-2E_{eff}\) 를 자코비 적분(Jacobi Integral) 또는 자코비 상수라고 한다.

식 (12)의 정의에 의하면 자코비 적분이 작을수록 에너지 레벨이 커진다. 하지만 자코비 적분은 책이나 논문에 따라 다음과 같이 정의되기도 하니 주의해야 한다. 이 경우는 자코비 적분이 클수록 에너지 레벨이 커진다.

 

\[ T_{eff} + U_{eff} = E_{eff} = C \]

 

여기서는 대다수의 책이나 논문에서 정의한 대로 식 (12)로 정의하겠다.

 

\[ \begin{align} C &= (x^2+y^2 ) + 2 \frac{1-\mu}{r_{13}} + 2 \frac{\mu}{r_{23}}+\mu (1-\mu ) \tag{13} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ - (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 ) \end{align}\]