[CR3BP] 자코비 적분 (Jacobi Integral)

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \ddot{x}-2\dot{y}-x=-\frac{(1-\mu )(x+\mu )}{r_{13}^3}-\frac{\mu (x+\mu -1)}{r_{23}^3}\\ & \ddot{y}+2\dot{x}-y=-\frac{(1-\mu )y}{r_{13}^3}-\frac{\mu y}{r_{23}^3}\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{(1-\mu )z}{r_{13}^3}-\frac{\mu z}{r_{23}^3}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& r_{13}=\sqrt{(x+\mu {)}^2+y^2+z^2}\\ \\ & r_{23}=\sqrt{(x+\mu -1{)}^2+y^2+z^2}\end{array}$$

 

이다.

 

 

식 (1)에서 오른쪽 항을 보면 이체문제에서 볼 수 있는 위치에너지(potential energy)의 미분 형태로 쓸 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & \ddot{x}-2\dot{y}-x=-\frac{\partial U}{\partial x}\\ & \ddot{y}+2\dot{x}-y=-\frac{\partial U}{\partial y}\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{\partial U}{\partial z}\end{array}$$

 

여기서 $U$ 는 위치에너지 함수로서 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& U(x,y,z)=-\frac{1-\mu }{r_{13}}-\frac{\mu }{r_{23}}\end{array}$$

 

식 (3)의 위치에너지는 상대적인 에너지이므로 기준을 바꿔도 된다. 이체문제에서 그랬듯이 같이 무한대의 거리에서 위치에너지의 기준을 잡는 대신에 연구자에 따라서는 다른 기준을 사용하기도 한다. 즉, 위치에너지를 다음과 같이 정의하기도 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& U(x,y,z)=-\frac{1-\mu }{r_{13}}-\frac{\mu }{r_{23}}-\frac{\mu (1-\mu )}{2}\end{array}$$

 

식 (3)의 위치에너지에 상수항을 추가한 이유는 나중에 밝혀지겠지만 라그랑지 포인트 L4와 L5에서 위치에너지의 크기를 $-3/2$ (또는 자코비 적분이 $3$)으로 만들기 위해서다. 여기서도 식 (4)를 위치에너지로 정의하겠다.

식 (2)를 조금 더 바꿔 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & \ddot{x}-2\dot{y}=-\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{1}{2}(x^2+y^2)+U)\\ & \ddot{y}+2\dot{x}=-\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{1}{2}(x^2+y^2)+U)\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{1}{2}(x^2+y^2)+U)\end{array}$$

 

이제 식 (5)의 오른쪽에서 공통 항을 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& U_{eff}=-\frac{1}{2}(x^2+y^2)-\frac{1-\mu }{r_{13}}-\frac{\mu }{r_{23}}-\frac{\mu (1-\mu )}{2}\end{array}$$

 

식 (6)에서 $U_{eff}$ 를 구심력 위치에너지가 포함된 유효(effective) 위치에너지로 해석한다. 여기서 구심력이 포함된 이유는 식 (1)이 관성좌표계로 표현된 운동 방정식이 아니라, 관성좌표계에 대해서 일정한 각속도로 회전하는 회전좌표계(synodic frame) $\{b\}$ 로 표현된 식이기 때문이다.

이번에는 식 (6)을 식 (5)에 대입하고 양변에 각각 $\dot{x},\dot{y},\dot{z}$ 를 곱해보자.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & \dot{x}\ddot{x}-2\dot{x}\dot{y}=-\dot{x}\frac{\partial U_{eff}}{\partial x}\\ & \dot{y}\ddot{y}+2\dot{y}\dot{x}=-\dot{y}\frac{\partial U_{eff}}{\partial y}\\ \\ & \dot{z}\ddot{z}=-\dot{z}\frac{\partial U_{eff}}{\partial z}\end{array}$$

 

식 (7)의 왼쪽 항과 오른쪽 항을 각각 더하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z}=-\dot{x}\frac{\partial U_{eff}}{\partial x}-\dot{y}\frac{\partial U_{eff}}{\partial y}-\dot{z}\frac{\partial U_{eff}}{\partial z}\end{array}$$

 

위 식은 다음 식과 동일하다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{d}{dt}(\frac{{\dot{x}}^2}{2}+\frac{{\dot{y}}^2}{2}+\frac{{\dot{z}}^2}{2})=-\frac{d{U}_{eff}}{dt}\end{array}$$

 

여기서 식 왼쪽의 괄호항을 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& T_{eff}=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)\end{array}$$

 

식 (10)에서 $T_{eff}$ 가 운동에너지(kinetic energy)로 보이지만 관성 좌표계로 표현된 식이 아니기 때문에 유효 운동에너지라고 한다. 식 (10)을 식 (9)에 대입하면 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{d}{dt}(T_{eff}+U_{eff})=0\end{array}$$

 

식 (11)에 의하면 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합은 일정하다는 것을 알 수 있다. 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합을 유효 총 에너지(effective total energy)라고 하고 $E_{eff}$ 로 표현하면 식 (11)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& T_{eff}+U_{eff}=E_{eff}=-\frac{C}{2}\end{array}$$

 

여기서 상수 $C=-2E_{eff}$ 를 자코비 적분(Jacobi Integral) 또는 자코비 상수라고 한다.

식 (12)의 정의에 의하면 자코비 적분이 작을수록 에너지 레벨이 커진다. 하지만 자코비 적분은 책이나 논문에 따라 다음과 같이 정의되기도 하니 주의해야 한다. 이 경우는 자코비 적분이 클수록 에너지 레벨이 커진다.

 

$$T_{eff}+U_{eff}=E_{eff}=C$$

 

여기서는 대다수의 책이나 논문에서 정의한 대로 식 (12)로 정의하겠다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& C& =(x^2+y^2)+2\frac{1-\mu }{r_{13}}+2\frac{\mu }{r_{23}}+\mu (1-\mu )\\ & -({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)\end{array}$$