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항공우주/우주역학

[CR3BP-4] 자코비 적분 (Jacobi Integral)

by 세인트워터멜론 2021. 6. 16.

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다.

 

 

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^2 } \\ \\ & r_{23}= \sqrt{ (x+\mu-1)^2+y^2+z^2 } \end{align} \]

 

이다.

 

 

식 (1)에서 오른쪽 항을 보면 이체문제에서 볼 수 있는 위치에너지(potential energy)의 미분 형태로 쓸 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ \partial }{ \partial x} \left( -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \tag{2} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ \partial }{ \partial y} \left( -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ \partial }{ \partial z} \left( -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \end{align} \]

 

식 (2)를 조금 더 바꿔 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} = - \frac{ \partial }{ \partial x} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \tag{3} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} = - \frac{ \partial }{ \partial y} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ \partial }{ \partial z} \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2) -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \right) \end{align} \]

 

이제 식 (3)의 오른쪽에서 공통 항을 다음과 같이 정의한다.

 

\[ U_{eff} = -\frac{1}{2} (x^2+y^2) -\frac{ 1-\mu }{r_{13} } - \frac{ \mu }{ r_{23}} \tag{4} \]

 

식 (4)에서 \(U_{eff}\) 를 원심력이 포함된 유효(effective) 위치에너지로 해석한다. 여기서 원심력이 포함된 이유는 식 (1)이 관성좌표계로 표현된 운동 방정식이 아니라, 관성좌표계에 대해서 일정한 각속도로 회전하는 시노딕 좌표계(synodic frame) \(\{b\}\) 로 표현된 식이기 때문이다.

이번에는 식 (4)를 식 (3)에 대입하고 양변에 각각 \(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}\) 를 곱해보자.

 

\[ \begin{align} & \dot{x} \ddot{x}-2\dot{x} \dot{y} = - \dot{x} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial x} \tag{5} \\ \\ & \dot{y} \ddot{y}+2 \dot{y} \dot{x} = - \dot{y} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial y} \\ \\ & \dot{z} \ddot{z} = - \dot{z} \frac{ \partial U_{eff}}{ \partial z} \end{align} \]

 

식 (5)의 왼쪽 항과 오른쪽 항을 각각 더하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{d}{dt } \left( \frac{\dot{x}^2}{2} + \frac{\dot{y}^2}{2} + \frac{\dot{z}^2}{2} \right) = - \frac{ d U_{eff}}{ dt} \tag{6} \]

 

여기서 식 왼쪽의 괄호항을 다음과 같이 정의한다.

 

\[ T_{eff} = \frac{1}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) \tag{7} \]

 

식 (7)에서 \(T_{eff}\) 가 운동에너지(kinetic energy)로 보이지만 관성 좌표계로 표현된 식이 아니기 때문에 유효 운동에너지라고 한다. 식 (7)을 식 (6)에 대입하면 다음 식이 성립한다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( T_{eff} +U_{eff} \right) = 0 \tag{8} \]

 

식 (8)에 의하면 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합은 일정하다는 것을 알 수 있다. 유효 운동에너지와 유효 위치에너지의 합을 유효 총 에너지(effective total energy)라고 하고 \(E_{eff}\) 로 표현하면 식 (8)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ T_{eff} + U_{eff} = E_{eff} = - \frac{C}{2} \tag{9} \]

 

여기서 상수 \(C=-2E_{eff}\) 를 자코비 적분(Jacobi Integral) 또는 자코비 에너지라고 한다.

 

 

식 (9)의 정의에 의하면 자코비 적분이 작을수록 에너지 레벨이 커진다. 하지만 자코비 적분은 책이나 논문에 따라 다음과 같이 정의되기도 하니 주의해야 한다. 이 경우는 자코비 적분이 클수록 에너지 레벨이 커진다.

 

\[ T_{eff} + U_{eff} = E_{eff} = C \]

 

여기서는 대다수의 책이나 논문에서 정의한 대로 식 (9)로 정의하겠다.

 

\[ C = (x^2+y^2 ) + 2 \frac{1-\mu}{r_{13}} + 2 \frac{\mu}{r_{23}} - (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 ) \tag{10} \]

 

유효 총 에너지 또는 자코비 적분은 CR3BP 문제에서 제 3의 질점(두 개의 주요(primary) 질점에 비해 질량을 무시할 수 있을 정도로 작은 질점)의 속도와 위치의 초기 조건에 의해서 결정되며 만유인력 이외의 외부 힘이 가해지지 않는다면 그 값이 일정하게 유지된다. 즉 유효 운동에너지와 위치에너지는 개별적으로 그 크기가 작아질 수도 커질 수도 있지만 총 합은 항상 일정하게 유지된다.

여기서 주의할 점은 유효 운동에너지는 정의에 의하면 \(0\) 보다 작을 수 없다. 즉,

 

\[ T_{eff} = - U_{eff} - \frac{C}{2} \ge 0 \]

 

또는

 

\[ C \le -2U_{eff}, \ \ \ \ \ \forall t \ge 0 \tag{11} \]

 

이다. 식 (11)은 초기 조건이 결정되면 제 3의 질점이 움직일 수 있는 공간적인 영역을 결정해 주는 식이다. 제 3의 질점은 공간을 제약 없이 움직일 수 있는 것이 아니라 식 (11)이 결정하는 영역 내에서만 움직일 수 있는 것이다. 이 영역을 힐의 영역(Hill's region)이라고 한다.

식 (9)에 의하면 \(T_{eff}\) 가 최소값 즉 \(0\) 일 때 \(U_{eff}\) 가 최대가 된다. 속도가 \(0\) 이면 자코비 적분은 다음과 같이 된다.

 

\[ C_0 = - 2U_{eff} = (x^2+y^2 )+2 \frac{1-\mu}{r_{13}} + 2 \frac{\mu}{r_{23}} \tag{12} \]

 

식 (12)는 질점의 속도가 \(0\) 인 경계면을 나타낸 것으로 이 경계면을 통과하면 속도가 음수가 되므로 질점이 통과할 수 없는 경계를 나타낸다. 이 경계면을 제로-속도 곡선(zero velocity curve, 2차원에서) 또는 제로-속도 곡면(zero velocity surface, 3차원에서)이라고 하는 데 힐의 영역의 경계면을 나타낸다.

 

 

위 그림은 지구-달 시스템의 zero velocity curve를 보여준다. 자코비 적분이 작을수록(또는 에너지 레벨이 클수록) 힐의 영역이 커지고 라그랑지 포인트 주위에 연결 공간이 생기는 것을 볼 수 있다. 이 공간을 이용하여 제3의 질점(또는 우주선)이 지구와 달 사이를 이동하거나 또는 바깥 영역으로 이동할 수 있다. 이에 대해서는 나중에 다루도록 하겠다.

 

 

 

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