[CR3BP] 라그랑지 포인트 (Lagrange Point)

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \ddot{x}-2\dot{y}-x=-\frac{(1-\mu )(x+\mu )}{r_{13}^3}-\frac{\mu (x+\mu -1)}{r_{23}^3}\\ & \ddot{y}+2\dot{x}-y=-\frac{(1-\mu )y}{r_{13}^3}-\frac{\mu y}{r_{23}^3}\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{(1-\mu )z}{r_{13}^3}-\frac{\mu z}{r_{23}^3}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& r_{13}=\sqrt{(x+\mu {)}^2+y^2+z^2}\\ \\ & r_{23}=\sqrt{(x+\mu -1{)}^2+y^2+z^2}\end{array}$$

 

이다. 위 수식에서 편의상 무차원 변수를 뜻하는 $\sim$(tilde)는 모두 제거하였다.

 

 

식 (1)에서 주의할 점은 모든 변수와 그 미분은 모두 관성좌표계 $\{i\}$가 아니라 관성좌표계에 대해서 일정 각속도로 회전하는 시노딕 좌표계 $\{b\}$에서 표현되거나 계산되었다는 점이다. 또한 운동방정식은 두 개의 주요(primary) 질점의 운동이 아니라, 이들의 영향을 받는 작은 질점의 운동방정식이라는 점이다.

 

 

이제 작은 질점이 평형 상태(equilibrium)에 있을 수 있는 점을 계산해 보자. 평형 상태란 질점의 속도와 가속도가 모두 $0$인 지점을 말한다. 식 (1)에서 $\ddot{x}=\ddot{y}=\ddot{z}=0$, $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ 일 때의 위치 $(x_e,y_e,z_e)$를 계산하면 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & x_e=\frac{(1-\mu )(x_e+\mu )}{r_{e,13}^3}+\frac{\mu (x_e+\mu -1)}{r_{e,23}^3}\\ & y_e=\frac{(1-\mu )y_e}{r_{e,13}^3}+\frac{\mu y_e}{r_{e,23}^3}\\ \\ & 0=\frac{(1-\mu )z_e}{r_{e,13}^3}+\frac{\mu z_e}{r_{e,23}^3}\end{array}$$

 

위 식에 의하면 $z_e=0$ 이므로 평형점은 (${\hat{b}}_1$-${\hat{b}}_2$) 평면에 있다는 것은 알 수 있다. 여기서

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& & r_{e,13}=\sqrt{(x_e+\mu {)}^2+y_e^2}\\ & r_{e,23}=\sqrt{(x_e+\mu -1{)}^2+y_e^2}\end{array}$$

 

이다.

이 평형점을 라그랑지 포인트(Lagrange point) 또는 라이브레이션 포인트(libration point)라고 한다.

라그랑지 포인트는 시노딕 좌표계에서 정지해 있지만 관성좌표계에서는 두 개의 주요(primary) 질점과 질점과 동일한 각속도로 회전한다. 라그랑지 포인트는 두 개의 주요(primary) 질점이 가하는 만유인력과 질량중심점으로 향하는 구심력이 정확히 일치하는 지점이기 때문에 작은 질점이 시노딕 좌표계에서 정지해 있을 수 있다. 참고로 코리올리스힘은 평형상태에서는 $0$이다.

 

 

식 (2)의 해를 구할 전략을 생각해 보자. 우선 라그랑지 포인트는 만유인력과 구심력(또는 반대 방향의 원심력)이 동일한 지점이기 때문에 ${\hat{b}}_1$축상에 있을 수 있다. 이 경우 $y_e=0$ 이 되고 $x_e$는 질점 $m_1$과 $m_2$사이, 또는 $m_2$의 오른쪽, 또는 $m_1$의 왼쪽에 위치할 수 있다.

 

 

이 경우 평형 상태의 방정식이 비선형이기 때문에 수치적으로 풀어야 한다.

 

 

 

하지만 $m_1\gg m_2$ 또는 $\mu \ll 1$ 로 가정한다면 각 구간에 해당하는 라그랑지 포인트를 근사적으로 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}& \text{L1: }{x}_e=1-{\left(\frac{\mu }{3(1-\mu )}\right)}^{\frac{1}{3}},y_e=0\\ \\ & \text{L2: }{x}_e=1-\mu +{\left(\frac{\mu (1-\mu {)}^2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}},y_e=0\\ \\ & \text{L3: }{x}_e=-(1+\frac{5\mu }{12}),y_e=0\end{array}$$

 

여기서 L1은 $m_1$과 $m_2$사이에 있는 포인트, L2는 $m_2$의 오른쪽에 있는 포인트, L3는 $m_1$의 왼쪽에 있는 포인트이다.

이 밖에 두 개의 라그랑지 포인트가 더 있다. 식 (3)에서 $r_{e,13}=r_{e,23}=1$ 이 되도록 $(x_e,y_e)$를 정하면 식 (2)는 자동으로 만족되는 것을 알 수 있다. 따라서 이 지점도 라그랑지 포인트가 된다. $(x_e,y_e)$를 계산하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& \text{L4: }{x}_e=\frac{1}{2}-\mu ,y_e=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ & \text{L5: }{x}_e=\frac{1}{2}-\mu ,y_e=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

 

L4와 L5 포인트는 $m_1$과 $m_2$를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 한 꼭지점에 위치한다.

 

 

결론적으로 라그랑지 포인트는 5개가 존재하며 그 위치는 다음과 같다.

 

 

질점 $m_1$을 기준으로 5개의 라그랑지 포인트를 그리면 다음과 같다.

 

 

지구-달 시스템에서 라그랑지 포인트를 계산해 보자. 지구의 질량은 $m_1=5.974\times {10}^{24}kg$, 달의 질량은 $m_2=7.348\times {10}^{22}kg$ 이므로, $\mu =0.0121505$ 이며 라그랑지 포인트는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& \text{L1: }(0.8369626,0),\text{L2: }(1.1556450,0),\text{L3: }(-1.0050627,0)\\ \\ & \text{L4: }(0.4878495,0.8660254),\text{L5: }(0.4878495,-0.8660254)\end{array}$$

 

태양-(지구-달) 시스템의 경우는 태양의 질량이 $m_1=1.989\times {10}^{30}kg$, 지구의 질량이 $m_2=5.974\times {10}^{24}kg$ 이므로, $\mu =3.03591\times {10}^{-6}$ 이며 라그랑지 포인트는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& \text{L1: }(0.9899961,0),\text{L2: }(1.0100009,0),\text{L3: }(-1.0000013,0)\\ \\ & \text{L4: }(0.4999970,0.8660254),\text{L5: }(0.4999970,-0.8660254)\end{array}$$

 

태양과 행성 및 위성의 물리 데이터는 나사 제트추진연구소(JPL) 사이트에 가면 자세히 볼 수 있다 (https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/).

라그랑지 포인트의 특징과 안정성 문제, 그리고 다른 행성 또는 달을 오가는 궤도 설계에서 라그랑지 포인트가 어떻게 사용되는지 등에 대해서는 다음에 논하기로 한다.