기본 운동학 방정식 (BKE)

동일한 벡터라도 좌표계가 달라지면 그 표현이 달라진다. 뿐만 아니라 동일한 벡터를 시간 미분할 때도 미분을 수행하는 좌표계가 달라지면 그 값이 달라진다.

 

 

예를 들어 어떤 원판의 중심에서 원판 위의 한점을 가리키는 위치 백터 $\overrightarrow{r}$이 있다고 하자. 이 원판이 회전하고 관찰자 A도 원판의 중심에서 원판과 같이 회전한다고 하자. 그러면 관찰자 A에게는 시간이 흘러도 벡터 $\overrightarrow{r}$의 크기와 방향이 바뀌지 않고 그대로일 것이므로, 이 벡터를 시간에 대해서 미분한다면 관찰자 A는 그 값을 $0$이라고 할 것이다.

 

 

반면에 원판의 중심에 또다른 관찰자 B가 있다고 하자. 관찰자 B는 원판이 회전함에도 불구하고 원판과는 별개로 그대로 있다고 하자(약간 공중 부양해 있다고 가정). 그러면 관찰자 B에게는 시간이 흐름에 따라 벡터 $\overrightarrow{r}$의 크기는 변하지 않겠지만 방향은 계속 달라질 것이므로, 이 벡터를 시간에 대해서 미분한다면 관찰자 B는 그 값이 $0$ 이 아니라고 할 것이다.

 

 

이 예에서 관찰자 A는 원판에 고정되어 있는 좌표계이고, 관찰자 B는 원판의 외부에 고정되어 있는 좌표계라고 볼 수 있다.

이렇듯 좌표계에 따라서 미분값이 달라지므로 벡터를 시간 미분할 때는 미분을 수행하고자 하는 좌표계를 명시해야 한다.

좌표계 $\{a\}$에서 벡터 $\overrightarrow{r}$의 시간 미분을 $\frac{{}^{a}d\overrightarrow{r}}{dt}$라고 표기한다. $\frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}$는 좌표계 $\{b\}$에서의 벡터 $\overrightarrow{r}$의 시간 미분을 의미한다. 동일한 벡터를 서로 다른 좌표계에서 미분하면 다른 결과가 얻어지므로 일반적으로

 

$$\frac{{}^{a}d\overrightarrow{r}}{dt}\ne \frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}$$

 

이다.

 

 

임의의 벡터 $\overrightarrow{u}$가 좌표계 $\{b\}$로 표현되어 있다고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{u}=u_1{\hat{b}}_1+u_2{\hat{b}}_2+u_3{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

좌표계 $\{b\}$에서 벡터 $\overrightarrow{u}$의 시간 미분은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{}^{b}d\overrightarrow{u}}{dt}={\dot{u}}_1{\hat{b}}_1+{\dot{u}}_2{\hat{b}}_2+{\dot{u}}_3{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

좌표계 $\{b\}$에서 보았을 때 좌표계 $\{b\}$의 좌표축을 나타내는 단위벡터 ${\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,{\hat{b}}_3$는 크기와 방향이 변하지 않기 때문에 미분이 간단해졌다.

하지만 벡터 $\overrightarrow{u}$를 좌표계 $\{a\}$에서 시간 미분한다면 다음과 같이 복잡해진다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& \frac{{}^{a}d\overrightarrow{u}}{dt}& ={\dot{u}}_1{\hat{b}}_1+{\dot{u}}_2{\hat{b}}_2+{\dot{u}}_3{\hat{b}}_3\\ & +u_1\frac{{}^{a}d{\hat{b}}_1}{dt}+u_2\frac{{}^{a}d{\hat{b}}_2}{dt}+u_3\frac{{}^{a}d{\hat{b}}_3}{dt}\end{array}$$

 

좌표계 $\{b\}$의 좌표축을 나타내는 단위벡터 ${\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,{\hat{b}}_3$는 좌표계 $\{a\}$에서 보았을 때 크기는 $1$로 고정되어 변하지 않지만 방향은 바뀔 수 있기 때문에 미분값이 $0$이라고 볼 수 없기 때문이다.

그렇다면 좌표계 $\{b\}$의 단위벡터 ${\hat{b}}_1,{\hat{b}}_2,{\hat{b}}_3$는 좌표계 $\{a\}$에서 보았을 때 왜 방향이 바뀔까. 좌표계 $\{b\}$가 좌표계 $\{a\}$에서 보았을 때 수평 이동만 한다면 단위벡터의 방향은 바뀌지 않는다. 오직 회전 운동을 할 때만 방향이 바뀐다.

 

 

어떤 좌표계가 다른 좌표계에 대해서 상대적인 회전 운동을 한다면 그 운동을 각속도 벡터 ${}^a{\overrightarrow{\omega }}^b$로 표현할 수 있다.

좌표계 $\{a\}$에서 좌표계 $\{b\}$의 좌표축 ${\hat{b}}_1$을 시간 미분하면 다음과 같이 된다 (증명은 생략한다).

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{{}^{a}d{\hat{b}}_1}{dt}{=}^a{\overrightarrow{\omega }}^b\times {\hat{b}}_1\end{array}$$

 

마찬가지로 다른 좌표축 ${\hat{b}}_2$와 ${\hat{b}}_3$에 대해서도 다음과 같은 관계식이 성립한다. 즉,

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & \frac{{}^{a}d{\hat{b}}_2}{dt}{=}^a{\overrightarrow{\omega }}^b\times {\hat{b}}_2\\ & \frac{{}^{a}d{\hat{b}}_3}{dt}{=}^a{\overrightarrow{\omega }}^b\times {\hat{b}}_3\end{array}$$

 

이제 식 (1), (2), (4), (5)를 식 (3)에 대입해 보자. 그러면 다음과 같은 미분 관계식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{{}^{a}d\overrightarrow{u}}{dt}=\frac{{}^{b}d\overrightarrow{u}}{dt}{+}^a{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{u}\end{array}$$

 

이 식은 서로 다른 좌표계에서 수행한 벡터의 시간 미분간의 관계를 나타내 주는 식이다. 이 식을 기본 운동학 방정식 (BKE, Basic Kinematic Equation)이라고 한다. 아주 중요한 식이다.

 

 

방향코사인행렬, 오일러각, 그리고 쿼터니언