기본 궤도 미분 방정식 - 궤적 방정식

이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다.

 

$$\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r}=0$$

 

여기서 $\mu =GM$은 중력 파라미터, $\overrightarrow{r}$은 관성 좌표계 $\{i\}$의 원점에서 질점 $m$까지의 위치 벡터, $r$은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다.

 

 

위 식으로 알 수 있는 것에는 또 무엇이 있을까.

 

 

궤도의 모양을 알 수 있다. 궤도 미분 방정식에 의하면 궤도의 모양은 4가지밖에 없다. 원궤도, 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도가 그것이다. 어떻게 궤도의 모양을 알 수 있는지 살펴보도록 하자.

사실 궤도 미분 방정식을 풀면 질점 $m$의 운동 궤도 모양을 알 수 있다. 위 식은 비선형 미분 방정식이므로 해석적인 방법으로는 풀 수 없으며 수치해석을 통하여 해를 구하는 수밖에 없다. 또한 위 식은 2차 미분 방정식이므로 해를 구하기 위해서는 위치 벡터의 초기값 $\overrightarrow{r}(t_0)$와 속도 벡터의 초기값 $\overrightarrow{v}(t_0)$ 등 2개의 벡터 초기값이 필요하다.

이 2개의 초기값이 전 시간 범위 $t\ge t_0$에서 질점 $m$의 운동 특성을 결정짓는 조건이기는 하지만, 수치해석을 통하여 식을 실제로 풀기 전까지는 질점 $m$이 어떤 속도로 어떤 모양의 궤도를 그리며 운동할 지는 전혀 알 수가 없다. 하지만 이체문제의 경우 직접 해를 구하지 않고도 초기값과 궤도 모양과의 관계를 도출해 낼 수 있는 방법이 있다.

먼저 기본 방정식의 양변과 각운동량과의 벡터곱(cross product)을 구하기로 한다. 그러면

 

$$\overrightarrow{h}\times (\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r})=0$$

 

이 된다. 위 식을 전개하면

 

$$\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}\times \overrightarrow{h}=\frac{\mu }{r^3}(\overrightarrow{h}\times \overrightarrow{r})$$

 

이 된다. $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=constant$ 임을 이용하여 위 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\frac{{}^{i}d}{dt}(\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{h})=\frac{\mu }{r^3}[(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r}]$$

 

여기서 $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$ 의 관계를 이용하여 우변을 다시 쓰면,

 

$$\begin{array}{rl}\frac{{}^{i}d}{dt}(\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{h})& =\frac{\mu }{r^3}[(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{r}]\\ \\ & =\frac{\mu }{r^3}[r^2\overrightarrow{v}-rv\overrightarrow{r}]\\ \\ & =\frac{\mu }{r}\overrightarrow{v}-\frac{\mu }{r^2}\dot{r}\overrightarrow{r}\\ \\ & =\mu \frac{{}^{i}d}{dt}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r}\right)\end{array}$$

 

이 된다. 이제, 양변을 적분하면,

 

$$\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{h}=\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}+\overrightarrow{B}$$

 

이 된다. $\overrightarrow{B}$는 적분 상수 벡터이다. 위 식의 양변과 $\overrightarrow{t}$의 내적(dot product)을 구하면

 

$$\overrightarrow{r}\cdot (\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{h})=\overrightarrow{r}\cdot (\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}+\overrightarrow{B})$$

 

이 된다. 위 식을 전개하면 다음과 같이 된다.

 

$$(\overrightarrow{r}\times \frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt})\cdot \overrightarrow{h}=\mu r+rB\cos \theta$$

 

여기서 $B$는 벡터 $\overrightarrow{B}$의 크기이며 $\theta$는 $\overrightarrow{r}$과 $\overrightarrow{B}$의 사잇각이다.

 

 

위 식에서 좌변의 괄호는 $\overrightarrow{h}$이므로 질점 $M$의 중심에서 질점 $m$까지의 거리 $r$로 정리하면

 

$$\begin{array}{rl}r& =\frac{h^2}{\mu +B\cos \theta }\\ \\ & =\frac{\frac{h^2}{\mu }}{1+\frac{B}{\mu }\cos \theta }\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $\mu ,h,B$는 상수임에 주의하자. $p=\frac{h^2}{\mu }$라 하고 $e=\frac{B}{\mu }$라 놓으면 위 식은 최종적으로 다음과 같이 된다.

 

$$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

 

여기서 $p$와 $e$는 상수다. 위 식을 궤적 방정식(trajectory equation)이라고 한다. $p$를 통반경 (semi-latus rectum), $e$를 이심율 (eccentricity), $\theta$는 실제 비행각(true anomaly)이라고 부른다.

아래 그림과 같이 원추를 어떻게 자르느냐에 따라 원추의 단면은 원 (circle), 타원 (ellipse), 포물선 (parabola), 쌍곡선 (hyperbola) 모양이 되는데, 궤적 방정식도 $e$값에 따라서 각각 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 식이 된다.

따라서 원추의 단면이 가질 수 있는 모양과 궤적 방정식이 나타낼 수 있는 모양이 일치하기 때문에 궤적 방정식을 원추 단면 방정식 (equation for conic section)이라고도 한다.

 

 

궤적 방정식은 이체문제 가정하에서 질점 $m$이 가질 수 있는 궤도의 종류가 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도 밖에 없다는 것을 보여주고 있다.

 

 

그런데 궤적 방정식에서 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 모양이 보이는가? $e=0$ 이라면 $r=p$가 되므로 원의 방정식이 된다는 것은 쉽게 알 수 있다. 하지만 타원, 포물선, 쌍곡선은?