본문 바로가기

전체 글317

[CR3BP] 리야프노프 궤도 (Lyapunov Orbit) 계산 리야프노프 궤도(Lyapunov orbit)는 (x-y) 평면에서 라그랑지 포인트 L1, L2, L3를 중심으로 공전하는 주기궤도(periodic orbit)이다. 앞서 살펴본 주기궤도의 조건 (https://pasus.tistory.com/277)에 따라 리야프노프 궤도는 x축에 대해 대칭이고, x축을 직각으로 통과한다. 따라서 시간 \(t_0\) 의 초기조건과 주기 \(T\) 의 반인 시간 \(T/2\) 에서의 상태벡터는 다음과 같아야 한다. \[ \mathbf{x}(t_0 )= \begin{bmatrix} x(t_0) \\ y(t_0) \\ \dot{x}(t_0) \\ \dot{y}(t_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ 0 \\ 0 \\ v_{y0} \end.. 2023. 7. 11.
Matlab ODE에 추가 파라미터 전달 및 이벤트 설정하기 일반적으로 매트랩(Matlab)에서 수치적분하고자 하는 ODE 함수의 구조는 다음과 같다. dxdt = odefun(t,x) 여기서 odefun은 함수의 이름, t 는 시간, x 는 함수의 상태변수다. 함수에서 t 를 계산에 사용하지 않더라도 t 와 x 를 모두 입력값으로 받아야 한다. 그런데 만약 t 와 x 이외에 파라미터가 더 필요하다면 어떻게 해야 할까. 예를 들면, 다음과 같은 함수가 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{v}_x \\ \dot{v}_y \end{bmatrix} = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) \tag{1} \\ \\ &= \begin{bmatri.. 2023. 7. 9.
[CR3BP] 주기궤도 (Periodic Orbit)의 조건 라그랑지 포인트 L1, L2 및 L3에서 선형화 운동방정식의 해석 결과, 초기값을 잘 설정한다면 주기궤도(periodic orbit)가 형성될 수 있다는 것을 알았다 (https://pasus.tistory.com/273). 하지만 선형화 운동방정식은 라그랑지 포인트에서 가까운 영역에서만 유효하기 때문에 보다 넓은 범위에서도 주기궤도를 만들 수 있는지는 더 분석해 봐야 한다. 다시 CR3BP의 무차원화된 비선형 운동방정식으로 돌아가 보자. (https://pasus.tistory.com/147). \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y}-x= - \frac{(1-\mu)(x+\mu)}{r_1^3 }- \frac{\mu (x+\mu-1)}{r_2^3} \tag{1} \\ \\ &.. 2023. 7. 4.
미분보정 (Differential Correction) 미분보정(differential correction)은 슈팅방법(shooting method)으로도 불린다. 기본적으로 미분방정식의 경계값 문제(boundary value problem)를 초기값 문제(initial value problem)로 바꾸어 해를 구하는 방법이다. 다음과 같은 비선형 미분방정식이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) \tag{1} \] 여기서 초기값 \(\mathbf{x}(t_0 )\) 은 일부만 주어지거나 또는 주어지지 않았다고 가정한다. 대신 정해진 시간 \(t_f\) 에서 경계값 \(\mathbf{x}_d\) 가 주어졌다고 가정한다. 문제는 시간 \(t_f\) 에서 \(\mathbf{x}(t_f )=\mathbf{.. 2023. 7. 3.
심플렉틱 행렬 (Symplectic Matrix) 심플렉틱 행렬(symplectic matrix)은 다음식을 만족하는 정사각형 행렬 \( M \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}\) 으로 정의한다. \[ M^T JM=J \tag{1} \] 여기서 \[ J= \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix} \] 이고 \(I_n\) 은 \(n \times n\) 단위행렬이다. 심플렉틱 행렬은 다음과 같은 몇가지 특징을 갖는다. 첫째 심플렉틱 행렬의 행렬식(determinant)은 항상 \(1\) 이다. 증명은 다음과 같다. 식 (1)에서 \[ \begin{align} \det ⁡J = 1 &= \det⁡(M^T ) \det⁡ J \det⁡ M \tag{2} \\ \\ &=(\det ⁡M )^2 \en.. 2023. 7. 1.
상태천이행렬 (State Transition Matrix) 과 Floquet 정리 다음과 같이 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)=A \mathbf{x}(t) \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 는 상수 행렬이다. 이 시스템의 해는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/234). \[ \mathbf{x}(t)=e^{A(t-t_0)} \mathbf{x} (t_0) \tag{2} \] 이번에는 다음과 같은 선형 시변(LTV, linear time-varying) 시스템의 해를 구해보자. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)=A(t) \mathbf{x}.. 2023. 6. 30.
[CR3BP] 리야프노프 궤도, 헤일로 궤도, 그리고 리사주 궤도 라그랑지 포인트 L1, L2 및 L3에서의 선형화 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/272). \[ \begin{align} & \delta \ddot{x}-2 \delta \dot{y}-(1+2c_2 ) \delta x=0 \tag{1} \\ \\ & \delta \ddot{y}+2 \delta \dot{x}+(-1+c_2 ) \delta y=0 \\ \\ & \delta \ddot{z}+c_2 \delta z=0 \end{align} \] 여기서 \[ c_2= \frac{(1-\mu)}{|x_0+\mu|^3 }+ \frac{\mu}{ |x_0+\mu-1|^3 } \tag{2} \] 이다. 식 (1)에서 \(\delta x, \ \delta y\) 운동을 벡터 .. 2023. 6. 27.
[CR3BP] L1, L2 및 L3 포인트에서의 궤도 운동 CR3BP의 선형화된 운동방정식을 이용하여 라그랑지 포인트(Lagrange point) L4 및 L5 포인트는 (중립) 안정 평형점이지만, L1, L2 및 L3 포인트는 불안정한 평형점이라는 것을 확인했다 (https://pasus.tistory.com/271). 하지만 L1, L2 및 L3 포인트의 고유값(eigenvalue) 분석에 의하면 평형점 주위에 주기 궤도(periodic orbit)가 존재함을 시사한다. 즉 특정한 초기조건을 설정하면 불안정한 운동 모드를 배제하고 주기 운동을 하는 모드만을 나타나게 할 수가 있다. 라그랑지 포인트에서의 선형화 운동방정식은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \delta \ddot{x}-2 \delta \dot{y} = -\bar{U}_{xx} \.. 2023. 6. 25.
[CR3BP] 라그랑지 포인트 안정성 해석 CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147). \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} = -\bar{U}_x \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} = -\bar{U}_y \\ \\ & \ddot{z} = -\bar{U}_z \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & U_{eff}= -\frac{1}{2} (x^2+y^2 ) - \frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2} - \frac{1}{2} \mu (1-\mu) \\ \\ & r_1= \sqrt{(x+\mu)^2+y^2+z^2 } \\ \\ & r_2= \sqrt{(x+\mu-1)^2+y^2.. 2023. 6. 22.
[CR3BP] 힐의 영역 (Hill’s Region) 원궤도 제한 삼체문제(CR3BP)는 질량중심을 중심으로 원궤도 운동을 하는 두 개의 기본 질점에 의해 생성된 중력장에서 제3의 질점의 운동을 기술한다. CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147). \[ \begin{align} & \ddot{x}-2\dot{y}- x= - \frac{(1-\mu)(x+\mu) }{r_1^3 }- \frac{\mu (x+\mu-1)}{ r_2^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x}-y= - \frac{(1-\mu)y}{r_1^3 }- \frac{\mu y}{ r_2^3 } \\ \\ & \ddot{z}=- \frac{(1-\mu )z}{r_1^3 }- \frac{\mu z}{ r.. 2023. 6. 19.
Hindsight Experience Replay (HER) 강화학습에서는 보상(reward)을 환경이 제공한다고 가정하지만 실제로는 강화학습 설계자가 시스템이 원하는 반응을 보이도록 보상함수를 설계해야 한다. 보상함수는 설계자가 원하는 것을 정확히 포착하도록 해야 하지만, 학습의 안정성과 효율성도 고려해서 신중하게 설계해야 한다. 강화학습을 실제 문제에 적용하는데 있어서 어려운 점 중의 하나는 바로 이 보상함수를 적절하게 설계하는 것이다. 특히 항공기나 미사일, 그리고 로봇과 같은 물리 시스템의 경우에는 도메인 지식이 없거나 또는 복잡하고 예측할 수 없는 환경에서는 적절한 보상을 설정하는 것 자체가 어려울 수도 있고, 또한 잘못된 지표를 최적화하게 되면 실제 의도한 목표에 대한 성능이 저하됨은 물론 예상하지 못한 원치 않는 동작을 유발할 수도 있다. 따라서 설계.. 2023. 6. 12.
동역학 문제의 최적제어 문제로의 변환 고전 동역학에서 해밀톤의 원리(Hamilton's principle) (https://pasus.tistory.com/155) 에 의하면 고정된 양 끝단을 연결하는 수많은 경로 중에서 실제 경로는 '작용(action)'을 최소화하는 경로다. 여기서 작용이란 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이를 시간 적분한 것을 의미한다. 이 원리로부터 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)이 유도되는데, 여기서는 이를 최적제어 문제를 이용하여 유도해 보도록 하겠다. 먼저 제어 대상 시스템의 운동 방정식을 다음과 같이 표현하자. \[ \frac{d\mathbf{q}}{dt} = \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{q}\) 는 일반화 좌표(generalized coordinate).. 2023. 6. 4.
[LSTM] LSTM-AE를 이용한 시퀀스 데이터 이상 탐지 오토인코더(AE, autoencoder)는 입력 데이터를 압축하고 의미 있는 표현으로 인코딩한 다음 복원시켜 복원된 데이터가 원본 데이터와 최대한 유사하도록 만든 신경망이다. AE는 일반적인 용도인 차원축소(dimension reduction) 뿐만 아니라 다양한 응용 분야를 갖고 있는데 그 중 하나가 이상 탐지(anomaly detection) 분야다. 비정상 탐지 또는 이상 탐지란 대부분의 입력 데이터와는 특성이 상이하여 정상이 아닌 것으로 의심을 불러일으킬 만한 어떤 사건 또는 측정값을 식별하는 행위이다. 예를 들면 국내에서 주로 사용되던 신용카드가 갑자기 해외에서 결제된 사건, 공장의 제조라인에서 불량품을 발견하는 일, 또는 센서 또는 시스템의 고장이라고 의심될 만한 측정 신호 검출 등을 들 수 .. 2023. 5. 31.
[LSTM] 주가 예측 LSTM(Long Short-Term Memory)이 시계열 예측(timeseries forecasting)에 특화되어 있다보니 주식 가격을 예측해보는 간단한 LSTM 예제 코드가 Github등에 많이 나와 있다. '주가예측'만큼 학습용 데이터를 손쉽게 얻을 수 있고 대중의 관심도 큰 분야는 없는 듯 하다. 최근 물리 시스템의 동역학 모델을 구축하는 데에 LSTM이 많이 도입되고 있고 개인적으로도 인공지능을 이용한 주식 거래 자동화에 관심이 있기 때문에 코딩 연습 겸 주가예측을 위한 간단한 LSTM 코드를 Tensorflow2로 구현해 보고자 한다. 참고로 특정 회사의 주가 데이터는 Yahoo finance 사이트의 Historical Data에 가면 다운로드 받을 수 있다. 예를 들어 특정 기간의 엔비.. 2023. 5. 19.