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이류(advection), 대류(convection), 확산(diffusion) 장(field)은 위치와 시간의 함수를 의미한다. 예를 들어서 스칼라장(scalar field)는 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 스칼라 값을 대응시키는 함수이고, 벡터장(vector field)은 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 벡터 값을 대응시키는 함수를 의미한다. 스칼라장의 예로서 밀도 함수 \(\rho =\rho (x,y,z,t)\) 를, 벡터장의 예로서 공기의 속도벡터 함수 \(\mathbf{V}=\mathbf{V}(x,y,z,t)\)를 들 수 있겠다. 이제 유체의 운동과 관련된 용어인 advection, convection, diffusion에 대해서 알아보자. 먼저 advection은 이류라고 번역한다. 이류는 유체의 운동을 통하여 유체의 물리량이 이동하는 것을 의미한다. .. 2023. 10. 7.
[PSOC-12] 예제 : 램버트 문제 (Lambert’s problem) 램버트 문제(Lambert's problem)는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem)이다. \[ \begin{align} & \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2 }+ \frac{ \mu}{ (\sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} })^3} \mathbf{r}=0 \tag{1} \\ \\ & \mathbf{r}(t_0 )= \mathbf{r}_0, \ \ \ \mathbf{r}(t_f )=\mathbf{r}_f, \ \ \ t_0, \ t_f \ \mbox{given} \end{align} \] 여기서 \(\mu\) 는 중력 파라미터, .. 2023. 9. 23.
상태공간 방정식과 전달함수 모든 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템은 다음과 같이 상태공간 방정식(state-space equation)으로 표현할 수 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &=A \mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t) \tag{1} \\ \\ \mathbf{y}(t) &=C \mathbf{x}(t)+D \mathbf{u}(t), \ \ \ t \ge 0 \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\), \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\), \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 이고 \(A, B, C, D\) 는 상수 행렬이다. 이.. 2023. 9. 22.
최적유도법칙과 비례항법유도 (PNG) 최종 속도가 설정된 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/293)과 최종 속도가 설정되지 않은 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/294)을 '유도'해 보았다. 편의상 표적이 고정된 경우와 표적이 등속 운동을 하는 경우를 분리하여 각각의 최적유도법칙을 다시 써 보겠다. 먼저 표적이 정지 고정된 경우의 비행체의 운동방정식과 최적 유도법칙은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}_m = \mathbf{v}_m \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}_m= \mathbf{g}_m+ \mathbf{a}_m \\ \\ \\ & \mathbf{a}_{mV} (t)= \frac{6}{t_{go}^2 } \left( .. 2023. 9. 20.
최적유도법칙 (Optimal Guidance Law): 최종 속도 미설정 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/293)와 유사한 문제를 풀어본다. 차이점은 최종 시간에서 속도벡터에 관한 제약조건이 없는 경우이다. 편의상 운동 방정식을 다시 쓴다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}= \mathbf{v} \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}= \mathbf{g}(\mathbf{r})+\mathbf{a} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{r}\) 과 \(\mathbf{v}\) 는 각각 관성좌표계에 대한 위치벡터와 속도벡터를 나타낸다. \(\mathbf{a}\) 는 제어 가속도, \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) 은 비행체 또는 미사일에 작용하는 중력 가속도로서 위치의 함수이다... 2023. 9. 17.
최적 유도법칙 (Optimal Guidance Law): 최종 속도 설정 중력장에서 비행체 또는 미사일의 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{r}} &= \mathbf{v} \tag{1} \\ \\ \dot{\mathbf{v}} &= -\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r}+ \mathbf{a} \\ \\ &= \mathbf{g}( \mathbf{r})+ \mathbf{a} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{r}\) 과 \(\mathbf{v}\) 는 각각 관성좌표계에 대한 위치벡터와 속도벡터를 나타낸다. \(\mathbf{a}\) 는 제어 가속도, \(\mu\) 는 중력파라미터, \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) 은 비행체 또는 미사일에 작용하는 중력 가속도로서 위치의 함수이다. .. 2023. 9. 16.
[PtrNet] Pointer Net 구조 조합 최적화(combinatorial optimization)는 개별 개체의 조합으로 이루어진 목적함수의 최대값(또는 최소값)을 구하는 문제이다. 대표적인 예로서는 TSP(traveling salesman problem, 순회외판원문제), Job-shop Scheduling, Knapsack Problem(배낭문제) 등이 있다. 참고로 세가지 문제를 간략히 설명하면 다음과 같다. TSP 는 \(n\) 개의 서로 다른 도시의 좌표 \((x, y)\) 가 주어졌을 때, 각 도시를 한번씩 모두 방문하는 최단 경로를 찾는 문제다. Job-shop Scheduling은 수행해야 하는 일련의 작업과 이러한 작업을 수행하는 데 필요한 도구 세트가 주어졌을 때, 모든 작업이 완료될 때까지 걸리는 총 시간을 최소화하기 .. 2023. 9. 12.
[seq2seq] 어텐션이 포함된 seq2seq 모델 Sequence-to-sequence (seq2seq) 모델에서 인코더(encoder)는 입력 시퀀스를 고정된 길이를 갖는 컨텍스트 벡터로 압축하고, 디코더(decoder)는 이를 사용하여 전체 출력 시퀀스를 생성한다. 컨텍스트 벡터는 인코더의 맨 마지막 시퀀스 스텝(시간스텝)에서 생성되며, 인코더와 디코더를 연결하는 유일한 통로이자 인코더가 입력 시퀀스에서 취득한 모든 정보가 흐르는 길목이다.    기존 seq2seq 모델은 인코더와 디코더가 컨텍스트 벡터로만 연결되기 때문에 두가지 문제가 발생한다.    첫번째 문제는 고정된 길이를 갖는 1개의 컨텍스트 벡터만으로는 디코더로 전달하는 정보의 양이 제한되거나 소실된다는 점이다. 이를 병목(bottleneck) 현상이라고 하는데 입력 시퀀스가 매우 길어서.. 2023. 8. 23.
[seq2seq] 간단한 seq2seq 모델 구현 Sequence-to-sequence 또는 seq2seq 모델은 입력 시퀀스(sequence)를 출력 시퀀스로 변환하는 신경망 모델이다. seq2seq 모델은 한 도메인의 시퀀스를 다른 도메인의 시퀀스로 변환해야 하는 기계 번역, 대화 시스템, 질문 응답, 텍스트 요약, 이미지 또는 비디오 캡셔닝, 음성인식, 시계열 예측과 같은 분야에서 큰 성공을 거두었다. 기본적으로 seq2seq 모델은 인코더(encoder)와 디코더(decoder), 그리고 두 블록을 연결하는 컨텍스트 벡터(context vector)로 구성되어 있다. 인코더는 입력 시퀀스에 대한 정보를 고정된 길이를 갖는 컨텍스트 벡터로 압축한다. 컨텍스트 벡터는 디코더가 정확한 예측을 수행하는 데 도움이 되는 방식으로 구축된다. 디코더는 컨텍스.. 2023. 8. 17.
[CR3BP] 주기궤도의 매니폴드 계산 라그랑지 포인트(Lagrange point) 에 대한 안정성(stability) 판별과 부분공간(subspace)의 계산 (https://pasus.tistory.com/272)과 유사하게 주기궤도(periodic orbit) 상에 있는 임의의 포인트에 대해서도 안정성 판별과 부분공간을 계산할 수 있다. 주기궤도(periodic orbit) 상에 고정된 포인트에서 계산된 모노드로미 행렬 (monodromy matrix)은 궤도 상에 있는 포인트마다 서로 다른 값을 가지므로 고유벡터(eigenvector)는 달라진다. 반면에 고유값(eigenvalue)은 궤도를 따라 일정하게 유지되는데, 이 때문에 고유값을 '주기궤도의 고유값' 이라고 하며 주기궤도의 한 속성으로 본다. 이에 대해 자세히 알아보기 위하여 .. 2023. 8. 1.
궤도요소 (COE)로 부터 위치 및 속도벡터 계산 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터를 궤도요소(COE, classical orbital elements)로 변환할 수 있었다 (https://pasus.tistory.com/287). 이번에는 이와 반대로 궤도요소를 위치벡터와 속도벡터로 변환하는 방법에 대해서 알아보기로 하자. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 궤도요소 \((a, \ e, \ i, \ \Omega, \ \omega, \ \theta (t_0 ))\) 에서 위치벡터 \(\vec{r}\) 과 속도벡터 \(\vec{v}\) 를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 궤도중심좌표계(perifocal frame)에서 위치벡터와 속도벡터를 구하는 단계와 좌표변환을 통하여 ECI좌표계로 이들 벡터를 변환하는 단계이다. 먼저 궤도중심좌표계에서 위치벡터와.. 2023. 7. 31.
궤도요소 (COE) 계산 고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)의 6개 파라미터는 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터와 함수관계에 있다. 따라서 임의의 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터를 궤도요소로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세 등을 알 수 있다. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}(t_0), \ \vec{v}(t_0)\) 에서 궤도요소를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 우선 위치벡터와 속도벡터로부터 각운동량 벡터 \(\vec{h}\), 승교선 벡터(ascending node vector) \(\vec{n}\), 이심율 벡터(eccentricity vector) \(\vec{e}\) 를 구하는 단계와 이들 벡터로부터 궤도요소를.. 2023. 7. 26.
고전 궤도요소 (Classical Orbital Elements) 고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)는 우주비행체의 궤도 운동을 기술하기 위해 사용되는 수학적인 방법으로서, 궤도의 크기, 모양, 자세를 정의하기 위한 5개의 파라미터와 궤도상에 우주비행체의 위치를 나타내기 위한 1개의 파라미터로 구성되어 있다. 고전 궤도요소는 궤도 운동을 시각적으로 표현하는데 매우 편리하다. 아래 그림은 고전 궤도요소를 그림으로 보여주고 있는데, 6개 파라미터의 자세한 정의는 다음과 같다. 통반경 (semi-latus rectum) 또는 장반경 (semi-major axis): 통반경은 궤도의 주축 (major-axis)에서 궤도까지의 수직거리이다. 통반경은 궤도의 크기를 나타내며 기호로는 \(p\)로 표시한다. 통반경 대신에 장반경 (semi-m.. 2023. 7. 24.
[CR3BP] 주기궤도의 안정성 어떤 \(\bar{\mathbf{x}}(t)\) 가 다음 미분방정식의 해로 주어지는 주기(period)가 \(T\) 인 주기궤도라고 하자.  \[ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t)= \mathbf{f}( \bar{\mathbf{x}} (t)) \tag{1} \]   \(\bar{\mathbf{x}}(t)\) 에 약간의 섭동 \(\delta \mathbf{x}(t)\) 을 주고 식 (1)에 대입한 후 테일러 시리즈 1차 근사식을 구하면 다음과 같이 된다.  \[ \begin{align} & \dot{\bar{\mathbf{x}}} (t)+ \delta \dot{\mathbf{x}}(t) \approx \mathbf{f}( \bar{\mathbf{x}}(t))+ \left. \frac{ \par.. 2023. 7. 22.

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