[CR3BP] 힐의 영역 (Hill’s Region)

원궤도 제한 삼체문제(CR3BP)는 질량중심을 중심으로 원궤도 운동을 하는 두 개의 기본 질점에 의해 생성된 중력장에서 제3의 질점의 운동을 기술한다.

 

 

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147).

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-2\dot{y}- x= - \frac{(1-\mu)(x+\mu) }{r_1^3 }- \frac{\mu (x+\mu-1)}{ r_2^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x}-y= - \frac{(1-\mu)y}{r_1^3 }- \frac{\mu y}{ r_2^3 } \\ \\ & \ddot{z}=- \frac{(1-\mu )z}{r_1^3 }- \frac{\mu z}{ r_2^3 } \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2+y^2+z^2 } \\ \\ & r_2= \sqrt{(x+\mu-1)^2+y^2+z^2 } \end{align} \]

 

이다. 방정식을 무차원화하기 위해 사용한 기준 질량 \(m_0\), 기준 거리 \(l_0\), 기준 시간 \(t_0\) 은 각각 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & m_0=m_1+m_2, \ \ \ l_0=l_1+l_2, \ \ \ t_0=\frac{1}{\omega_s} = \sqrt{ \frac{l_0^3}{Gm_0 } } \tag{2} \\ \\ & \mu = \frac{m_2}{m_1+m_2 } \end{align} \]

 

 

지구-달 시스템에서는 지구의 질량이 \(5.974 \times 10^{24} \ kg\), 달의 질량은 \(7.348 \times 10^{22} \ kg\), 지구에서 달까지의 거리가 \(385,000 \ km\) 이므로 식 (2)의 기준값은 각각 다음과 같다.

 

\[ \mu =0.0121505, \ \ \ l_0=385,000 \ km, \ \ \ t_0=3.7601 \times 10^5 \ sec \tag{3} \]

 

태양-(지구-달) 시스템에서는 태양의 질량이 \(1.989 \times 10^{30} \ kg\), 태양에서 지구까지의 거리가 \(1.496 \times 10^8 \ km\) 이므로 식 (2)의 기준값은 각각 다음과 같다.

 

\[ \mu =3.03591 \times 10^{-6}, \ \ \ l_0=1.496 \times 10^8 \ km, \ \ \ t_0=5.02200 \times 10^6 \ sec \tag{4} \]

 

유효 운동에너지(effective kinetic energy) \(T_{eff}\) 와 유효 위치에너지(effective potential energy) \(U_{eff}\) 의 합인 유효 총에너지(effective total energy) \(E_{eff}\) 는 두 개의 주요(primary) 질점 (\(m_1, \ m_2\))에 비해 질량을 무시할 수 있을 정도로 작은 질점인 제 3의 질점 \(P\) 의 운동 초기 조건에 의해서 결정되며 만유인력 이외의 외부 힘이 가해지지 않는다면 그 값이 일정하게 유지된다 (https://pasus.tistory.com/147) .

 

\[ \begin{align} E_{eff} & =T_{eff}+U_{eff} \tag{5} \\ \\ & = \frac{1}{2} (\dot{x} ^2+ \dot{y}^2+ \dot{z}^2 )- \frac{1}{2} (x^2+y^2 )- \frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2} - \frac{1}{2} \mu (1- \mu) \\ \\ &=- \frac{1}{2} C \end{align} \]

 

여기서 \(C\) 는 자코비 적분(Jacobi Integral) 또는 자코비 상수이다. 자코비 상수는 CR3BP의 중요한 에너지 지수로서 \(C\) 가 작을수록 회전좌표계(synodic frame)에서 더 높은 에너지 레벨과 더 큰 속도를 나타낸다.

식 (5)에 의하면 질점 P는 6차원 형상공간(phase space)안에 있는 5차원 부분공간에서만 움직이도록 제약되어 있다는 것을 알 수 있다.

또한 식 (5)에서 정의에 의하면 유효 운동에너지는 \(0\) 보다 작을 수 없다. 즉,

 

\[ T_{eff}=E_{eff}-U_{eff} \ge0, \ \ \ \ \ \forall t \ge 0 \tag{6} \]

또는

\[ U_{eff} (x,y,z) \le E_{eff} \]

 

이다. 식 (6)은 질점의 초기 운동 조건이 주어졌을 때 질점이 움직일 수 있는 공간적인 영역을 결정해 주는 식이다. 이와 같이 질점은 모든 공간을 제약 없이 움직일 수 있는 것이 아니라 식 (6)이 결정하는 영역 내에서만 움직일 수 있는데 이 영역을 힐의 영역 (Hill's region)이라고 한다. Hill's 영역의 경계면은 다음식으로 구할 수 있다.

 

\[ U_{eff} (x,y,z)= E_{eff} \tag{7} \]

 

식 (7)에 의하면 경계면에서의 유효 운동에너지 \(T_{eff}\) 는 \(0\) 이 되므로 질점의 속도가 \(0\) 이 되고 이 경계면을 통과하면 속도가 음수가 되므로, 경계면은 질점이 진입할 수 없는 경계를 나타낸다. 이 경계면을 제로-속도 곡선(zero velocity curve, 2차원에서) 또는 제로-속도 곡면(zero velocity surface, 3차원에서)이라고 한다.

 

 

한편, 각 라그랑지 포인트(Lagrange point)에서의 유효 총에너지를 각각 \(E_1, \ E_2, \ E_3, \ E_4, \ E_5\) 라고 표시한다면 에너지의 크기 관계는 다음과 같다.

 

\[ E_1 \lt E_2 \lt E_3 \lt E_4=E_5 \tag{8} \]

 

따라서 라그랑지 포인트 L1은 가장 낮은 에너지 평형점의 위치이고 L4와 L5는 가장 높은 에너지 평형점이다.

참고로 라그랑지 포인트 L4에서 유효 에너지를 계산해 보자. L4 좌표는 ( \(x_e=1/2-\mu, \ y_e=\sqrt{3}/2, \ z_e=0\)) 으로 주어지므로 식 (1)에서

 

\[ \begin{align} & r_{e,1}= \sqrt{ (x_e+\mu)^2+y_e^2 } =1 \\ \\ & r_{e,2}= \sqrt{ (x_e+\mu-1)^2+y_e^2 }=1 \end{align} \]

 

이다. 따라서 식 (5)에 대입하면

 

\[ \begin{align} E_4 &= U_{eff} (x_e,y_e,0) \\ \\ &=- \frac{1}{2} (x_e^2+y_e^2 )- \frac{1-\mu}{r_{e,1}} -\frac{\mu}{r_{e,2}} - \frac{1}{2} \mu (1-\mu) \\ \\ &= -\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2}-\mu \right)^2+ \frac{3}{4} \right)-1+\mu-\mu- \frac{\mu}{2}+ \frac{\mu^2}{2} \\ \\ &= - \frac{3}{2} \end{align} \]

 

이 된다. 라그랑지 포인트 L5 에서의 에너지 크기도 똑같으며 이 값은 \(\mu\) 와는 무관하다. 이 때 자코비 상수는 각각 \(C_4=C_5=3\) 이다.

지구-달 시스템의 경우 라그랑지 포인트에서의 에너지와 자코비 상수는 각각 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} & E_1=- \frac{3.20034}{2}, \ \ \ \ C_1=3.20034 \\ \\ & E_2=- \frac{3.18416}{2}, \ \ \ \ C_2=3.18416 \\ \\ & E_3=- \frac{3.02415}{2}, \ \ \ \ C_3=3.02415 \end{align} \]

 

5개의 라그랑지 포인트에서의 에너지 값을 이용하면, 주어진 \(\mu\) 에 대한 에너지 값 또는 자코비 상수의 크기에 따라 5개의 에너지 구간에 해당하는 Hill's 영역이 나온다. 이를 5개의 Hill's 영역 기본 구성 또는 에너지 케이스라고 한다.

케이스 1은 에너지가 \(E_1\) 보다 작은 경우이다. 즉 \(E \lt E_1 \).
이 경우에는 주 질점인 \(m_1\) 과 \(m_2\) 주변의 영역이 금지영역(forbidden realm)으로 구분된 두 개의 영역으로 나뉜다.

 

 

케이스 2는 에너지가 \(E_1\) 보다 크고 \(E_2\) 보다 작은 경우이다. 즉 \(E_1 \lt E \lt E_2\).
이 경우에는 \(m_1\) 과 \(m_2\) 주변 영역 사이에 통로가 열려 질점이 두 영역 사이를 이동할 수 있다. L1 포인트는 이 통로에 있다. 그러나 질점 \(P\)는 이 두 영역과 외부 영역 사이를 이동하지는 못한다.

 

 

케이스 3은 에너지가 \(E_2\) 보다 크고 \(E_3\) 보다 작은 경우이다. 즉 \(E_2 \lt E \lt E_3\).
이 경우에는 L2 포인트 주변의 영역까지 열려서 \(m_2\) 외부로 연결된다. 질점 \(P\)는 L1과 L2 주변의 통로를 통해 \(m_1\) 과 \(m_2\) 부근과 외부 영역 사이를 이동할 수 있다.

 

 

케이스 4는 에너지가 \(E_3\) 보다 크고 \(E_4\) 보다 작은 경우이다. 즉 \(E_3 \lt E \lt E_4= -\frac{3}{2}\).
이 경우에는 L4 와 L5 포인트 주변만 금지영역이 된다.

 

 

케이스 5는 에너지가 \(E_4\) 보다 큰 경우이다. 즉 \(- \frac{3}{2} \lt E\).
이 경우에는 금지영역이 모두 사라진다.

 

 

최근 라그랑지 포인트를 이용한 임무 궤도가 관심을 끌고 있는데 주로 케이스 2와 3의 에너지 레벨에서 궤도가 설계된다.