[CR3BP] 힐의 영역 (Hill’s Region)

원궤도 제한 삼체문제(CR3BP)는 질량중심을 중심으로 원궤도 운동을 하는 두 개의 기본 질점에 의해 생성된 중력장에서 제3의 질점의 운동을 기술한다.

 

 

CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147).

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \ddot{x}-2\dot{y}-x=-\frac{(1-\mu )(x+\mu )}{r_1^3}-\frac{\mu (x+\mu -1)}{r_2^3}\\ & \ddot{y}+2\dot{x}-y=-\frac{(1-\mu )y}{r_1^3}-\frac{\mu y}{r_2^3}\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{(1-\mu )z}{r_1^3}-\frac{\mu z}{r_2^3}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& r_1=\sqrt{(x+\mu {)}^2+y^2+z^2}\\ \\ & r_2=\sqrt{(x+\mu -1{)}^2+y^2+z^2}\end{array}$$

 

이다. 방정식을 무차원화하기 위해 사용한 기준 질량 $m_0$, 기준 거리 $l_0$, 기준 시간 $t_0$ 은 각각 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & m_0=m_1+m_2,l_0=l_1+l_2,t_0=\frac{1}{{\omega }_s}=\sqrt{\frac{l_0^3}{G{m}_0}}\\ & \mu =\frac{m_2}{m_1+m_2}\end{array}$$

 

 

지구-달 시스템에서는 지구의 질량이 $5.974\times {10}^{24}kg$, 달의 질량은 $7.348\times {10}^{22}kg$, 지구에서 달까지의 거리가 $385,000km$ 이므로 식 (2)의 기준값은 각각 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mu =0.0121505,l_0=385,000km,t_0=3.7601\times {10}^{5}sec\end{array}$$

 

태양-(지구-달) 시스템에서는 태양의 질량이 $1.989\times {10}^{30}kg$, 태양에서 지구까지의 거리가 $1.496\times {10}^{8}km$ 이므로 식 (2)의 기준값은 각각 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mu =3.03591\times {10}^{-6},l_0=1.496\times {10}^{8}km,t_0=5.02200\times {10}^{6}sec\end{array}$$

 

유효 운동에너지(effective kinetic energy) $T_{eff}$ 와 유효 위치에너지(effective potential energy) $U_{eff}$ 의 합인 유효 총에너지(effective total energy) $E_{eff}$ 는 두 개의 주요(primary) 질점 ($m_1,m_2$)에 비해 질량을 무시할 수 있을 정도로 작은 질점인 제 3의 질점 $P$ 의 운동 초기 조건에 의해서 결정되며 만유인력 이외의 외부 힘이 가해지지 않는다면 그 값이 일정하게 유지된다 (https://pasus.tistory.com/147) .

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& E_{eff}& =T_{eff}+U_{eff}\\ & =\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-\frac{1}{2}(x^2+y^2)-\frac{1-\mu }{r_1}-\frac{\mu }{r_2}-\frac{1}{2}\mu (1-\mu )\\ \\ & =-\frac{1}{2}C\end{array}$$

 

여기서 $C$ 는 자코비 적분(Jacobi Integral) 또는 자코비 상수이다. 자코비 상수는 CR3BP의 중요한 에너지 지수로서 $C$ 가 작을수록 회전좌표계(synodic frame)에서 더 높은 에너지 레벨과 더 큰 속도를 나타낸다.

식 (5)에 의하면 질점 P는 6차원 형상공간(phase space)안에 있는 5차원 부분공간에서만 움직이도록 제약되어 있다는 것을 알 수 있다.

또한 식 (5)에서 정의에 의하면 유효 운동에너지는 $0$ 보다 작을 수 없다. 즉,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& T_{eff}=E_{eff}-U_{eff}\ge 0,\mathrm{\forall }t\ge 0\end{array}$$

또는

$$U_{eff}(x,y,z)\le E_{eff}$$

 

이다. 식 (6)은 질점의 초기 운동 조건이 주어졌을 때 질점이 움직일 수 있는 공간적인 영역을 결정해 주는 식이다. 이와 같이 질점은 모든 공간을 제약 없이 움직일 수 있는 것이 아니라 식 (6)이 결정하는 영역 내에서만 움직일 수 있는데 이 영역을 힐의 영역 (Hill's region)이라고 한다. Hill's 영역의 경계면은 다음식으로 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& U_{eff}(x,y,z)=E_{eff}\end{array}$$

 

식 (7)에 의하면 경계면에서의 유효 운동에너지 $T_{eff}$ 는 $0$ 이 되므로 질점의 속도가 $0$ 이 되고 이 경계면을 통과하면 속도가 음수가 되므로, 경계면은 질점이 진입할 수 없는 경계를 나타낸다. 이 경계면을 제로-속도 곡선(zero velocity curve, 2차원에서) 또는 제로-속도 곡면(zero velocity surface, 3차원에서)이라고 한다.

 

 

한편, 각 라그랑지 포인트(Lagrange point)에서의 유효 총에너지를 각각 $E_1,E_2,E_3,E_4,E_5$ 라고 표시한다면 에너지의 크기 관계는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& E_1<E_2<E_3<E_4=E_5\end{array}$$

 

따라서 라그랑지 포인트 L1은 가장 낮은 에너지 평형점의 위치이고 L4와 L5는 가장 높은 에너지 평형점이다.

참고로 라그랑지 포인트 L4에서 유효 에너지를 계산해 보자. L4 좌표는 ( $x_e=1/2-\mu ,y_e=\sqrt{3}/2,z_e=0$) 으로 주어지므로 식 (1)에서

 

$$\begin{array}{rl}& r_{e,1}=\sqrt{(x_e+\mu {)}^2+y_e^2}=1\\ \\ & r_{e,2}=\sqrt{(x_e+\mu -1{)}^2+y_e^2}=1\end{array}$$

 

이다. 따라서 식 (5)에 대입하면

 

$$\begin{array}{rl}{E}_4& =U_{eff}(x_e,y_e,0)\\ \\ & =-\frac{1}{2}(x_e^2+y_e^2)-\frac{1-\mu }{r_{e,1}}-\frac{\mu }{r_{e,2}}-\frac{1}{2}\mu (1-\mu )\\ \\ & =-\frac{1}{2}({(\frac{1}{2}-\mu )}^2+\frac{3}{4})-1+\mu -\mu -\frac{\mu }{2}+\frac{{\mu }^2}{2}\\ \\ & =-\frac{3}{2}\end{array}$$

 

이 된다. 라그랑지 포인트 L5 에서의 에너지 크기도 똑같으며 이 값은 $\mu$ 와는 무관하다. 이 때 자코비 상수는 각각 $C_4=C_5=3$ 이다.

지구-달 시스템의 경우 라그랑지 포인트에서의 에너지와 자코비 상수는 각각 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{rl}& E_1=-\frac{3.20034}{2},C_1=3.20034\\ \\ & E_2=-\frac{3.18416}{2},C_2=3.18416\\ \\ & E_3=-\frac{3.02415}{2},C_3=3.02415\end{array}$$

 

5개의 라그랑지 포인트에서의 에너지 값을 이용하면, 주어진 $\mu$ 에 대한 에너지 값 또는 자코비 상수의 크기에 따라 5개의 에너지 구간에 해당하는 Hill's 영역이 나온다. 이를 5개의 Hill's 영역 기본 구성 또는 에너지 케이스라고 한다.

케이스 1은 에너지가 $E_1$ 보다 작은 경우이다. 즉 $E<E_1$.
이 경우에는 주 질점인 $m_1$ 과 $m_2$ 주변의 영역이 금지영역(forbidden realm)으로 구분된 두 개의 영역으로 나뉜다.

 

 

케이스 2는 에너지가 $E_1$ 보다 크고 $E_2$ 보다 작은 경우이다. 즉 $E_1<E<E_2$.
이 경우에는 $m_1$ 과 $m_2$ 주변 영역 사이에 통로가 열려 질점이 두 영역 사이를 이동할 수 있다. L1 포인트는 이 통로에 있다. 그러나 질점 $P$는 이 두 영역과 외부 영역 사이를 이동하지는 못한다.

 

 

케이스 3은 에너지가 $E_2$ 보다 크고 $E_3$ 보다 작은 경우이다. 즉 $E_2<E<E_3$.
이 경우에는 L2 포인트 주변의 영역까지 열려서 $m_2$ 외부로 연결된다. 질점 $P$는 L1과 L2 주변의 통로를 통해 $m_1$ 과 $m_2$ 부근과 외부 영역 사이를 이동할 수 있다.

 

 

케이스 4는 에너지가 $E_3$ 보다 크고 $E_4$ 보다 작은 경우이다. 즉 $E_3<E<E_4=-\frac{3}{2}$.
이 경우에는 L4 와 L5 포인트 주변만 금지영역이 된다.

 

 

케이스 5는 에너지가 $E_4$ 보다 큰 경우이다. 즉 $-\frac{3}{2}<E$.
이 경우에는 금지영역이 모두 사라진다.

 

 

최근 라그랑지 포인트를 이용한 임무 궤도가 관심을 끌고 있는데 주로 케이스 2와 3의 에너지 레벨에서 궤도가 설계된다.