유도항법제어101 근궤적법 (Root locus method)에서 K→∞ 일 때의 근 두 개의 다항식 \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 가 주어졌을 때, 근궤적법(root locus method)은 \(K\) 가 \(0\) 부터 \(\infty\) 까지 변할 때 다음 다항식의 근(root)을 복소평면 위에 스케치하는 방법이다. \[ 1+ K \frac{N(s)}{D(s)} = 0 \tag{1} \] 근궤적법은 다음과 같은 가정하에 수행된다. (1) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 계수는 모두 실수(real number)이고 최고차항의 계수는 \(1\)이다. (2) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 근은 알고 있다. (3) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 는 공통 근이 없다. (4) \(N(s)\) 의 차수(order)는 \(D(s)\) 의 차수보다 작거나 같다. 여기서 .. 2023. 11. 3. [PSOC-12] 예제 : 램버트 문제 (Lambert’s problem) 램버트 문제(Lambert's problem)는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem)이다. \[ \begin{align} & \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2 }+ \frac{ \mu}{ (\sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} })^3} \mathbf{r}=0 \tag{1} \\ \\ & \mathbf{r}(t_0 )= \mathbf{r}_0, \ \ \ \mathbf{r}(t_f )=\mathbf{r}_f, \ \ \ t_0, \ t_f \ \mbox{given} \end{align} \] 여기서 \(\mu\) 는 중력 파라미터, .. 2023. 9. 23. 상태공간 방정식과 전달함수 모든 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템은 다음과 같이 상태공간 방정식(state-space equation)으로 표현할 수 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &=A \mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t) \tag{1} \\ \\ \mathbf{y}(t) &=C \mathbf{x}(t)+D \mathbf{u}(t), \ \ \ t \ge 0 \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\), \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\), \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 이고 \(A, B, C, D\) 는 상수 행렬이다. 이.. 2023. 9. 22. 최적유도법칙과 비례항법유도 (PNG) 최종 속도가 설정된 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/293)과 최종 속도가 설정되지 않은 최적유도법칙(https://pasus.tistory.com/294)을 '유도'해 보았다. 편의상 표적이 고정된 경우와 표적이 등속 운동을 하는 경우를 분리하여 각각의 최적유도법칙을 다시 써 보겠다. 먼저 표적이 정지 고정된 경우의 비행체의 운동방정식과 최적 유도법칙은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}_m = \mathbf{v}_m \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}_m= \mathbf{g}_m+ \mathbf{a}_m \\ \\ \\ & \mathbf{a}_{mV} (t)= \frac{6}{t_{go}^2 } \left( .. 2023. 9. 20. 최적유도법칙 (Optimal Guidance Law): 최종 속도 미설정 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/293)와 유사한 문제를 풀어본다. 차이점은 최종 시간에서 속도벡터에 관한 제약조건이 없는 경우이다. 편의상 운동 방정식을 다시 쓴다. \[ \begin{align} & \dot{\mathbf{r}}= \mathbf{v} \tag{1} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}}= \mathbf{g}(\mathbf{r})+\mathbf{a} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{r}\) 과 \(\mathbf{v}\) 는 각각 관성좌표계에 대한 위치벡터와 속도벡터를 나타낸다. \(\mathbf{a}\) 는 제어 가속도, \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) 은 비행체 또는 미사일에 작용하는 중력 가속도로서 위치의 함수이다... 2023. 9. 17. 최적 유도법칙 (Optimal Guidance Law): 최종 속도 설정 중력장에서 비행체 또는 미사일의 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{r}} &= \mathbf{v} \tag{1} \\ \\ \dot{\mathbf{v}} &= -\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r}+ \mathbf{a} \\ \\ &= \mathbf{g}( \mathbf{r})+ \mathbf{a} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{r}\) 과 \(\mathbf{v}\) 는 각각 관성좌표계에 대한 위치벡터와 속도벡터를 나타낸다. \(\mathbf{a}\) 는 제어 가속도, \(\mu\) 는 중력파라미터, \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\) 은 비행체 또는 미사일에 작용하는 중력 가속도로서 위치의 함수이다. .. 2023. 9. 16. [PSOC-11] 가우스 유사 스펙트럴 (GPM) 기반 최적제어 가우스 유사 스펙트럴 방법(GPM, Gauss pseudospectral method)에서는 \(N\) 개의 LG(Legendre-Gauss) 포인트를 콜로케이션 포인트로 사용하고, LG 포인트에 \(\tau_0=-1\) 을 포함한 점을 보간점으로 사용한다. 이산화 점은 보간점에 \(\tau_{N+1}=1\) 을 포함한 것이다. 따라서 가우스 유사 스펙트럴 방법은 \(N\) 개의 콜로케이션 포인트, \(N+1\) 개의 보간점와 \(N+2\) 개의 이산화 점을 사용한다. LG 포인트는 \(N\) 차 르장드르 다항식 \(P_N (\tau)\) 의 해로 구성되어 있다. 가우스 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \( N\) 차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \ma.. 2023. 7. 20. [PSOC-10] 라다우 유사 스펙트럴 (RPM) 기반 최적제어 라다우 유사 스펙트럴 방법(RPM, Radau pseudospectral method)에서는 \(N\) 개의 LGR(Legendre-Gauss-Radau) 포인트를 콜로케이션 포인트로 사용하고, LGR 포인트에 \(\tau_{N+1}=1\) 점을 포함한 것을 보간점으로 사용한다. LGR 포인트는 \(N\) 차 르장드르(Legendre) 다항식과 \((N-1)\) 차 르장드르 다항식의 합인 \(P_N (\tau)+P_{N-1} (\tau)\) 의 해로 구성되어 있다. 라다우 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \( N \) 차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \mathbf{x}( \tau ) \approx \mathbf{X} (\tau)= \sum_{i=1}^{.. 2023. 7. 18. [PSOC-9] 로바토 유사 스펙트럴 (LPM) 기반 최적제어 로바토 유사 스펙트럴 방법(LPM, Lobatto pseudospectral method)에서는 콜로케이션 포인트와 보간점이 동일하다. \(N\) 개의 LGL(Legendre-Gauss-Lobatto) 포인트를 콜로케이션 포인트와 보간점으로 모두 사용한다. LGL 포인트는 \((N-1)\) 차 르장드르(Legendre) 미분 다항식 \(\dot{P}_{N-1} (\tau)\) 의 해와 \(\tau=-1, \ \tau=1\) 로 구성되어 있다. 로바토 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \((N-1)\)차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \mathbf{x}( \tau ) \approx \mathbf{X} (\tau)= \sum_{i=1}^N \mathbf{X}_.. 2023. 7. 17. [PSOC-8] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 문제 연속시간 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법 중 직접방법(direct method)은 최적제어 문제에서 상태변수와 제어입력을 이산화(discretization)시켜 비선형 프로그래밍 문제(NLP, nonlinear programming problem)로 바꾸는 것이다. 유사 스펙트럴 방법(pseudospectral method)은 지난 10여년 동안 최적제어 분야에서 널리 사용된 직접방법 중의 하나로서 콜로케이션 포인트(collocation point)와 보간점(interpolating point)을 이용하는 것이 핵심이다. 지금까지 살펴본 수학적 배경지식인 라그랑지 보간 다항식, 가우시안 쿼드래처, 유사 스펙트럴 방법 등을 간략히 요약한 다음에 연속시간 최적제어 문제를 비선형 프로그래밍 문.. 2023. 7. 17. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 11 다음
