본문 바로가기
유도항법제어/비행제어

근궤적법 (Root locus method)에서 K→∞ 일 때의 근

by 깊은대학 2023. 11. 3.

두 개의 다항식 N(s)D(s) 가 주어졌을 때, 근궤적법(root locus method)은 K0 부터 까지 변할 때 다음 다항식의 근(root)을 복소평면 위에 스케치하는 방법이다.

 

(1)1+KN(s)D(s)=0

 

근궤적법은 다음과 같은 가정하에 수행된다.

     (1) N(s)D(s) 의 계수는 모두 실수(real number)이고 최고차항의 계수는 1이다.
     (2) N(s)D(s) 의 근은 알고 있다.
     (3) N(s)D(s) 는 공통 근이 없다.
     (4) N(s) 의 차수(order)는 D(s) 의 차수보다 작거나 같다.

여기서 D(s)=0 의 근을 극점(pole), N(s)=0 의 근을 영점(zero)이라고 한다.

근궤적법에 관한 규칙이 6개 정도 있는데, 여기서는 그 중 K 일 때 식 (1)의 근을 구해 보고자 한다. 참고로 K=0 일 때는 식 (1)에서 D(s)+KN(s)=0 이므로 D(s)=0 의 근과 같다.

K 일 때는 식 (1)에서 1KD(s)+N(s)=0 이므로 N(s)=0 의 근과 같다. 여기서 D(s) 의 차수를 n, N(s) 의 차수를 m 이라고 한다면, n 개의 근 중 m 개의 근을 구했으므로 nm 개의 근을 더 구해야 한다.

 

 

다음과 같이 다항식 N(s)D(s) 를 명시적으로 써보자.

 

(2)D(s)=sn+an1sn1++a1s+a0N(s)=sm+bm1sm1++b1s+b0

 

식 (2)에서 두번째 최고차항의 계수는 다음과 같이 주어진다.

 

(3)an1=i=1npi,      bm1=j=1mzj

 

여기서 pi 는 극점, zj 는 영점이다. 만약 다항식 N(s)D(s) 의 근이 복소근이라면 그 근은 켤레복소수이므로 식 (3)은 다음과 같이 실수부만을 합한 결과와 같다.

 

(4)an1=i=1nRe(pi),      bm1=j=1mRe(zj)

 

이제 N(s) 의 근은 아니지만 K 일 때 식 (1)의 근이 되는 어떤 복소수 λ 가 있다고 하자. 즉,

 

(5)N(λ)0,      1+KN(λ)D(λ)=0

 

식 (5)에 의하면 D(λ) 이어야 하므로 λ 도 매우 큰 복소수 (|λ|1) 이어야 함을 알 수 있다. 따라서 식 (5)에 식 (2)를 대입하면 다음과 같이 근사화된 관계식을 얻을 수 있다.

 

(6)K=D(λ)N(λ)=λn+an1λn1++a1λ+a0λm+bm1λm1++b1λ+b0=λnm+(an1bm1)λnm1+λnm(1+an1bm1λ)

 

위 식의 양변에 1nm 승을 하면 다음과 같다.

 

(7)(K)1/(nm)=(Kejπ+j2πk)1/(nm)=(K)1/(nm)ejπ(1+2k)/(nm)=λ(1+an1bm1λ)1/(nm)λ(1+an1bm1λ(nm))=λ+an1bm1nm

 

여기서 k=0,1,2,...,(nm1) 이다. 식 (7)과 (4)를 이용하면 λ 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

(8)λ=(K)1/(nm)ejπ(1+2k)/(nm)an1bm1nm=(K)1/(nm)ejπ(1+2k)/(nm)+i=1nRe(pi)j=1mRe(zj)nm=(K)1/(nm)ejθa+σa,      k=0,1,2,...,nm1

 

식 (8)에 의하면 K 일 때, 식 (1)의 근 λ 는 복소평면의 실수축에 있는 점 σa를 중심으로 각도가 θa 인 방사형 선상에 있음을 알 수 있다. 여기서 방사형 선을 점근선(asymptote), σa 를 점근선의 중심점(centroid), θa 를 점근선의 각도라고 하며 다음과 같이 주어진다.

 

(9)σa=i=1nRe(pi)j=1mRe(zj)nmθa=π(1+2k)nm,      k=0,1,2,...,nm1

 

 

 

예를 들어

 

(10)1+KN(s)D(s)=0D(s)=s(s+1)(s+2)N(s)=1

 

인 경우, n=3, m=0 이므로 점근선은 nm=3 개이며, 점근선의 중심점과 각도는 각각 다음과 같다,

 

σa=(012)(30=1θa=π(1+2k)30=600,  1800,  3000

 

따라서 K 일 때, 식 (10)의 근은 3개의 점근선 상에 있으며 |s| 이다.

 

 

 

 

댓글