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유도항법제어101

행렬지수함수 (Matrix Exponential) 계산 행렬 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 의 행렬지수함수(matrix exponential) \(e^{At}\) 는 다음과 같이 정의된다. \[ e^{At}=I+At+\frac{1}{2} A^2 t^2+\frac{1}{3!} A^3 t^3 + \cdots \tag{1} \] 몇가지 특별한 형식을 갖는 행렬 \(A\) 의 지수함수를 계산해보고, 일반적인 행렬에 대한 계산으로 확장시켜 보도록 한다. 먼저 \(A\) 가 대각행렬일 경우다. \[ A= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{bmatrix} \tag{2} \] 이 때는 \[ A^n= \begin{bmatrix} \la.. 2022. 12. 24.
[Continuous-Time] 최적제어 예제 간단한 최적제어 문제를 풀어보고자 한다. 최적제어 문제는 최종시간이 설정된(fixed) 값으로 주어지는지 아닌지, 그리고 최종 상태변수가 설정된 값으로 주어지는지 아닌지에 따라 다양하게 분류할 수 있다. 대개의 경우 초기시간과 상태변수 초기값은 설정된 값으로 주어진다. 먼저 최종시간과 최종 상태변수가 모두 주어진 경우다. 연속시간 비선형 시스템의 최적제어의 필요조건을 정리한 다음 표에 의하면, 이 경우 경계조건은 자동으로 만족된다. 일정한 속력 \(V\) 로 움직이는 비행체가 있다. 제어 목적은 비행체가 출발지에서 출발하여 비행 시간 \(t_f\) 가 경과한 후 목적지에 최소의 에너지를 사용하여 도착시키는 것이다. 그림에 비행체와 목적지, 출발지간의 기하하적인 관계가 나와 있다. 비행체의 운동 방정식은 .. 2022. 12. 14.
[Continuous-Time] 최적제어 문제 최적제어(optimal control)문제는 여러 가지 물리적인 제약조건을 만족하면서 어떤 성능지표(performance index) 또는 목적함수(objective function)를 최적화하도록 동적 시스템(dynamic system)의 제어변수(control variable)을 결정하는 문제이다. 제약조건(constraints)은 동적 시스템의 동역학과 함께 시스템 제어변수 및 상태변수의 경로 제약조건(path constraints), 상태변수의 초기값(initial value) 및 최종값(final value)에 관한 제약조건(constraint on the initial and final states)을 모두 포함한다. 목적함수는 설계자가 의도한대로 시스템을 움직이면서 의도한 성능을 발휘할 수 .. 2022. 12. 13.
[MPC] MPC를 위한 두가지 QP 모델 - 2 MPC(model predictive control) 문제를 최적화 문제인 QP(quadratic program)문제로 변환할 때 널리 사용되는 일반적인 방법( https://pasus.tistory.com/229 )은 모델이 조밀해져서 문제의 구조가 손실되는 단점이 있다. 고속 MPC(fast MPC)에서는 QP 문제로 변환할 시 적절한 변수 재정렬을 사용하여 희소(sparse)구조를 최대로 이용할 수 있도록 특별한 방법으로 변환하며, 최적화 기법을 적용할 시 warm start, fixed iteration, early termination등의 휴리스틱 기법을 이용하여 MPC 계산량을 대폭 줄이는 방법을 사용한다. fast MPC알고리즘은 스탠퍼드의 Boyd 교수와 그 제자의 논문인 'Fast Mod.. 2022. 12. 3.
[MPC] MPC를 위한 두가지 QP 모델 - 1 MPC는 다음과 같은 제약조건을 갖는 선형 시스템에서 \[ \begin{align} & \mathbf{x}_{t+1}=A \mathbf{x}_t+B \mathbf{u}_t \tag{1} \\ \\ & \mathbf{y}_t=C \mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \mathbf{u}_{min} \le \mathbf{u}_{t+i} \le \mathbf{u}_{max}, \ \ \ i=0, ... , N-1 \tag{2} \\ \\ & \ \ \ \ \ \mathbf{y}_{min} \le \mathbf{y}_{t+i} \le \mathbf{y}_{max}, \ \ \ i=1, ... , N \end{align} \] 매 시간 스텝마다 다음 목적함수가 일정 성능 예측구간 \([t, \ t.. 2022. 11. 30.
[MPC] 모델예측제어 개요 동적 최적화(dynamic optimization) 문제는 최적제어(optimal control) 문제라고도 하는데 매우 광범위한 영역에서 사용되고 있다. 예를 들면 인공위성을 궤도에 올리는 위한 가장 효율적인 연료 사용 전략이나 화학 공정 시설을 가동하는 가장 경제적인 방법을 찾는 문제 등을 들 수 있다. 이러한 동적 최적화 문제의 기본 가정은 동적 모델(dynamic model)이 주어진다는데 있다. 동적 모델의 예로서 다음과 같이 이산시간(discrete-time) 차분 방정식(difference equation)으로 표현된 비선형 시스템을 들 수 있다. \[ \mathbf{x}_{t+1}=\mathbf{f}(\mathbf{x}_t, \mathbf{u}_t) \tag{1} \] 여기서 \(\math.. 2022. 11. 28.
[DMD-3] DMDior 입출력이 포함된 확장 DMD인 DMDio (DMD with input/output) 알고리즘을 유도해 보았다 (https://pasus.tistory.com/225). 원래 시스템을 식별한 후에 축소 모델 (ROM, reduced order model)로 근사화 하는 순서였다. 이번에는 이와 약간 다른 접근 방법을 사용해 보고자 한다. 바로 축소 모델을 식별하는 방법이다. 이러한 방법을 DMDior (DMDio for reduced order model)라고 한다. 식별하고자 하는 미지의 이산시간 시스템이 식 (1)과 같이 표현된다고 하자. \[ \begin{align} \mathbf{x}_{k+1} &= A \mathbf{x}_k+B \mathbf{u}_k \tag{1} \\ \\ \mathbf{y}_.. 2022. 11. 8.
[DMD-2] DMDio 표준 DMD의 한 가지 제한 사항은 시스템의 운동을 바꾸거나 측정할 수 있는 외부 입력과 출력이 포함된 모델을 생성할 수 없다는 것이다. 이제 표준 DMD 방법을 확장하여 입력과 출력이 포함된 시스템 모델을 식별해 보도록 한다. 이와 같이 입출력이 포함된 확장 DMD를 DMDio (DMD with input/output)이라고 한다. 모델 입력과 출력이 포함된 시스템의 동적 특성을 이해하는 것은 제어기 설계 및 센서 배치 문제의 기본 전제 사항이다. 식별하고자 하는 미지의 이산시간 시스템이 식 (1)과 같이 표현된다고 하자. \[ \begin{align} & \mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_k+B \mathbf{u}_k \tag{1} \\ \\ & \mathbf{y}_k=C \mat.. 2022. 10. 31.
[DMD-1] 동적모드분해 (Dynamic Mode Decomposition) 전통적인 제어이론은 시스템의 수학적인 운동 모델을 요구한다. 운동 모델은 물리 법칙으로부터 해석적으로 유도할 수 있지만 입출력 데이터에 기반해서 수치적으로 얻을 수도 있다. 수치 데이터로부터 시스템의 운동 모델을 구하는 것을 시스템 식별(system identification) 또는 모델 식별이라고 한다. 시스템 식별 방법에는 ERA, OKID, QMC등 몇 가지가 있는데, 그 중 하나가 동적모드분해 (DMD, dynamic mode decomposition)이다. DMD는 수치 시뮬레이션 또는 스냅샷(snapshot) 측정 데이터를 사용하여 선형 시스템의 수학적 모델을 식별하고 동적 특성을 추출하는 기법이다. 식별하고자 하는 미지의 이산시간 시스템이 식 (1)과 같이 표현된다고 하자. 일단 자율 시스템.. 2022. 10. 26.
리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 이론 시불변 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 의 안정성에 대한 정의에 이어서 이번에는 시스템의 안정성을 판별할 수 있는 이론에 대해서 알아보겠다. 시스템이 선형 시불변이라면 시스템의 고윳값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다. 이와 같은 안정성 판별 방법을 간접방법(indirect method)이라고 한다. 그러나 선형화를 사용하여 비선형 시스템의 로컬 안정성을 파악할 수 없는 상황이 있을 수 있다. 또한 선형화는 그 속성상 비선형 시스템의 전역(global) 안정성에 대해서는 알려줄 수가 없다. 물론 비선형.. 2022. 9. 30.

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