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궤도 에너지와 속도 운동에너지(kinetic energy)와 위치에너지(potential energy)의 합이 기계적인 에너지 \(\mathcal{E}\) 이며, 이 에너지는 운동 궤도상에서 일정하게 보존된다. \[ \frac{v^2}{2}- \frac{\mu }{r} = \mathcal{E} = \mbox{constant} \tag{1} \] 여기서 \(\frac{v^2}{2} \) 은 단위질량당 운동에너지, \(-\frac{\mu}{r}\) 는 단위질량당 위치에너지이다. 이제 이체문제(two-body problem)에서 질점 \(M\) 을 지구로, 질점 \(m\) 을 우주비행체로 보고 논의를 진행하자. 궤도의 에너지 \(\mathcal{E}\) 는 궤도상에서 모두 동일하므로 근지점(perigee)이나 원지점(apogee.. 2021. 12. 14.
케플러(Kepler) 법칙의 증명 케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다. 케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다. 케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다. 케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을.. 2021. 12. 13.
이체문제에서 궤도의 모양 이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다. \[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \] 여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (e.. 2021. 12. 13.
풍력단지 제어(Wind Farm Control)의 방법 풍력단지에서 전력 손실의 가장 큰 원인 중의 하나는 상류 풍력터빈에 의해 발생하는 후류(wake)로서, 이로 인해 전체 전력의 약 20~40% 가량이 손실된다고 한다. 뿐만 아니라 하류에 있는 풍력터빈은 상류 풍력터빈 보다도 약 80% 가량 더 큰 구조적 하중(loading)을 받는다고 한다. 이러한 문제에 대처하기 위한 풍력단지 제어(wind farm control)로서 일반적으로 두가지 방법이 사용된다. 후류방향제어(WRC, Wake Redirection Control)와 축방향 유도제어(AIC, Axial Induction Control)이다. 연구에 따르면 두 방법 모두 전력 생산을 증가시킬 수 있고 구조적 하중을 줄일 수 있다고 한다. 후류방향제어(WRC)는 상류 풍력터빈의 로터면을 유입되는 바.. 2021. 12. 5.
풍력단지 제어(Wind Farm Control)의 배경 풍력터빈은 단독으로 운영되기도 하지만 일반적으로는 여러 개의 풍력터빈을 모아서 대규모 단지를 만들어서 운영된다. 이러한 단지를 풍력단지(wind farm) 또는 풍력발전 플랜트라고 한다. 풍력단지를 운영하면 풍력터빈을 단독으로 운영할 때 보다도 풍력터빈과 전력 그리드의 배치 비용을 감소시킬 수 있고 풍력터빈의 유지비용도 절약할 수 있다. 하지만, 풍력터빈을 일정한 지역에 밀집시켜 배치함으로써 생기는 여러 문제점도 존재한다. 먼저 상류에 있는 풍력터빈의 영향으로 하류 풍력터빈이 맞이하는 바람속도가 작아지면서 하류에 있는 풍력터빈이 추출할 수 있는 바람 에너지가 작아진다. 또한 바람이 풍력터빈을 통과하면서 바람의 난류 강도(turbulence intensity)가 증가하기 때문에 하류에 있는 풍력터빈의 피로.. 2021. 11. 28.
풍력터빈 제어(Wind Turbine Control)의 방법 풍력터빈의 작동 영역은 바람 속도를 기준으로 크게 4개로 구분하나, 실제 풍력터빈이 전력을 생산하는 영역은 Region II와 Region III이다. 앞서 설명했듯이 Region II의 제어 목적은 피치각과 선단 속도비를 일정한 최적값으로 유지시키는 것이고, Region III의 경우는 정격 풍속 이상에서 풍력터빈의 출력을 정격으로 제한시키는 것이다. 그렇다면 어떤 방법으로 이러한 제어 목적을 달성할 수 있을까. 먼저 Region II의 경우 선단 속도비를 일정한 값으로 유지시키는 것이 목적이므로, 언뜻 생각하면 선단 속도비를 유지하기 위해서 바람 속도를 측정하여 이를 기준으로 로터 회전 속도를 제어하면 되지 않겠나 생각할 수 있다. 하지만 바람 속도 정보를 이용하여 선단 속도비를 제어한다고 할 때 어.. 2021. 11. 10.
풍력터빈 제어(Wind Turbine Control)의 원리 풍력터빈(wind turbine)이 바람으로부터 추출할 수 있는 파워 \(P\) 는 바람 속도의 세제곱에 비례한다. \[ P=C_P \frac{1}{2} \rho Av^3 \tag{1} \] 여기서 파워계수 \(C_P\) 는 요각(yaw angle) \(\gamma\), 피치각 \(\beta\) 그리고 선단 속도비(TSR, tip speed ration) \(\lambda\) 의 함수다. 요각이 \(\gamma =0\) 일 때 전형적인 3차원 \(C_P\) 곡면은 다음 그림과 같다. 같은 바람 속도에 대해서 바람으로부터 최대의 파워를 추출하기 위해서는 \(C_P=C_{P_{MAX} }\) 의 상태(그림에서 \(C_P\) 의 최정점)로 터빈을 작동시켜야 하는데 그 때의 피치각과 선단 속도비의 조건은 각각 .. 2021. 11. 8.
비압축성 유체 정보 기반 신경망 (Incompressible NS-Informed Neural Network) 전산역학 분야에서 큰 관심을 모으고 있는 물리 정보 신경망(PINN, physics-informed neural network)을 이용하여 비압축성 유체(incompressible fluid)의 흐름을 시뮬레이션 해보자. 시뮬레이션 하고자 하는 문제는 다음 그림에 나와 있다. 가로 세로 길이가 각각 \(L=1.0 m, H=0.4 m\) 인 직사각형 영역에 2차원 원형(circular) 실린더가 놓여 있다. 실린더는 유체의 흐름을 방해하는 장애물로서 반지름이 \(r=0.05 m\) 이고 중심점은 입구(inlet)로부터 \(0.2 m\), 하단 벽으로부터 위로 \(0.2 m\) 만큼 떨어진 곳에 위치한다. 유체의 점성계수는 \(\mu=0.02 kg/(m \cdot sec)\) 이고 밀도는 \(\rho=1 k.. 2021. 11. 2.
Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현 Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다. \[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla u \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \tag{1} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla v \rig.. 2021. 10. 22.
Yaw각이 파워계수에 미치는 영향 풍력터빈으로 유입되는 바람의 방향은 계속 변하기 때문에 일반적으로 풍력터빈의 로터축은 항상 바람 방향과 평행하지 않다. 그렇다고 로터축을 바람 방향의 변동성을 따라가도록 빠르게 정렬시킬 수는 없는 노릇이기 때문에 풍력터빈은 대부분 바람 방향과 로터 회전축이 편향된 상태로 작동한다고 할 수 있다. 또한 풍력단지(wind farm)안에 있는 풍력터빈의 경우에는 바람 방향과 로터축을 의도적으로 편향시켜 풍력단지의 제어 목적을 달성하기도 한다. 로터의 회전축과 바람 방향사이의 편향각을 요각(yaw angle) \(\gamma\) 라고 한다. 요각은 풍력터빈의 전력 생산에 영향을 미칠 수 있다. 왜냐하면 요각은 로터에 작용하는 바람 속도의 수직 성분을 감소시켜 로터에 가해지는 추력과 로터에 의해 추출되는 에너지의.. 2021. 10. 12.
바람 에너지와 파워계수 풍력터빈이 바람 에너지로부터 추출하는 파워와 바람이 풍력터빈에 가하는 추력을 원판 모델(actuator disk model)을 기반으로 하여 유도하면 다음과 같다. \[ \begin{align} & P = C_P \frac{1}{2} \rho A v^3 \tag{1} \\ \\ & F_T = C_T \frac{1}{2} \rho A v^2 \end{align} \] 여기서 \(v\) 는 풍력터빈으로 불어오는 바람의 속도, \(A\) 는 풍력터빈의 단면적(여기서는 디스크의 면적)이다. 파워계수(power coefficient) \(C_P\) 와 추력계수(thrust coefficient) \(C_T\) 는 다음과 같이 주어진다. \[ \begin{align} & C_P (a_{ax})=4 a_{ax} (1.. 2021. 10. 8.
물리 정보 신경망 (Physics-Informed Neural Network) 유체(fluid)나 탄성체 또는 변형체의 운동 법칙을 표현하거나 또는 여러가지 공학적인 문제를 모델링하고 해석하는데 편미분 방정식(PDE, partial differential equation)이 사용된다. 예를 들면 유체 운동의 지배 방정식인 나비어-스톡스(Navier-Stokes) 방정식을 들 수 있겠다. 편미분 방정식은 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 해를 구할 수 없기 때문에 수치적인 방법을 사용한다. 전통적인 수치 방법은 유한차분법(FDM), 유한요소법(FEM), 또는 유한체적법(FVM)등이 있다. 이 방법들은 기본적으로 메쉬(mesh)기반으로서 계산 영역을 수많은 작은 메쉬로 분할하고 각 메쉬 포인트에서 수치해를 얻는 것이다. 이와 같은 수치적 방법은 편미분 방정식의 연구를 크게 촉진했으나 .. 2021. 9. 19.
Navier-Stokes 방정식 - 2 Navier-Stokes 방정식은 비선형 연립 편미분 방정식으로서 이 방정식의 해가 항상 존재하는지 여부도 아직 증명되지 않은 밀레니엄 문제 7개 중의 하나로 꼽힌다. 극히 단순한 경우를 제외하고는 해석적인 해가 존재하지 않을 뿐만 아니라, 수치해(numerical solution) 마저 구하기가 매우 어렵다. 비압축성(incompressible) 유체를 가정한다면 밀도 \(\rho\) 는 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같이 된다. \[ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \tag{1} \] 식 (1)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식에서 \(x\) 축 성분은 다음과 같이 간략화된다. \[ \begin{align} \rho \left( \frac{\partial u}{\parti.. 2021. 8. 10.
Navier-Stokes 방정식 - 1 Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙으로부터 유도될 수 있다. 공기를 비롯한 유체는 고체와 달리 정해진 모양이 없기 때문에 뉴톤 제2법칙을 적용하기 위해서는 특별한 아이디어가 필요하다. 공기와 같은 속도로 움직이는 미소 유체요소(infinitesimal fluid element)를 생각해보자. 이 유체요소는 일정한 질량을 가지고 있으며, 질량을 유지하기 위해서 부피는 변할 수 있다고 가정한다. 이 유체요소를 질점으로 보면 뉴톤 제2법칙을 적용할 수 있다. 이 유체요소에 작용하는 힘은 체적력(body force), 압력, 그리고 점성력(viscous force)이 있다. 먼저 체적력에는 대표적으로 중력이 있으며 이밖에 관성력과 전자기력 등이 있다. 체적력 \(d\mathbf{F}_b\) 를 단위.. 2021. 8. 10.

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