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항공우주104

포텐셜 유동 (Potential flow) 유동장의 모든 지점에서 vorticity(와도)가 \(0\) 이면 비회전 유동 (irrotational flow)이라고 한다 (https://pasus.tistory.com/207). \[ \nabla \times \mathbf{V}=0 \tag{1} \] 벡터의 미분 관계식에 의하면 속도벡터가 비회전 벡터장(irrotational vector filed)이라면 속도벡터는 어떤 스칼라장(scalar field) \(\phi(x,y,z,t)\) 의 그래디언트(gradient)와 같다. 즉, 다음 식이 성립한다. \[ \mathbf{V}(x,y,z,t)= \nabla \phi(x,y,z,t) \tag{2} \] 물론 그 반대도 성립한다. 즉 속도벡터가 어떤 스칼라장의 그래디언트라면 속도벡터장은 비회전이다. .. 2023. 10. 13.
켈빈의 순환 정리 (Kelvin’s Circulation Theorem) 다음 그림과 같이 유동장에 고정된 폐곡선 \(C\) 가 있다고 하자. \(\mathbf{V}\) 와 \(d \mathbf{s}\) 는 각각 \(C\) 의 한 점에서의 유체의 속도와 미소 선분벡터를 의미한다. 순환(circulation) \(\Gamma\) 는 유동장에 고정된 폐곡선 \(C\) 를 반시계 방향으로 따라가며 유체의 속도를 선 적분한 것으로 정의한다. \[ \Gamma = -\oint_C \mathbf{V} \cdot d \mathbf{s} \tag{1} \] 순환의 정의에서 마이너스(\(-\)) 부호를 사용한 이유는 선 적분은 관례상 시계반대 방향이 플러스(\(+\))인 반면 항공역학에서는 시계 방향을 플러스(\(+\))로 보기 때문이다. 책에 따라서는 마이너스 부호를 사용하지 않고 정의하는.. 2023. 10. 10.
이류(advection), 대류(convection), 확산(diffusion) 장(field)은 위치와 시간의 함수를 의미한다. 예를 들어서 스칼라장(scalar field)는 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 스칼라 값을 대응시키는 함수이고, 벡터장(vector field)은 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 벡터 값을 대응시키는 함수를 의미한다. 스칼라장의 예로서 밀도 함수 \(\rho =\rho (x,y,z,t)\) 를, 벡터장의 예로서 공기의 속도벡터 함수 \(\mathbf{V}=\mathbf{V}(x,y,z,t)\)를 들 수 있겠다. 이제 유체의 운동과 관련된 용어인 advection, convection, diffusion에 대해서 알아보자. 먼저 advection은 이류라고 번역한다. 이류는 유체의 운동을 통하여 유체의 물리량이 이동하는 것을 의미한다. .. 2023. 10. 7.
[CR3BP] 주기궤도의 매니폴드 계산 라그랑지 포인트(Lagrange point) 에 대한 안정성(stability) 판별과 부분공간(subspace)의 계산 (https://pasus.tistory.com/272)과 유사하게 주기궤도(periodic orbit) 상에 있는 임의의 포인트에 대해서도 안정성 판별과 부분공간을 계산할 수 있다. 주기궤도(periodic orbit) 상에 고정된 포인트에서 계산된 모노드로미 행렬 (monodromy matrix)은 궤도 상에 있는 포인트마다 서로 다른 값을 가지므로 고유벡터(eigenvector)는 달라진다. 반면에 고유값(eigenvalue)은 궤도를 따라 일정하게 유지되는데, 이 때문에 고유값을 '주기궤도의 고유값' 이라고 하며 주기궤도의 한 속성으로 본다. 이에 대해 자세히 알아보기 위하여 .. 2023. 8. 1.
궤도요소 (COE)로 부터 위치 및 속도벡터 계산 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터를 궤도요소(COE, classical orbital elements)로 변환할 수 있었다 (https://pasus.tistory.com/287). 이번에는 이와 반대로 궤도요소를 위치벡터와 속도벡터로 변환하는 방법에 대해서 알아보기로 하자. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 궤도요소 \((a, \ e, \ i, \ \Omega, \ \omega, \ \theta (t_0 ))\) 에서 위치벡터 \(\vec{r}\) 과 속도벡터 \(\vec{v}\) 를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 궤도중심좌표계(perifocal frame)에서 위치벡터와 속도벡터를 구하는 단계와 좌표변환을 통하여 ECI좌표계로 이들 벡터를 변환하는 단계이다. 먼저 궤도중심좌표계에서 위치벡터와.. 2023. 7. 31.
궤도요소 (COE) 계산 고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)의 6개 파라미터는 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터와 함수관계에 있다. 따라서 임의의 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터를 궤도요소로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세 등을 알 수 있다. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}(t_0), \ \vec{v}(t_0)\) 에서 궤도요소를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 우선 위치벡터와 속도벡터로부터 각운동량 벡터 \(\vec{h}\), 승교선 벡터(ascending node vector) \(\vec{n}\), 이심율 벡터(eccentricity vector) \(\vec{e}\) 를 구하는 단계와 이들 벡터로부터 궤도요소를.. 2023. 7. 26.
고전 궤도요소 (Classical Orbital Elements) 고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)는 우주비행체의 궤도 운동을 기술하기 위해 사용되는 수학적인 방법으로서, 궤도의 크기, 모양, 자세를 정의하기 위한 5개의 파라미터와 궤도상에 우주비행체의 위치를 나타내기 위한 1개의 파라미터로 구성되어 있다. 고전 궤도요소는 궤도 운동을 시각적으로 표현하는데 매우 편리하다. 아래 그림은 고전 궤도요소를 그림으로 보여주고 있는데, 6개 파라미터의 자세한 정의는 다음과 같다. 통반경 (semi-latus rectum) 또는 장반경 (semi-major axis): 통반경은 궤도의 주축 (major-axis)에서 궤도까지의 수직거리이다. 통반경은 궤도의 크기를 나타내며 기호로는 \(p\)로 표시한다. 통반경 대신에 장반경 (semi-m.. 2023. 7. 24.
[CR3BP] 주기궤도의 안정성 어떤 \(\bar{\mathbf{x}}(t)\) 가 다음 미분방정식의 해로 주어지는 주기(period)가 \(T\) 인 주기궤도라고 하자. \[ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t)= \mathbf{f}( \bar{\mathbf{x}} (t)) \tag{1} \] \(\bar{\mathbf{x}}(t)\) 에 약간의 섭동 \(\delta \mathbf{x}(t)\) 을 주고 식 (1)에 대입한 후 테일러 시리즈 1차 근사식을 구하면 다음과 같이 된다. \[ \begin{align} & \dot{\bar{\mathbf{x}}} (t)+ \delta \dot{\mathbf{x}}(t) \approx \mathbf{f}( \bar{\mathbf{x}}(t))+ \left. \frac{ \partial.. 2023. 7. 22.
[CR3BP] 헤일로 궤도 (Halo Orbit) 계산 헤일로 궤도(halo orbit)는 라그랑지 포인트 L1, L2, L3 포인트를 중심으로 형성되는 3차원 주기궤도(periodic orbit)이다. 앞서 살펴본 주기궤도의 조건 (https://pasus.tistory.com/277)에 따라 헤일로 궤도는 (x-z) 평면에 대해 대칭이고, (x-z) 평면을 직각으로 통과한다. 따라서 시간 \(t_0\) 의 초기조건과 주기 \(T\) 의 반인 시간 \(T/2\) 에서의 상태벡터는 다음과 같아야 한다. \[ \mathbf{x}(t_0 )= \begin{bmatrix} x(t_0 ) \\ y(t_0 ) \\ z(t_0 ) \\ \dot{x}(t_0 ) \\ \dot{y}(t_0 ) \\ \dot{z}(t_0 ) \end{bmatrix}= \begin{bmatr.. 2023. 7. 14.
[CR3BP] 리야프노프 궤도 (Lyapunov Orbit) 계산 리야프노프 궤도(Lyapunov orbit)는 (x-y) 평면에서 라그랑지 포인트 L1, L2, L3를 중심으로 공전하는 주기궤도(periodic orbit)이다. 앞서 살펴본 주기궤도의 조건 (https://pasus.tistory.com/277)에 따라 리야프노프 궤도는 x축에 대해 대칭이고, x축을 직각으로 통과한다. 따라서 시간 \(t_0\) 의 초기조건과 주기 \(T\) 의 반인 시간 \(T/2\) 에서의 상태벡터는 다음과 같아야 한다. \[ \mathbf{x}(t_0 )= \begin{bmatrix} x(t_0) \\ y(t_0) \\ \dot{x}(t_0) \\ \dot{y}(t_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ 0 \\ 0 \\ v_{y0} \end.. 2023. 7. 11.