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유도항법제어101

[PSOC-1] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 개요 대부분의 연속시간 최적제어 문제는 해석적으로 풀기가 매우 어렵기 때문에 수치적인 방법이 사용된다. 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법에는 간접방법(indirect method)과 직접방법(direct method)이 있다. 간접방법에서는, 우선 변분법(calculus of variation)을 사용하여 최적 필요조건을 유도한 후, 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem) 또는 다중점 경계값 문제(MPBVP, multi-point boundary value problem)를 푼다. 이 방법의 주요 장점은 높은 정확도와 빠른 수렴이다. 그러나 몇 가지 단점이 있다. 첫째, 복잡한 제약 조건을 고려할 때, 필요한 조건에 대한 해석식을 도출하는 것이.. 2021. 12. 15.
[PF-2] SIS에서 파티클 필터로 전체 조건부 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 를 순차 샘플링 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i) }\) 로 다음과 같이 근사화 할 수 있었다. \[ p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \approx \sum_{i=1}^N w_t^{(i)} \delta ( \mathbf{x}_{0:t} - \mathbf{x}_{0:t}^{(i)} ) \tag{1} \] 베이즈 필터는 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 조건부 확률밀도함수인 사후 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:.. 2021. 7. 11.
[PF-1] 순차 중요 샘플링 (Sequential Importance Sampling) 베이즈 필터(Bayes filter) 문제는 측정값의 시퀀스 \(\mathbf{z}_{0:t}\) 와 제어입력의 시퀀스 \(\mathbf{u}_{0:t-1}\) 을 조건으로 한 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 조건부 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 계산하는 문제였다. 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 사후(posterior) 조건부 확률밀도함수\(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 이 주어지면 다양한 종류의 상태변수 추정이 가능하다. 예를 들어 칼만필터(Kalman filter)는 최적 MMSE(minimum mean-square .. 2021. 6. 13.
베이즈 필터 (Bayes Filter) 베이즈 필터(Bayes filter)는 이산시간(discrete-time) 확률 동적 시스템(stochastic dynamical system)의 상태변수를 추정하기 위한 확률론적인 방법으로서 칼만필터를 비롯한 대부분의 상태변수 추정 알고리즘의 근간을 이룬다. 베이즈 필터 문제는 초기 시간 \(0\) 부터 시간스텝 \(t\) 까지의 측정값 시퀀스 \[ \mathbf{z}_{0:t} = \{\mathbf{z}_0, \mathbf{z}_1, ... , \mathbf{z}_t \} \tag{1} \] 와 초기 시간 \(0\) 부터 시간스텝 \(t\) 까지의 제어입력(또는 행동)의 시퀀스 \[ \mathbf{u}_{0:t} = \{\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_1, ... , \mathbf{u}_.. 2021. 6. 8.
칼만필터 알고리즘 칼만필터는 수학 알고리즘이다. 따라서 수학식 없이는 칼만필터를 사용할 수도 이해할 수도 없다. 그렇다고 칼만필터 유도과정을 자세히 이해할 필요까지는 없다. 결과만 잘 이해하고 있어도 칼만필터를 사용할 수 있다. 우선 칼만필터 알고리즘을 수학식으로 써 보겠다. 칼만필터는 다음과 같이 주어진 선형 동적 시스템 모델과 측정 모델, \[ \begin{align} & \mathbf{x}_{t+1}= F_t \mathbf{x}_t+G_t \mathbf{u}_t+ \mathbf{w}_t \\ \\ & \mathbf{z}_t=H_t \mathbf{x}_t+ \mathbf{v}_t \end{align} \] 을 이용하여, 시스템의 상태변수 \(\mathbf{x}(k)\)를 다음과 같이 시간 업데이트와 측정 업데이트 등 .. 2021. 3. 4.
칼만필터란 무엇인가 공대 출신이라면 칼만필터를 한번쯤은 들어 보았을 것이다. 조금 더 관심을 가진 사람이라면 칼만필터가 다음과 같은 일을 한다고 들었을 것이다. 칼만필터로 신호에 섞인 노이즈를 제거할 수 있다. 칼만필터로 센서가 측정하지 못하는 것도 추정할 수 있다. 칼만필터로 여러 센서를 융합하여 더 좋은 측정값을 만들 수 있다. 칼만필터로 기계 장치에 난 고장을 감지할 수 있다. 칼만필터로 적 항공기를 추적할 수 있다. 칼만필터로 선물 또는 주식의 가격을 예측할 수 있다. 이 정도라면, 칼만필터만 잘 다룰 줄 알면 뭔가 대단한 일을 할 수 있을 것 같다는 생각이 들 것이다. 그래서 칼만필터는 공대 출신에게 로망으로 알려져 있다. 실제로 칼만필터는 공학의 모든 분야에 걸친 막대한 영향력 때문에 추정 이론 분야의 가장 위대.. 2021. 3. 3.
[POD-4] Gappy POD 매트랩 예제 Gappy POD 방법을 이용하여 손상된 얼굴 사진을 복구해 보자. 코드는 매트랩으로 작성했다. (1) Extended Yale Face Database B에서 36명의 정면 얼굴 사진을 추출하여 스냅샷 행렬을 만든다. 데이터셋의 샘플 평균을 계산한다. X = yaleFace(:, 1:36); % 32,256 by 36 mu = mean(X,2); (2) 모든 데이터셋을 다음과 같이 치환한다. \[ \mathbf{y}^{(i)} = \mathbf{x}^{(i) } - \mathbf{\mu} \] (3) 데이터셋의 스냅샷 행렬을 만든다. \[ Y = [ \mathbf{y}^{(1) } \ \mathbf{y}^{(2) } \ \cdots \ \mathbf{y}^{(m) } ] \ \in \mathbb{R}^.. 2021. 3. 1.
[POD-3] 개피 적합직교분해 (gappy POD) 적합직교분해(POD) 또는 주성분 분석(PCA)은 \(n\)차원 공간상에서 \(d\)개의 POD 모드(mode) \(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_d\)로 구성된 부분 공간에 데이터 벡터 \(\mathbf{y}(t)\)를 투사(projection)할 때 투사 오차가 최소가 되도록 POD 모드를 결정하는 알고리즘이다. \[ \begin{align} \mathbf{y}^{(i)} & \approx \sum_{j=1}^d a_{ij} \mathbf{w}_j \\ \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{i1} \\.. 2021. 3. 1.
[POD-2] 스냅샷 적합직교분해 (snapshot POD) 고전 적합직교분해(classical POD)는 공간은 이산화시켰지만 시간은 연속적이다. 하지만 실제 유체역학이나 구조해석 문제의 경우 벡터 필드는 일정한 시간 간격의 싯점에서 수치해석으로 계산된 데이터나 또는 측정된 데이터로 주어진다. 고전 POD의 또 다른 문제점은 차원이 \(n=10^8 \sim 10^{10}\)에 달하는 매우 고차원 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산해야 하는데 있다. 이 정도 규모의 차원에서 이를 계산하는 것은 거의 불가능하다. 이러한 고전 POD의 단점을 극복하기 위한 방안으로 스냅샷(snapshot) POD가 개발되었다. 스냅샷 POD는 벡터 필드의 공간 뿐만 아니라 시간도 이산화시켰다는 데 특징이 있다. 스냅샷이란 일정한 싯점에서 수집한 데이터의 집합을 뜻한다. 먼저 벡터 필드 .. 2021. 3. 1.
[POD-1] 고전 적합직교분해 (classical POD) 적합직교분해(POD, proper orthogonal decomposition)은 본래 난류 유동(turbulent flow)에서 가장 에너지가 높은 모드를 추출하기 위해서 도입된 수학적인 기법이다. \(\mathbf{q}(\mathbf{p},t)\)를 위치벡터 \(\mathbf{p}\)와 시간 \(t\)를 독립변수로 하는 벡터 필드 (예를 들면 유동장에서의 속도 벡터)라고 하자. 이 벡터의 시간 평균을 \(\bar{\mathbf{q}}(\mathbf{p})\)라고 하면 벡터 필드가 평균을 기준으로 변동하는 성분(unsteady component)은 다음과 같이 기저함수(basis function)의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. \[ \mathbf{q}(\mathbf{p},t)-\bar{\mathbf.. 2021. 2. 28.

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