[Continuous-Time] 최소에너지 제어와 그래미안

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 는 제어입력이다. 방정식 (1)의 해는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}B\mathbf{u}(\tau )d\tau \end{array}$$

 

이 시스템이 제어가능(controllable)하다면 유한 시간 $t_1<\mathrm{\infty }$ 안에 임의의 초기 상태 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 에서 임의의 목표 상태(target state) $\mathbf{x}(t_1)={\mathbf{x}}_1$ 으로 시스템의 상태를 이동시키는 제어입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 존재한다. 만약 입력의 크기에 제약이 없다면 아주 짧은 시간에도 임의의 상태로 이동시킬 수 있지만 시간이 짧을 수록 제어입력의 크기는 커진다. 만약 입력의 크기에 제약이 있다면 주어진 시간 안에 목표 상태로 상태를 이동시키지 못할 수도 있다.

최소에너지 제어(minimal energy control)는 주어진 시간 $t_1$ 동안 주어진 초기 상태 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 에서 주어진 목표 상태 $\mathbf{x}(t_1)={\mathbf{x}}_1$ 으로 시스템의 상태를 이동시킬 수 있는 제어입력 중에서 가장 작은 에너지를 사용하는 제어입력 ${\mathbf{u}}^{\ast }(t)$ 로 정의한다. 즉,

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^T(t)\mathbf{u}(t)dt\ge {\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\end{array}$$

 

최소에너지 제어는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathbf{u}}^{\ast }(t)=B^T{e}^{A^T(t_1-t)}{W}_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]\end{array}$$

 

여기서 $W_c(t)$ 는 제어가능성 그래미안 (controllability gramian)으로서 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& W_c(t)& ={\int }_0^t{e}^{A\tau }B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau \\ & ={\int }_0^t{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}ds\end{array}$$

 

이를 증명해 보자. 우선 식 (4)를 (2)에 대입하면 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 일 때 $\mathbf{x}(t_1)={\mathbf{x}}_1$ 임을 확인할 수 있다.

 

 

이제 주어진 시간 $t_1$ 동안 주어진 초기 상태 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 에서 주어진 목표 상태 $\mathbf{x}(t_1)={\mathbf{x}}_1$ 으로 시스템의 상태를 이동시킬 수 있는 또 다른 제어입력을 $\mathbf{v}(t)$ 라고 하자. 그러면 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& {\mathbf{x}}_1& =e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^{t_1}{e}^{A(t_1-t)}B{\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\\ {\mathbf{x}}_1& =e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^{t_1}{e}^{A(t_1-t)}B\mathbf{v}(t)dt\end{array}$$

 

위 두 식을 뺴면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& 0=e^{A{t}_1}{\int }_0^{t_1}{e}^{-At}B[\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t)]dt\end{array}$$

 

위 식의 전치(transpose)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& 0={\int }_0^{t_1}{[\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t)]}^T{B}^T{e}^{-A^{T}t}dt\end{array}$$

 

위 식의 양변에 $W_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]$를 곱하고 식 (4)를 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& 0& ={\int }_0^{t_1}{[\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t)]}^T{B}^T{e}^{-A^{T}t}{W}_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]dt\\ & ={\int }_0^{t_1}{[\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t)]}^T{\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\end{array}$$

 

여기서 다음 부등식을 이용하도록 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& 0& \le {\int }_0^{t_1}{(\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t))}^T(\mathbf{v}(t)-{\mathbf{u}}^{\ast }(t))dt\\ & ={\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T(t)\mathbf{v}(t)dt-2{\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt+{\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\end{array}$$

 

식 (9)에 의하면

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt={\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\end{array}$$

 

이므로 위 식을 식 (10)에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T(t)\mathbf{v}(t)dt-2{\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt+{\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\ge 0\end{array}$$

 

따라서

 

$$\begin{array}{r}{\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T(t)\mathbf{v}(t)dt\ge {\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\ast T}(t){\mathbf{u}}^{\ast }(t)dt\end{array}$$

 

이 되므로 식 (4)로 주어지는 제어입력이 최소에너지 제어라는 것이 증명되었다.

최적제어 방법을 이용하여 증명할 수도 있다. 이 최소에너지 제어 문제는

 

$$\begin{array}{r}J=\frac{1}{2}{\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^T(t)\mathbf{u}(t)dt\end{array}$$

 

를 최소화하는 제어입력을 계산하는 문제이므로, 고정최종상태 (fixed-final-state) LQR (https://pasus.tistory.com/258) 문제와 같다. 따라서 '고정최종상태 LQR 게시글'의 식 (14)와 (12)에서 $R=I,t_f=t_1,t_0=0$ 으로 놓으면,

 

$$\begin{array}{r}{\mathbf{u}}^{\ast }(t)=B^T{e}^{A^T(t_1-t)}{W}_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]\end{array}$$

 

이 된다.

 

 

초기 상태가 $\mathbf{x}(0)=0$ 이라면 시간 $t$ 동안 상태 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}$ 까지 이동하는데 필요한 최소 제어 에너지는 식 (4)와 (5)를 이용하여 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& \Vert {\mathbf{u}}^{\ast }{\Vert }^2& ={\int }_0^t{\mathbf{u}}^{\ast T}(\tau ){\mathbf{u}}^{\ast }(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t{\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}(t)e^{A(t-\tau )}B{B}^T{e}^{A^T(t-\tau )}{W}_c^{-1}(t)\mathbf{x}dt\\ \\ & ={\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}(t){\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}B{B}^T{e}^{A^T(t-\tau )}dt{W}_c^{-1}(t)\mathbf{x}\\ \\ & ={\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}(t)\mathbf{x}\end{array}$$

 

만약 시스템이 안정하다면, 무한 제어가능성 그래미안 $W_c$와 그래미안 $W_c(t)$ 가 다음과 같은 관계를 가지므로 (https://pasus.tistory.com/340),

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& W_c\ge W_c(t)\end{array}$$

 

최소 제어입력 에너지는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \Vert {\mathbf{u}}^{\ast }{\Vert }^2={\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}(t)\mathbf{x}\ge {\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}\mathbf{x}\end{array}$$

 

따라서 최소에너지 제어의 에너지 하한(lower bound)은 ${\mathbf{x}}^T{W}_c^{-1}\mathbf{x}$ 로 주어진다.