[Continuous-Time] 제어가능성 그래미안

시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 그래미안(controllability gramian) \(W_c\) 는 다음과 같이 정의한다 (참고로 여러 문헌을 보면 그래미안을 grammian 으로 표기 한 것도 있고 gramian 으로 표기 한 것도 있다).

 

\[ W_c (t)= \int_0^t e^{A \tau} BB^T e^{A^T \tau} \ d \tau \tag{1} \]

 

시스템이 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 임의의 \(t \gt 0\) 에 대해서 \(W_c (t) \gt 0\) 이라는 것은 이미 증명하였다 (https://pasus.tistory.com/336).

 

 

식 (1)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다.

 

\[ \dot{W}_c (t)=AW_c+W_c A^T+BB^T, \ \ \ \ \ W_c (0)=0 \tag{2} \]

 

증명은 다음과 같다.

먼저 식 (1)에서 적분변수를 \(\tau\) 에서 \(s=t-\tau\) 로 바꿔 쓴다.

 

\[ \begin{align} W_c (t) &= \int_t^0 e^{A(t-s)} BB^T e^{A^T (t-s)} \ (-ds) \tag{3} \\ \\ &= \int_0^t e^{A(t-s)} BB^T e^{A^T (t-s)} \ ds \end{align} \]

 

라이프니츠 적분규칙(Leibniz integral rule)에 의해 위 식을 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{W}_c (t) &= \frac{d}{dt} \int_0^t e^{A(t-s)} BB^T e^{A^T (t-s)} \ ds \tag{4} \\ \\ &= e^{A(t-t)} BB^T e^{A^T (t-t) } + \int_0^t Ae^{A(t-s)} BB^T e^{A^T (t-s) } \ ds \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \int_0^t e^{A(t-s)} BB^T e^{A^T (t-s) } A^T \ ds \\ \\ &= BB^T+AW_c+W_c A^T \end{align} \]

 

따라서 (1)은 식 (4)의 해임을 증명했다. 식 (1)에서 \(t=0\) 일 때 \(W_c (0)=0\) 이므로 미분방정식 (4)의 초기값은 \(W_c (0)=0\) 으로 놔야한다.

 

 

이제 \(A\) 가 안정할 때 다음 방정식을 고려해 보자.

 

\[ \begin{align} AW_c+W_c A^T+BB^T=0 \tag{5} \end{align} \]

 

위 식은 \(N=BB^T\) 일 때의 리야프노프 방정식과 같으므로 해 \(W_c\) 는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/339).

 

\[ \begin{align} W_c= \int_0^\infty e^{At} BB^T e^{A^T t} \ dt \tag{6} \end{align} \]

 

식 (6)과 (1)을 비교해 보면, 식 (6)은 식 (1)의 적분구간을 무한시간으로 확장해 놓은 것이다. 또한 식 (5)와 (2)를 비교해보면 식 (6)은 식 (2)의 정정상태 (steady-state)의 해라는 것을 알 수 있다. 식 (6)의 \(W_c\) 를 시스템 \((A, B)\) 의 무한(infinite) 또는 정정상태 제어가능성 그래미안이라고 한다.

만약 \(A\) 가 안정하다면 식 (6)의 \(W_c\) 는 또 다른 제어가능성 테스트를 제공한다. 즉, 무한 제어가능성 그래미안 \(W_c \gt 0\) 은 안정한 시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 필요충분 조건이다.

증명은 다음과 같다. 임의의 \(t \gt 0\) 에 대해서 식 (1)의 \(W_c (t) \gt 0\) 은 제어가능성의 필요충분조건이다. 이 조건을 \(t=\infty\) 인 경우까지 확장한 것이 식 (6)의 \(W_c \gt 0\) 이다. 따라서 무한 제어가능성 그래미안 \(W_c \gt 0\) 은 안정한 시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 필요충분 조건이다.

한편 위 논의를 통해서 무한 제어가능성 그래미안은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} W_c= \lim_{t \to \infty} ⁡W_c (t) = \lim_{t \to \infty}⁡ \int_0^t e^{A\tau} BB^T e^{A^T \tau} \ d\tau \tag{7} \end{align} \]

 

따라서 식 (7)과 (1)에 의하면 시스템 \((A, B)\) 가 제어가능한 경우, 무한 제어가능성 그래미안과 유한 그래미안의 관계는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} W_c \ge W_c (t) \tag{8} \end{align} \]