[Continuous-Time] 제어가능성 그래미안

시스템 $(A,B)$ 의 제어가능성 그래미안(controllability gramian) $W_c$ 는 다음과 같이 정의한다 (참고로 여러 문헌을 보면 그래미안을 grammian 으로 표기 한 것도 있고 gramian 으로 표기 한 것도 있다).

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& W_c(t)={\int }_0^t{e}^{A\tau }B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau \end{array}$$

 

시스템이 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 임의의 $t>0$ 에 대해서 $W_c(t)>0$ 이라는 것은 이미 증명하였다 (https://pasus.tistory.com/336).

 

 

식 (1)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\dot{W}}_c(t)=A{W}_c+W_c{A}^T+B{B}^T,W_c(0)=0\end{array}$$

 

증명은 다음과 같다.

먼저 식 (1)에서 적분변수를 $\tau$ 에서 $s=t-\tau$ 로 바꿔 쓴다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& W_c(t)& ={\int }_t^0{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}(-ds)\\ & ={\int }_0^t{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}ds\end{array}$$

 

라이프니츠 적분규칙(Leibniz integral rule)에 의해 위 식을 미분하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& {\dot{W}}_c(t)& =\frac{d}{dt}{\int }_0^t{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}ds\\ & =e^{A(t-t)}B{B}^T{e}^{A^T(t-t)}+{\int }_0^{t}A{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}ds\\ \\ & +{\int }_0^t{e}^{A(t-s)}B{B}^T{e}^{A^T(t-s)}{A}^{T}ds\\ \\ & =B{B}^T+A{W}_c+W_c{A}^T\end{array}$$

 

따라서 (1)은 식 (4)의 해임을 증명했다. 식 (1)에서 $t=0$ 일 때 $W_c(0)=0$ 이므로 미분방정식 (4)의 초기값은 $W_c(0)=0$ 으로 놔야한다.

 

 

이제 $A$ 가 안정할 때 다음 방정식을 고려해 보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& A{W}_c+W_c{A}^T+B{B}^T=0\end{array}$$

 

위 식은 $N=B{B}^T$ 일 때의 리야프노프 방정식과 같으므로 해 $W_c$ 는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/339).

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& W_c={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}dt\end{array}$$

 

식 (6)과 (1)을 비교해 보면, 식 (6)은 식 (1)의 적분구간을 무한시간으로 확장해 놓은 것이다. 또한 식 (5)와 (2)를 비교해보면 식 (6)은 식 (2)의 정정상태 (steady-state)의 해라는 것을 알 수 있다. 식 (6)의 $W_c$ 를 시스템 $(A,B)$ 의 무한(infinite) 또는 정정상태 제어가능성 그래미안이라고 한다.

만약 $A$ 가 안정하다면 식 (6)의 $W_c$ 는 또 다른 제어가능성 테스트를 제공한다. 즉, 무한 제어가능성 그래미안 $W_c>0$ 은 안정한 시스템 $(A,B)$ 의 제어가능성 필요충분 조건이다.

증명은 다음과 같다. 임의의 $t>0$ 에 대해서 식 (1)의 $W_c(t)>0$ 은 제어가능성의 필요충분조건이다. 이 조건을 $t=\mathrm{\infty }$ 인 경우까지 확장한 것이 식 (6)의 $W_c>0$ 이다. 따라서 무한 제어가능성 그래미안 $W_c>0$ 은 안정한 시스템 $(A,B)$ 의 제어가능성 필요충분 조건이다.

한편 위 논의를 통해서 무한 제어가능성 그래미안은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& W_c=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{W}_c(t)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^t{e}^{A\tau }B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau \end{array}$$

 

따라서 식 (7)과 (1)에 의하면 시스템 $(A,B)$ 가 제어가능한 경우, 무한 제어가능성 그래미안과 유한 그래미안의 관계는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& W_c\ge W_c(t)\end{array}$$