[Continuous-Time] 관측가능성 (Observability)

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \]

 

여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력, \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q \) 는 제어입력이다.

만약 미지의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 에 대해 시간 범위 \(t \in [0, \ t_1]\) 에서의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(\mathbf{y}(t)\) 에 대한 정보를 바탕으로 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 를 유일하게 결정하는데 충분한 유한 시간 \(t_1 \gt 0\) 이 존재하는 경우 시스템 (1) 또는 행렬 \((C, A)\) 는 관측가능(observable)하다고 정의한다.

 

 

LTI 시스템에서 상태변수는 제어입력에 영향을 받으며 차례로 출력에 영향을 미친다. 보통 상태 방정식으로 모델링된 시스템의 상태변수 차원이 제어입력 또는 출력의 차원보다 크다 (\(n \gt p, \ n \gt q)\). 이는 각 상태변수를 직접 작동시키거나 추정할 수 없다는 사실을 의미한다. 그럼에도 불구하고 상태변수를 추정해야할 필요가 있다.

관측가능성은 입력과 출력에 대한 지식으로 시스템의 내부 상태를 얼마나 잘 추정할 수 있는지를 측정하는 척도다. 왜냐하면 만약 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(\mathbf{y}(t)\) 를 이용하여 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 를 유일하게 결정할 수 있다면 방정식 (1)로 주어지는 시스템의 전체 상태 궤적 \(\mathbf{x}(t)\)를 계산할 수 있기 때문이다.

그렇다면 시스템이 이러한 관측 ‘능력’을 보유하고 있는지 아닌지 어떻게 판단할 수 있을까.

방정식 (1)의 해는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{y}(t)=Ce^{At} \mathbf{x}(0)+C \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}( \tau) \ d\tau + D \mathbf{u}(t) \tag{2} \end{align} \]

 

여기서 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(\mathbf{y}(t)\) 를 알고 있다고 가정하면 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 만이 미지수이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} \tilde{\mathbf{y}}(t)=Ce^{At} \mathbf{x}(0) \tag{3} \end{align} \]

여기서

\[ \begin{align} \tilde{\mathbf{y}}(t)= \mathbf{y}(t)-C \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}( \tau) \ d \tau-D\mathbf{u}(t) \end{align} \]

 

는 알고 있는 값이다. 식 (3)에 의하면 결국 \(\mathbf{u}(t)≡0\) 로 가정해도 관측가능성에 대한 해석적 결과는 동일하다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &=A \mathbf{x} \tag{4} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x} \end{align} \]

 

따라서 여기서는 시스템 (4)를 이용하여 관측가능성에 대해 논의하고자 한다.

관측가능성에 관련하여 다음 3가지 명제는 동치이다.

(a) \((C, A)\)는 관측가능하다.

(b) 어떤 \(t_1 \gt 0\) 에 대해서도 \(W_o (t_1 ) \gt 0\) 이다. 여기서 \(W_o\) 를 관측가능성 그래미안(observability gramian)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \begin{align} W_o (t_1 )= \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^T Ce^{A t} \ dt \tag{5} \end{align} \]

 

(c) \(Q_o\) 의 랭크(rank)는 \(n\) 이다. 여기서 \(Q_o\) 를 관측가능성 행렬(observability matrix)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \begin{align} Q_o= \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} \tag{6} \end{align} \]

 

증명은 다음과 같다.

 

 

1. (c) \(\to\) (b)
‘(c) 이면 (b)다’라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 ‘(b)가 아니면 (c)도 아니다’라는 명제를 대신 증명하겠다.
\(W_o (t_1 )\) 가 정정행렬(positive-definite matrix)이 아니라면 \(\mathbf{v}^T W_o (t_1 ) \mathbf{v}=0\) 을 만족하는 어떤 벡터 \(\mathbf{v} \ne 0\) 가 존재한다. 따라서

 

\[ \begin{align} 0 &= \mathbf{v}^T W_o (t_1 ) \mathbf{v} = \mathbf{v}^T \left( \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^TC e^{A t} \ dt \right) \mathbf{v} \tag{7} \\ \\ & = \int_0^{t_1} \mathbf{v}^T e^{A^Tt} C^TC e^{A t} \mathbf{v} \ dt \\ \\ & = \int_0^{t_1} \left( Ce^{A t} \mathbf{v} \right)^T \left( C e^{A t} \mathbf{v} \right) \ dt \\ \\ & = \int_0^{t_1} \lVert C e^{A t} \mathbf{v} \rVert^2 \ dt \end{align} \]

 

이므로 모든 \(0 \le t \le t_1\) 에 대해서 \(Ce^{A t} \mathbf{v} ≡ 0\) 이 된다. 이는 곧 모든 시간 미분도 모든 시간 \(t\) 에서 항상 \(0\) 이 되어야 한다는 뜻이므로,

 

\[ \begin{align} & Ce^{A t} \mathbf{v}=0 \ \ \ \to \ \ \ C \mathbf{v}=0 \\ \\ & CA e^{A t} \mathbf{v}=0 \ \ \ \to \ \ \ CA \mathbf{v}=0 \\ \\ & C A^2 e^{A t} \mathbf{v}=0 \ \ \ \to \ \ \ CA^2 \mathbf{v}=0 \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ \\ & CA^{n-1} e^{A t} \mathbf{v}=0 \ \ \ \to \ \ \ CA^{n-1} \mathbf{v}=0 \end{align} \]

 

가 된다. 따라서

 

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} \mathbf{v}=0= Q_o \mathbf{v} \end{align} \]

 

이므로 \(rank(Q_o ) \lt n\) 이 되어서 ‘(b)가 아니면 (c)도 아니다’ 라는 명제가 증명되었다.

2. (b) \(\to \) (c)
이번에도 ‘(b) 이면 (c)다’라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 ‘(c)가 아니면 (b)도 아니다’라는 명제를 대신 증명하겠다.
만약 \(Q_o\) 의 랭크(rank)가 \(n\) 이 아니라면 \(Q_o \mathbf{v}=0\) 을 만족하는 어떤 벡터 \(\mathbf{v} \ne 0\) 가 존재한다. 따라서

 

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} \mathbf{v}=0 \end{align} \]

 

이다. 케일리-해밀톤 정리(https://pasus.tistory.com/335)에 의하면

 

\[ \begin{align} e^{A t} = \sum_{i=0}^{n-1} \beta_i (t) A^i \end{align} \]

 

로 쓸 수 있으므로 다음 식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} C e^{A t} \mathbf{v}= \sum_{i=0}^{n-1} \beta_i (t) CA^i \mathbf{v} = 0 \end{align} \]

 

따라서

 

\[ \begin{align} W_o (t_1 ) \mathbf{v} &= \left( \int_0^{t_1} e^{A^Tt} C^TC e^{A t} \ dt \right) \mathbf{v} \\ \\ &= \int_0^{t_1} e^{A^Tt} C^TC e^{A t} \mathbf{v} \ dt = 0 \end{align} \]

 

이 되므로 \(W_o (t_1 )\) 는 정정행렬이 아니다.

3. (b) \(\to\) (a)
어떤 \(t_1 \gt 0\) 에서 식 (4)의 해는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{y}(t)= e^{At } \mathbf{x} (0) \tag{8} \end{align} \]

 

이제 다음 관계식을 보자.

 

\[ \begin{align} \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^T \mathbf{y}(t) \ dt &= \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^T Ce^{At_1 } \mathbf{x}(0) \ dt \\ \\ &= \left( \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^T Ce^{At} \ dt \right) \mathbf{x}(0) \\ \\ &=W_o (t_1 ) \mathbf{x}(0) \end{align} \]

 

위 식에 의하면

 

\[ \begin{align} \mathbf{x}(0)=W_o^{-1} (t_1 ) \int_0^{t_1} e^{A^T t} C^T \mathbf{y}(t) \ dt \end{align} \]

 

이 되므로 \(W_o (t_1 ) \gt 0\) 이면 시스템의 초기상태 \(\mathbf{x}(0)\) 를 계산할 수 있다.

4. (a) \(\to \) (b)
이번에도 '(a) 이면 (b)다'라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 '(b)가 아니면 (a)도 아니다'라는 명제를 대신 증명하겠다.
\(W_o (t_1 ) \gt 0\) 이 아니라면 \(\mathbf{v}^T W_o (t_1 ) \mathbf{v}=0\) 을 만족하는 어떤 벡터 \(\mathbf{v} \ne 0\) 가 존재한다. 따라서 식 (7)에 의하면 모든 \(0 \le t \le t_1\) 에 대해서 \(Ce^{At} \mathbf{v}≡0\) 이 된다. 그런데 만약 \(\mathbf{y}(t)=Ce^{At} \mathbf{x}_1 (0)\) 이라면

 

\[ \begin{align} \mathbf{y}(t) &=Ce^{At} (\mathbf{x}_1 (0)+ \mathbf{v}) \\ \\ &=Ce^{At} \mathbf{x}_2 (0) \end{align} \]

 

로 이 되므로 동일한 \(\mathbf{y}(t)\) 에 대한 초기 상태가 유일하지 않기 때문에 시스템은 관측가능하지 않다.

(a) \(\to \) (c) 의 증명은 (a) \(\to\) (b) \(\to\) (c)의 순서로, (c) \(\to \)(a) 의 증명은 (c)\(\to\) (b) \(\to\) (a)의 순서로 증명하면 된다.

 

로 따라서 증명 1,2,3,4에 의해서 관측가능성에 관련한 3가지 명제가 동치임을 증명하였다. 보통 어떤 시스템이 관측가능한지의 여부는 식 (6)의 관측가능성 행렬의 랭크를 계산해서 확인한다.