[Continuous-Time] 안정성과 리야프노프 방정식

행렬 $A$ 의 모든 고유값이 음의 실수부를 갖는다면 행렬 $A$ 는 안정(stable)하다고 한다. 만약 행렬 $A$ 가 안정하다면 다음 리야프노프 방정식(Lyapunov equation),

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A^{T}P+PA=-N\end{array}$$

 

은 모든 행렬 $N$ 에 대해서 유일해를 갖고, 그 해는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{A^{T}t}N{e}^{At}dt\end{array}$$

 

증명은 다음과 같다.

먼저 식 (2)를 (1)에 대입한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& A^{T}P+PA& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{A}^T{e}^{A^{T}t}N{e}^{At}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{A^{T}t}N{e}^{At}Adt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{dt}\left(e^{A^{T}t}N{e}^{At}\right)dt={e^{A^{T}t}N{e}^{At}|}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}\\ \\ & =0-N=-N\end{array}$$

 

따라서 (2)는 식 (1)의 해다.

이제 유일해인지를 증명하기 위해서 식 (1)의 해가 $P_1$ 과 $P_2$ 라고 가정하자. 그러면,

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& A^T(P_1-P_2)+(P_1-P_2)A=0\end{array}$$

 

이 된다. 위 식의 양변에 $e^{A^{T}t}$ 와 $e^{At}$ 를 곱하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & e^{A^{T}t}[A^T(P_1-P_2)+(P_1-P_2)A]e^{At}\\ & =\frac{d}{dt}(e^{A^{T}t}(P_1-P_2)e^{At})=0\end{array}$$

 

이 되는데, 이를 적분하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {e^{A^{T}t}(P_1-P_2)e^{At}|}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}=0\end{array}$$

 

이므로 $P_1-P_2=0$ 이 된다. 이로써 유일해가 증명되었다.

 

 

식 (1)에서 $N$ 이 정정행렬 (positive-definite matrix, $N>0$)이라면, 행렬 $A$ 가 안정하기 위한 필요충분 조건은 식 (2)로 주어지는 해가 유일하고 그 해는 $P>0$ 이어야 한다는 것이다.

먼저 필요조건부터 증명한다.

만약 $A$ 가 안정하다면 식 (2)가 유일해라는 것은 이미 증명하였다. 식 (2)에서 $N>0$ 이므로 $N$ 을 $\tilde{N}>0$ 인 $N={\tilde{N}}^T\tilde{N}$ 로 분해할 수 있다. 따라서 $0$ 이 아닌 임의의 벡터 $\mathbf{v}$ 에 대해서

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& {\mathbf{v}}^{T}P\mathbf{v}& ={\mathbf{v}}^T{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{A^{T}t}{\tilde{N}}^T\tilde{N}{e}^{At}dt\mathbf{v}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathbf{v}}^T{e}^{A^{T}t}{\tilde{N}}^T\tilde{N}{e}^{At}\mathbf{v}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \tilde{N}{e}^{At}\mathbf{v}{\Vert }^{2}dt\end{array}$$

 

가 된다. $\tilde{N}$ 과 $e^{At}$ 는 비특이 행렬(non-sigular matrix)이므로 식 (7)의 값은 모든 $t$ 에 대해서 항상 양의 값을 갖는다. 따라서 $P>0$ 임이 증명되었다.

 

 

다음은 충분조건이다. 충분조건은 $N>0$ 과 $P>0$ 이면 행렬 $A$ 가 안정하다는 것이다.

행렬 $A$ 의 고유값을 $\lambda$ 로, 그에 대응하는 고유벡터를 $\mathbf{v}$ 라고 하자. 그러면,

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\end{array}$$

 

이 성립한다. 행렬 $A$ 가 실수이더라도 고유값과 고유벡터는 복소수가 될 수 있음을 고려하여 식 (1)의 양변에 ${\mathbf{v}}^{\ast }$ 와 $\mathbf{v}$ 를 곱하고 식 (8)을 이용하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& -{\mathbf{v}}^{\ast }N\mathbf{v}& ={\mathbf{v}}^{\ast }{A}^{T}P\mathbf{v}+{\mathbf{v}}^{\ast }PA\mathbf{v}\\ & ={\lambda }^{\ast }{\mathbf{v}}^{\ast }P\mathbf{v}+\lambda {\mathbf{v}}^{\ast }P\mathbf{v}\\ \\ & =({\lambda }^{\ast }+\lambda ){\mathbf{v}}^{\ast }P\mathbf{v}=2Re(\lambda ){\mathbf{v}}^{\ast }P\mathbf{v}\end{array}$$

 

이 된다. 그런데 여기서 ${\mathbf{v}}^{\ast }N\mathbf{v}>0$, ${\mathbf{v}}^{\ast }P\mathbf{v}>0$ 이므로 $Re(\lambda )<0$ 이어야 한다. 이로써 충분조건이 증명되었다.