[Continuous-Time] 제어가능성과 PBH 테스트

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 는 제어입력이다. 이 시스템이 제어불가능하다면 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이 존재한다 (https://pasus.tistory.com/337).

그렇다면 구체적으로 $A$ 의 고유값 중 어떤 값이 제어불가능한 고유값일까. 이를 판별하기 위한 방법으로 PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)가 있다.

 

 

PBH 테스트에 의하면, 어떤 복소수 $\lambda$ 가 다음 랭크 조건을 만족한다면 시스템 $(A,B)$ 의 제어불가능한 고유값이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& rank\left(\left[\begin{array}{cc}\lambda I-A& B\end{array}\right]\right)<n\end{array}$$

 

증명은 다음과 같다.

만약 식 (2)의 랭크 조건을 만족한다면 다음 수식을 만족하는 $0$ 이 아닌 벡터 $\mathbf{w}$ 가 존재한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\mathbf{w}}^T[\lambda I-AB]=0\end{array}$$

 

위 식을 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathbf{w}}^{T}A=\lambda {\mathbf{w}}^T,{\mathbf{w}}^{T}B=0\end{array}$$

 

이제 ${\mathbf{w}}^T$ 를 식 (1)의 양변에 곱하고 식 (4)를 적용하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \frac{d({\mathbf{w}}^T\mathbf{x})}{dt}& ={\mathbf{w}}^{T}A\mathbf{x}+{\mathbf{w}}^{T}B\mathbf{u}\\ & =\lambda {\mathbf{w}}^T\mathbf{x}\end{array}$$

 

위 미분방정식을 풀면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathbf{w}}^T\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}{\mathbf{w}}^T\mathbf{x}(0)\end{array}$$

 

위 식에 의하면 어떤 제어입력 $\mathbf{u}$ 에 대해서도 식 (1)의 해가 제어입력의 영향을 전혀 받지 않으므로 $\lambda$ 는 제어불가능한 고유값이다. 그리고 그 때의 $e^{\lambda t}$ 를 제어불가능한 모드라고 한다.

참고로 식 (4)에서 ${\mathbf{w}}^{T}A=\lambda {\mathbf{w}}^T$ 를 만족하는 $0$ 이 아닌 벡터 $\mathbf{w}$ 를 고유값 $\lambda$ 에 해당하는 좌 고유벡터(left eigenvector)라고 한다 (https://pasus.tistory.com/242).

이상의 증명을 통해서 만약 모든 $\lambda$ 에 대해서 $rank([\lambda I-AB])=n$ 이라면 시스템 $(A,B)$ 는 제어가능하다는 것을 알 수 있다.

 

 

다른 방법으로 증명할 수도 있다.

만약 시스템이 식 (2)의 랭크 조건을 만족한다면 식 (4)가 성립하며 식 (4)에 차례로 $B,AB,A^{2}B,..$ 를 곱하면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & {\mathbf{w}}^{T}AB=\lambda {\mathbf{w}}^{T}B=0\\ & {\mathbf{w}}^T{A}^{2}B={\mathbf{w}}^{T}A(AB)=\lambda {\mathbf{w}}^T(AB)=0\\ \\ & {\mathbf{w}}^T{A}^{3}B={\mathbf{w}}^{T}A(AAB)=\lambda {\mathbf{w}}^T{A}^{2}B=0\\ \\ & \cdots \\ \\ & {\mathbf{w}}^T{A}^{k}B=0,k=0,...,n-1\end{array}$$

 

위 식에 의하면 ${\mathbf{w}}^T{Q}_c=0$ 이 되는데 이는 곧 $rank(Q_c)<n$ 이라는 뜻이므로 $(A,B)$ 는 제어불가능한 시스템이라는 것을 알 수 있다. 여기서 $Q_c$ 는 제어가능성 행렬(controllability matrix)이다.

이제 $rank(Q_c)=n_c<n$ 이라고 가정한다.

시스템 $(A,B)$ 가 제어불가능하므로 $\tilde{A}=T^{-1}AT,\tilde{B}=T^{-1}B$ 가 다음 구조를 갖도록 하는 변환행렬 $T$ 가 존재한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \tilde{A}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{cc}& A{}_{c}u\\ 0& A_{uu}\end{array}\right],\tilde{B}=\left[\begin{array}{c}{B}_c\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

그런데

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \left[\begin{array}{cc}\lambda I-\tilde{A}& \tilde{B}\end{array}\right]=T^{-1}\left[\begin{array}{cc}\lambda I-A& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}T& 0\\ 0& I\end{array}\right]\end{array}$$

 

이므로 $rank([\lambda I-\tilde{A}\tilde{B}])=rank([\lambda I-AB])$ 이다. 따라서

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& rank([\lambda I-\tilde{A}\tilde{B}])& =rank\left(\left[\begin{array}{ccc}\lambda I-A_{cc}& -A_{cu}& B_c\\ 0& \lambda I-A_{uu}& 0\end{array}\right]\right)\\ & =rank\left(\left[\begin{array}{ccc}\lambda I-A_{cc}& B_c& -A_{cu}\\ 0& 0& \lambda I-A_{uu}\end{array}\right]\right)\\ \\ & =n_c+rank(\lambda I-A_{uu})\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $(A_{cc},B_c)$ 는 제어가능하기 때문에 $n_c=rank([\lambda I-A_{cc}{B}_c])$ 이다.

식 (10)에 의하면 $rank([\lambda I-\tilde{A}\tilde{B})])<n$ 이 되기 위해서는 $rank(\lambda I-A_{uu})<n-n_c$ 이어야 한다. 이는 곧 $\lambda$ 가 행렬 $A_{uu}$ 의 고유값이라는 뜻이기 때문에 $\lambda$ 는 제어불가능한 고유값이다.