[Continuous-Time] 제어가능성 (Controllability)

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 는 제어입력이다. 만약 유한 시간 $t_1<\mathrm{\infty }$ 안에 임의의 초기 상태 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 에서 임의의 목표 상태(target state) $\mathbf{x}(t_1)={\mathbf{x}}_1$ 으로 시스템의 상태를 움직이도록 하는 제어입력 $\mathbf{u}(t),t\in [0,t_1]$ 이 존재하는 경우, 시스템 (1) 또는 행렬 $(A,B)$ 는 제어가능(controllable)하다고 정의한다.

제어가능성의 정의에서 특징적인 점은 첫째, 초기 상태와 목표 상태는 모두 임의로 주어진다는 것이고, 둘째, 유한한 시간 $t_1$ 에 목표 상태에 도달해야 한다는 것이며, 셋째, 시간 $t>t_1$ 의 상태에 대해서는 어떤 제약도 없다는 것이다. 따라서 목표 상태에 시스템이 머물러 있지 않아도 된다.

 

 

선형 시불변 시스템이 제어가능성 또는 가제어성(controllability)이 있다면 불안정한 시스템을 안정화할 수 있고, 시스템의 반응 속도를 높일 수 있으며, 고유주파수를 변경할 수도 있다. 그리고 특정 최적제어 문제에 대한 해의 존재를 보장할 수도 있다. 이에 대해서는 차차 알아보기로 하고 여기서는 시스템이 이러한 '능력' 을 보유하고 있는지 아닌지, 즉 제어가능한지 아닌지 판단할 수 있는 조건에 대해서 알아본다.

제어가능성에 관련하여 다음 3가지 명제는 동치이다.

(a) $(A,B)$는 제어가능하다.

(b) 어떤 $t_1>0$ 에 대해서도 $W_c(t_1)>0$ 이다. 여기서 $W_c$ 를 제어가능성 그래미안(controllability gramian)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& W_c(t_1)={\int }_0^{t_1}{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}dt\end{array}$$

 

(c) $Q_c$ 의 랭크(rank)는 $n$ 이다. 여기서 $Q_c$ 를 제어가능성 행렬(controllability matrix)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& Q_c=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\end{array}$$

 

증명은 다음과 같다.

 

 

1. (c) $\to$ (b)
‘(c) 이면 (b)다’라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 ‘(b)가 아니면 (c)도 아니다’라는 명제를 대신 증명하겠다.
$W_c(t_1)$ 가 정정행렬(positive-definite matrix)이 아니라면 ${\mathbf{v}}^T{W}_c(t_1)\mathbf{v}=0$ 을 만족하는 어떤 벡터 $\mathbf{v}\ne 0$ 가 존재한다. 따라서

 

$$\begin{array}{rl}0& ={\mathbf{v}}^T{W}_c(t_1)\mathbf{v}={\mathbf{v}}^T\left({\int }_0^{t_1}{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}dt\right)\mathbf{v}\\ \\ & ={\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^T{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}dt\\ \\ & ={\int }_0^{t_1}{\left(B^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}\right)}^T\left(B^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}\right)dt\\ \\ & ={\int }_0^{t_1}\Vert B^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}{\Vert }^{2}dt\end{array}$$

 

이므로 모든 $0\le t\le t_1$ 에 대해서 $B^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}\equiv 0$ 이 된다. 이는 곧 모든 시간 미분도 모든 시간 $t$ 에서 항상 $0$ 이 되어야 한다는 뜻이므로,

 

$$\begin{array}{rl}& B^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}=0\to B^T\mathbf{v}=0\\ \\ & B^T{A}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}=0\to B^T{A}^T\mathbf{v}=0\\ \\ & B^T(A^2{)}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}=0\to B^T(A^2{)}^T\mathbf{v}=0\\ \\ & ⋮\\ \\ & B^T(A^{n-1}{)}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}=0\to B^T(A^{n-1}{)}^T\mathbf{v}=0\end{array}$$

 

가 된다. 따라서

 

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{B}^T\\ B^T{A}^T\\ B^T(A^2{)}^T\\ ⋮\\ B^T(A^{n-1}{)}^T\end{array}\right]\mathbf{v}=0=Q_c^T\mathbf{v}\end{array}$$

 

이므로 $rank(Q_c^T)=rank(Q_c)<n$ 이 되어서 ‘(b)가 아니면 (c)도 아니다’ 라는 명제가 증명되었다.

2. (b) $\to$ (c)
이번에도 ‘(b) 이면 (c)다’라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 ‘(c)가 아니면 (b)도 아니다’라는 명제를 대신 증명하겠다.
만약 $Q_c$ 의 랭크(rank)가 $n$ 이 아니라면 $Q_c^T\mathbf{v}=0$ 을 만족하는 어떤 벡터 $\mathbf{v}\ne 0$ 가 존재한다. 따라서

 

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{B}^T\\ B^T{A}^T\\ B^T(A^2{)}^T\\ ⋮\\ B^T(A^{n-1}{)}^T\end{array}\right]\mathbf{v}=0\end{array}$$

 

이다. 케일리-해밀톤 정리(https://pasus.tistory.com/335)에 의하면

 

$$\begin{array}{r}{e}^{A^{T}t}=\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(t)(A^T{)}^i\end{array}$$

 

로 쓸 수 있으므로 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}{B}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}=\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(t)B^T(A^T{)}^i\mathbf{v}=0\end{array}$$

 

따라서

 

$$\begin{array}{rl}{W}_c(t_1)\mathbf{v}& =\left({\int }_0^{t_1}{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}dt\right)\mathbf{v}\\ \\ & ={\int }_0^{t_1}{e}^{At}B{B}^T{e}^{A^{T}t}\mathbf{v}dt=0\end{array}$$

 

이 되므로 $W_c(t_1)$ 는 정정행렬이 아니다.

3. (b) $\to$ (a)
어떤 $t_1>0$ 에서 식 (1)의 해는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbf{x}(t_1)=e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^{t_1}{e}^{A(t_1-t)}B\mathbf{u}(t)dt\end{array}$$

 

만약 $W_c(t_1)>0$ 이라면 그 역행렬이 존재하므로 제어입력을 다음과 같이 선택할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\mathbf{u}(t)=B^T{e}^{A^T(t_1-t)}{W}_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]\end{array}$$

 

위 식을 (4)에 대입하면,

 

$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}(t_1)& =e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^{t_1}{e}^{A(t_1-t)}B{B}^T{e}^{A^T(t_1-t)}{W}_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]dt\\ \\ & =e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+\left[{\int }_0^{t_1}{e}^{A(t_1-t)}B{B}^T{e}^{A^T(t_1-t)}dt\right]W_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]\\ \\ & =e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0+W_c(t_1)W_c^{-1}(t_1)[{\mathbf{x}}_1-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0]\\ \\ & ={\mathbf{x}}_1\end{array}$$

 

이 된다. 따라서 $W_c(t_1)>0$ 일 때 시스템의 상태를 ${\mathbf{x}}_0$ 에서 ${\mathbf{x}}_1$ 으로 움직이는 제어입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 존재한다.

4. (a) $\to$ (b)
이번에도 '(a) 이면 (b)다'라는 것을 직접 증명하기는 어려우므로 이와 동치인 '(b)가 아니면 (a)도 아니다'라는 명제를 대신 증명하겠다.
만약 $W_c(t_1)>0$ 이 아니라면 $rank(Q_c)<n$ 이다. 한편 케일리-해밀톤 정리(https://pasus.tistory.com/335)에 의하면

 

$$\begin{array}{r}{e}^{A(t_1-t)}=\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(t)A^i\end{array}$$

 

로 놓을 수 있으므로 시스템의 해 (4)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}(t_1)-e^{A{t}_1}{\mathbf{x}}_0& =\mathbf{z}={\int }_0^{t_1}\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(t)A^{i}B\mathbf{u}(t)dt\\ \\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{A}^{i}B{\int }_0^{t_1}{\beta }_i(t)\mathbf{u}(t)dt\end{array}$$

 

위 식에 의하면 $\mathbf{z}$ 는 $range(Q_c)$ 안에 있고 $rank(Q_c)<n$ 이므로 입력 $\mathbf{u}(t)$ 는 상태공간 전체를 스팬(span)할 수 없다. 따라서 시스템은 제어가능하지 않다.

(a) $\to$ (c) 의 증명은 (a) $\to$ (b) $\to$ (c)의 순서로, (c) $\to$(a) 의 증명은 (c)$\to$ (b) $\to$ (a)의 순서로 증명하면 된다.

 

 

따라서 증명 1,2,3,4에 의해서 제어가능성에 관련한 3가지 명제가 동치임을 증명하였다. 보통 어떤 시스템이 제어가능한지의 여부는 식 (3)의 제어가능성 행렬의 랭크를 계산해서 확인한다.