[Continuous-Time] 제어가능성과 PBH 테스트

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

\[ \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \tag{1} \]

 

여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템이 제어불가능하다면 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이 존재한다 (https://pasus.tistory.com/337).

그렇다면 구체적으로 \(A\) 의 고유값 중 어떤 값이 제어불가능한 고유값일까. 이를 판별하기 위한 방법으로 PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)가 있다.

 

 

PBH 테스트에 의하면, 어떤 복소수 \(\lambda\) 가 다음 랭크 조건을 만족한다면 시스템 \((A,B)\) 의 제어불가능한 고유값이다.

 

\[ rank \left( \begin{bmatrix} \lambda I-A & B \end{bmatrix} \right) \lt n \tag{2} \]

 

증명은 다음과 같다.

만약 식 (2)의 랭크 조건을 만족한다면 다음 수식을 만족하는 \(0\) 이 아닌 벡터 \(\mathbf{w}\) 가 존재한다.

 

\[ \mathbf{w}^T [\lambda I-A \ \ \ B]=0 \tag{3} \]

 

위 식을 전개하면 다음과 같다.

 

\[ \mathbf{w}^T A= \lambda \mathbf{w}^T, \ \ \ \mathbf{w}^T B=0 \tag{4} \]

 

이제 \(\mathbf{w}^T\) 를 식 (1)의 양변에 곱하고 식 (4)를 적용하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \frac{d(\mathbf{w}^T \mathbf{x})}{dt} &= \mathbf{w}^T A \mathbf{x}+ \mathbf{w}^T B \mathbf{u} \tag{5} \\ \\ &= \lambda \mathbf{w}^T \mathbf{x} \end{align} \]

 

위 미분방정식을 풀면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{w}^T \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t} \mathbf{w}^T \mathbf{x}(0) \tag{6} \end{align} \]

 

위 식에 의하면 어떤 제어입력 \(\mathbf{u}\) 에 대해서도 식 (1)의 해가 제어입력의 영향을 전혀 받지 않으므로 \(\lambda\) 는 제어불가능한 고유값이다. 그리고 그 때의 \(e^{\lambda t} \) 를 제어불가능한 모드라고 한다.

참고로 식 (4)에서 \(\mathbf{w}^T A=\lambda \mathbf{w}^T\) 를 만족하는 \(0\) 이 아닌 벡터 \(\mathbf{w}\) 를 고유값 \( \lambda \) 에 해당하는 좌 고유벡터(left eigenvector)라고 한다 (https://pasus.tistory.com/242).

이상의 증명을 통해서 만약 모든 \( \lambda \) 에 대해서 \(rank( [\lambda I-A \ \ B])=n\) 이라면 시스템 \((A, B)\) 는 제어가능하다는 것을 알 수 있다.

 

 

다른 방법으로 증명할 수도 있다.

만약 시스템이 식 (2)의 랭크 조건을 만족한다면 식 (4)가 성립하며 식 (4)에 차례로 \(B, AB, A^2 B ,.. \) 를 곱하면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \mathbf{w}^T AB= \lambda \mathbf{w}^T B=0 \tag{7} \\ \\ & \mathbf{w}^T A^2 B=\mathbf{w}^T A(AB)= \lambda \mathbf{w}^T (AB)=0 \\ \\ & \mathbf{w}^T A^3 B=\mathbf{w}^T A(AAB)=\lambda \mathbf{w}^T A^2 B=0 \\ \\ & \ \ \ \ \ \cdots \\ \\ & \mathbf{w}^T A^k B=0, \ \ \ k=0, ..., n-1 \end{align} \]

 

위 식에 의하면 \(\mathbf{w}^T Q_c=0\) 이 되는데 이는 곧 \(rank(Q_c ) \lt n\) 이라는 뜻이므로 \((A, B)\) 는 제어불가능한 시스템이라는 것을 알 수 있다. 여기서 \(Q_c\) 는 제어가능성 행렬(controllability matrix)이다.

이제 \(rank(Q_c )=n_c \lt n\) 이라고 가정한다.

시스템 \((A, B)\) 가 제어불가능하므로 \(\tilde{A}=T^{-1} AT, \ \tilde{B}=T^{-1} B\) 가 다음 구조를 갖도록 하는 변환행렬 \(T\) 가 존재한다.

 

\[ \begin{align} \tilde{A}= \begin{bmatrix} A_{cc} & A{_cu} \\ 0 & A_{uu} \end{bmatrix}, \ \ \ \tilde{B}= \begin{bmatrix} B_c \\ 0 \end{bmatrix} \tag{8} \end{align} \]

 

그런데

 

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} \lambda I- \tilde{A} & \tilde{B} \end{bmatrix} = T^{-1} \begin{bmatrix} \lambda I- A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix}T & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \tag{9} \end{align} \]

 

이므로 \(rank([\lambda I-\tilde{A} \ \ \tilde{B} ])=rank([\lambda I-A \ \ B])\) 이다. 따라서

 

\[ \begin{align} rank([\lambda I-\tilde{A} \ \ \tilde{B} ]) &= rank \left( \begin{bmatrix} \lambda I-A_{cc} & -A_{cu} & B_c \\ 0 & \lambda I-A_{uu} & 0 \end{bmatrix} \right) \tag{10} \\ \\ &= rank \left ( \begin{bmatrix} \lambda I-A_{cc} & B_c & -A_{cu} \\ 0 & 0 & \lambda I-A_{uu} \end{bmatrix} \right) \\ \\ &= n_c + rank(\lambda I-A_{uu} ) \end{align} \]

 

이 된다. 여기서 \((A_{cc}, B_c)\) 는 제어가능하기 때문에 \(n_c=rank( [ \lambda I-A_{cc} \ \ B_c ])\) 이다.

식 (10)에 의하면 \( rank([ \lambda I- \tilde{A} \ \ \tilde{B} )]) \lt n\) 이 되기 위해서는 \( rank(\lambda I-A_{uu} ) \lt n-n_c \) 이어야 한다. 이는 곧 \(\lambda \) 가 행렬 \(A_{uu}\) 의 고유값이라는 뜻이기 때문에 \(\lambda \) 는 제어불가능한 고유값이다.