[Continuous-Time] 안정성과 리야프노프 방정식

행렬 \(A\) 의 모든 고유값이 음의 실수부를 갖는다면 행렬 \(A\) 는 안정(stable)하다고 한다. 만약 행렬 \(A\) 가 안정하다면 다음 리야프노프 방정식(Lyapunov equation),

 

\[ A^T P+PA=-N \tag{1} \]

 

은 모든 행렬 \(N\) 에 대해서 유일해를 갖고, 그 해는 다음과 같다.

 

\[ P= \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} \ dt \tag{2} \]

 

증명은 다음과 같다.

먼저 식 (2)를 (1)에 대입한다.

 

\[ \begin{align} A^T P+PA &= \int_0^\infty A^T e^{A^T t} N e^{At} \ dt + \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} A \ dt \tag{5} \\ \\ &= \int_0^\infty \frac{d}{dt} \left( e^{A^T t} N e^{At} \right) \ dt = \left. e^{A^T t} N e^{At} \right | _{t=0}^{\infty} \\ \\ &=0-N=-N \end{align} \]

 

따라서 (2)는 식 (1)의 해다.

이제 유일해인지를 증명하기 위해서 식 (1)의 해가 \(P_1\) 과 \(P_2\) 라고 가정하자. 그러면,

 

\[ \begin{align} A^T (P_1-P_2)+(P_1-P_2)A=0 \tag{4} \end{align} \]

 

이 된다. 위 식의 양변에 \(e^{A^T t}\) 와 \(e^{At}\) 를 곱하면,

 

\[ \begin{align} & e^{A^T t} \left[ A^T (P_1-P_2)+(P_1-P_2)A \right] e^{At} \tag{5} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \frac{d}{dt} \left( e^{A^T t} (P_1-P_2) e^{At} \right)=0 \end{align} \]

 

이 되는데, 이를 적분하면,

 

\[ \begin{align} \left. e^{A^T t} (P_1-P_2) e^{At} \right|_{t=0}^\infty = 0 \tag{6} \end{align} \]

 

이므로 \(P_1-P_2=0\) 이 된다. 이로써 유일해가 증명되었다.

 

 

식 (1)에서 \(N\) 이 정정행렬 (positive-definite matrix, \(N \gt 0\))이라면, 행렬 \(A\) 가 안정하기 위한 필요충분 조건은 식 (2)로 주어지는 해가 유일하고 그 해는 \(P \gt 0\) 이어야 한다는 것이다.

먼저 필요조건부터 증명한다.

만약 \(A\) 가 안정하다면 식 (2)가 유일해라는 것은 이미 증명하였다. 식 (2)에서 \(N \gt 0\) 이므로 \(N\) 을 \(\tilde{N} \gt 0\) 인 \(N=\tilde{N}^T \tilde{N}\) 로 분해할 수 있다. 따라서 \(0\) 이 아닌 임의의 벡터 \(\mathbf{v}\) 에 대해서

 

\[ \begin{align} \mathbf{v}^T P\mathbf{v} &= \mathbf{v}^T \int_0^\infty e^{A^T t} \tilde{N}^T \tilde{N} e^{At} \ dt \mathbf{v} \tag{7} \\ \\ &= \int_0^\infty \mathbf{v}^T e^{A^T t} \tilde{N}^T \tilde{N} e^{At} \mathbf{v} \ dt = \int_0^\infty \lVert \tilde{N} e^{At} \mathbf{v} \rVert^2 \ dt \end{align} \]

 

가 된다. \(\tilde{N}\) 과 \(e^{At}\) 는 비특이 행렬(non-sigular matrix)이므로 식 (7)의 값은 모든 \(t\) 에 대해서 항상 양의 값을 갖는다. 따라서 \(P \gt 0\) 임이 증명되었다.

 

 

다음은 충분조건이다. 충분조건은 \(N \gt 0\) 과 \(P \gt 0\) 이면 행렬 \(A\) 가 안정하다는 것이다.

행렬 \(A\) 의 고유값을 \(\lambda\) 로, 그에 대응하는 고유벡터를 \(\mathbf{v}\) 라고 하자. 그러면,

 

\[ \begin{align} A \mathbf{v}= \lambda \mathbf{v} \tag{8} \end{align} \]

 

이 성립한다. 행렬 \(A\) 가 실수이더라도 고유값과 고유벡터는 복소수가 될 수 있음을 고려하여 식 (1)의 양변에 \(\mathbf{v}^{*}\) 와 \(\mathbf{v}\) 를 곱하고 식 (8)을 이용하면,

 

\[ \begin{align} -\mathbf{v}^{*} N \mathbf{v} &= \mathbf{v}^{*} A^T P \mathbf{v}+ \mathbf{v}^* PA \mathbf{v} \tag{9} \\ \\ &= \lambda^* \mathbf{v}^{*} P \mathbf{v}+ \lambda \mathbf{v}^{*} P \mathbf{v} \\ \\ &= (\lambda^{*}+ \lambda) \mathbf{v}^* P \mathbf{v}=2 Re(\lambda )\mathbf{v}^* P \mathbf{v} \end{align} \]

 

이 된다. 그런데 여기서 \(\mathbf{v}^* N \mathbf{v} \gt 0\), \(\mathbf{v}^* P \mathbf{v} \gt 0\) 이므로 \(Re(\lambda) \lt 0\) 이어야 한다. 이로써 충분조건이 증명되었다.