케일리-해밀톤 정리 (Cayley-Hamilton Theorem)

정방 행렬 또는 정사각형 행렬 (square matrix) $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 의 특성 다항식(characteristic polynomial)은 다음과 같이 정의된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\Delta }(\lambda )=det(\lambda I-A)={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0\end{array}$$

 

참고로 특성 방정식 $\mathrm{\Delta }(\lambda )=0$ 의 해는 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이다. 행렬 $A$ 의 특성 다항식은 식 (1)과 계수가 똑같은 행렬 다항식으로서 다음과 같이 정의된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Delta }(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I\end{array}$$

 

케일리-해밀톤 정리(Cayley-Hamilton theorem)에 의하면 '모든 정사각형 행렬은 자신의 특성 방정식을 만족한다'. 즉 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\Delta }(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I=0\end{array}$$

 

 

만약 행렬이 대각화가 가능하다면 케일리-해밀톤 정리의 증명은 간단하다. 먼저 행렬 $A$ 를 고유값 분해(eigen decomposition)로 표현한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& A=V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}\end{array}$$

 

여기서 $\mathrm{\Lambda }$ 는 행렬 $A$ 의 고유값을 대각 성분으로 하는 대각행렬이고 $V$ 는 고유벡터를 열(column)로 하는 행렬이다. 식 (4)를 이용하면 식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \mathrm{\Delta }(A)& =V{\mathrm{\Lambda }}^n{V}^{-1}+c_{n-1}V{\mathrm{\Lambda }}^{n-1}{V}^{-1}+\cdots +c_{1}V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}+c_{0}I\\ & =V[{\mathrm{\Lambda }}^n+c_{n-1}{\mathrm{\Lambda }}^{n-1}+\cdots +c_1\mathrm{\Lambda }+c_{0}I]V^{-1}\end{array}$$

 

위 식에서 대괄호 항은 대각 행렬로서 $(i,i)$ 성분은 다음과 같이 고유값 ${\lambda }_i$ 의 다항식인데, 고유값은 특성 방정식의 해이기 때문에 이 값은 $0$ 이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\lambda }_i^n+c_{n-1}{\lambda }_i^{n-1}+\cdots +c_1{\lambda }_i+c_0=0\end{array}$$

 

따라서 식 (5)의 대괄호 항은 $0$ 이 되므로 $\mathrm{\Delta }(A)=0$ 임이 증명된다.

 

 

일반적인 경우 케일리-해밀톤 정의의 증명은 다음과 같다. 먼저 행렬 $(\lambda I-A)$ 와 수반행렬(adjoint matrix)과의 관계는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& (\lambda I-A)\text{adj}(\lambda I-A)=det(\lambda I-A)I\end{array}$$

 

행렬 $(\lambda I-A)$ 의 수반행렬의 구성 성분은 $(\lambda I-A)$ 의 행과 열을 삭제하여 얻은 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬의 행렬식(determinant)으로 계산되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \text{adj}(\lambda I-A)=B_{n-1}{\lambda }^{n-1}+B_{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +B_1\lambda +B_0\end{array}$$

 

여기서 $B_j$ 는 $n\times n$ 행렬이다. 식 (8)을 식 (7)의 왼쪽 항에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& (\lambda I-A)\text{adj}& (\lambda I-A)=B_{n-1}{\lambda }^n+B_{n-2}{\lambda }^{n-1}+\cdots +B_1{\lambda }^2+B_0\lambda \\ & -A{B}_{n-1}{\lambda }^{n-1}-A{B}_{n-2}{\lambda }^{n-2}-\cdots -A{B}_1\lambda -A{B}_0\\ \\ & =B_{n-1}{\lambda }^n+(B_{n-2}-A{B}_{n-1}){\lambda }^{n-1}+(B_{n-3}-A{B}_{n-2}){\lambda }^{n-2}\\ \\ & +\cdots +(B_1-A{B}_2){\lambda }^2+(B_0-A{B}_1)\lambda -A{B}_0\end{array}$$

 

식 (7)의 오른쪽 항을 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& det(\lambda I-A)I={\lambda }^{n}I+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}I+\cdots +c_1\lambda I+c_{0}I\end{array}$$

 

식 (9)와 (10)은 동치이므로 계수끼리 비교하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & B_{n-1}=I\\ & B_{n-2}-A{B}_{n-1}=c_{n-1}I\\ \\ & B_{n-3}-A{B}_{n-2}=c_{n-2}I\\ \\ & ⋮\\ \\ & B_0-A{B}_1=c_{1}I\\ \\ & -A{B}_0=c_{0}I\end{array}$$

 

이제 식 (11)의 첫번째 식의 양변에 $A^n$ 을 곱하고, 두번째 식의 양변에 $A^{n-1}$ 을 곱하며 비슷한 방법으로 마지막 식까지 모두 곱한 후, 왼쪽 항과 오른쪽 항을 각각 모두 더하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& & A^n{B}_{n-1}+A^{n-1}(B_{n-2}-A{B}_{n-1})+A^{n-2}(B_{n-3}-A{B}_{n-2})\\ & +\cdots +A(B_0-A{B}_1)-A{B}_0=0\\ \\ & A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+c_{n-2}{A}^{n-2}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I=\mathrm{\Delta }(A)\end{array}$$

 

식 (12)에 의하면 $\mathrm{\Delta }(A)=0$ 이므로 케일리-해밀톤 정리가 증명되었다.

먼저 케일리-해밀톤 정리가 성립하는지 수치 예제로 확인해 보자. 행렬 $A$ 가 다음과 같이 주어졌을 때,

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

 

특성 다항식은 다음과 같다.

 

$$\mathrm{\Delta }(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda -2$$

 

$\mathrm{\Delta }(A)$ 를 계산하면,

 

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(A)& =A^2-5A-2I\\ \\ & =\left[\begin{array}{cc}7& 1\\ 15& 22\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

이 되므로 케일리-해밀톤 정리가 성립함을 알 수 있다.

케일리-해밀톤 정리에 의하면 $A^n$ 은 $[A^{n-1},A^{n-2},\cdots ,A,I]$ 의 선형 조합으로 표현할 수 있다. 식 (3)의 양변에 $A$ 을 곱하면,

 

$$\begin{array}{r}{A}^{n+1}+c_{n-1}{A}^n\cdots \cdots +c_1{A}^2+c_{0}A=0\end{array}$$

 

이 되므로 $A^{n+1}$ 은 $[A^n,A^{n-1},\cdots ,A^2,A]$ 의 선형 조합으로 표현할 수 있으며, 이는 다시 $[A^{n-1},A^{n-2},\cdots ,A,I]$ 의 선형 조합으로 표현할 수 있다. 이런 식으로 계속하게 되면 행렬 $A$ 에 관한 $n$ 차 이상의 다항식은 항상$[A^{n-1},A^{n-2},\cdots ,A,I]$ 의 선형 조합으로 표현할 수 있다.

케일리-해밀톤 정리를 이용하면 역행렬도 계산할 수 있다.

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 의 역행렬이 존재한다면, 식 (3)의 양변에 $A^{-1}$ 을 곱할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}{A}^{n-1}+c_{n-1}{A}^{n-2}+c_{n-2}{A}^{n-3}+\cdots +c_{1}I+c_0{A}^{-1}=0\end{array}$$

 

따라서 $A^{-1}$ 을 행렬 $A$ 의 다항식으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& A^{-1}=-\frac{1}{c_0}[A^{n-1}+c_{n-1}{A}^{n-2}+c_{n-2}{A}^{n-3}+\cdots +c_{1}I]\end{array}$$

 

예를 들어서 식 (13)의 행렬이 주어졌다면 역행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& =-\frac{1}{c_0}[A+c_{1}I]\\ \\ & =\frac{1}{2}(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3/2& -1/2\end{array}\right]\end{array}$$

 

 

 

이제 $f(\lambda )$ 를 차수 $m$ 의 스칼라 다항식이라고 하고, $p(\lambda )$ 를 차수 $n$ 의 또 다른 다항식으로 하자 (여기서 $n<m$). 그러면 $f(\lambda )$ 를 $p(\lambda )$ 로 나누면 $f(\lambda )=q(\lambda )p(\lambda )+r(\lambda )$ 로 쓸 수 있는데, $q(\lambda )$ 는 차수 $m-n$ 의 다항식이고 나머지 $r(\lambda )$ 는 차수 $n-1$ 이하의 다항식이다. 여기서 $p(\lambda )$ 대신에 특성 다항식 $\mathrm{\Delta }(\lambda )$ 를 선택하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& f(\lambda )=q(\lambda )\mathrm{\Delta }(\lambda )+r(\lambda )\end{array}$$

 

이 된다. 이제 식 (15)를 행렬 $A$ 에 관한 다항식으로 바꾸면

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& f(A)& =q(A)\mathrm{\Delta }(A)+r(A)\\ & =r(A)\end{array}$$

 

이 되어서 $f(A)$ 를 차수 $n-1$ 이하의 다항식인 $r(A)$ 로 변환할 수 있다. $r(\lambda )$ 를 다음과 같이 정의하고,

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& r(\lambda )={\beta }_{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\beta }_{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\beta }_1\lambda +{\beta }_0\end{array}$$

 

식 (15)와 (17)에 행렬 $A$ 의 고유값 ${\lambda }_i$ 를 대입하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& f({\lambda }_i)=q({\lambda }_i)\mathrm{\Delta }({\lambda }_i)+r({\lambda }_i)=r({\lambda }_i)\end{array}$$

 

가 되므로 다항식 $f(\lambda )$ 가 주어졌다면 식 (18)을 이용하여 $n$ 개의 고유값으로 $n$ 개의 계수 ${\beta }_j$ 를 계산할 수 있다. 계수 ${\beta }_j$ 가 계산되면 $f(A)$ 의 계산을 $r(A)$ 를 통하여 수행할 수 있게 되는 것이다.

만약 행렬 $A$ 의 고유값 중 $n_i$ 개 만큼 반복해 (중근, 삼중근 등)가 존재한다면 다음과 같이 식 (18)을 미분하여 수식을 더 만들면 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\frac{d^{l}f(\lambda )}{d{\lambda }^l}|}_{{\lambda }_i}={\frac{d^{l}r(\lambda )}{d{\lambda }^l}|}_{{\lambda }_i},l=0,1,2,...,n_i-1\end{array}$$

 

수치 예제를 통해 자세히 알아보자.

다음과 같이 행렬 $A$ 가 주어졌을 때 $A^{100}$ 을 계산하려고 한다.

 

$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\end{array}$$

 

행렬 $A$ 의 고유값은 $-1$ 로 중근이다. 다항식은 $f(\lambda )={\lambda }^{100}$, $r(\lambda )={\beta }_1\lambda +{\beta }_0$ 로 둔다. 식 (18)에 의하면 두 다항식에 고유값을 대입하면 같으므로,

 

$$\begin{array}{rl}& f(-1)=r(-1):(-1{)}^{100}={\beta }_1(-1)+{\beta }_0\\ \\ & f^{\prime }(-1)=r^{\prime }(-1):100(-1{)}^{99}={\beta }_1\end{array}$$

 

이 되므로 ${\beta }_1=-100,{\beta }_0=-99$ 를 얻을 수 있다. 따라서 다항식은 $r(\lambda )=-100\lambda -99$ 가 되므로

 

$$\begin{array}{rl}{A}^{100}& =-100A-99I=-100\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right]-99\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{cc}-99& -100\\ 100& 101\end{array}\right]\end{array}$$

 

로 계산된다.

식 (18)에서 $f(\lambda )$ 가 꼭 다항식일 필요는 없고 어떤 함수라도 상관없다. 왜냐하면 임의의 함수 $f(\lambda )$ 를 무한급수로 표현할 수 있기 때문이다. 예를 들어서 다음과 같이 행렬 $A$ 가 주어졌을 때 $e^{At}$ 를 계산하려고 한다.

 

$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

행렬 $A$ 의 고유값은 $\pm j$ 로 허근이다. 이제 $f(\lambda )=e^{\lambda t},r(\lambda )={\beta }_1\lambda +{\beta }_0$ 로 둔다. 식 (18)에 의하면 두 다항식에 고유값을 대입하면 같으므로,

 

$$\begin{array}{rl}& f(+j)=r(+j):e^{+jt}={\beta }_1(+j)+{\beta }_0\\ \\ & f(-j)=r(-j):e^{-jt}={\beta }_1(-j)+{\beta }_0\end{array}$$

 

이 되므로 ${\beta }_0=\frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2}=\cos t,{\beta }_1=\sin t$ 를 얻을 수 있다. 따라서 다항식은 $r(\lambda )=\lambda \sin t+\cos t$ 가 되므로

 

$$\begin{array}{rl}{e}^{At}& =A\sin t+I\cos t=\sin t\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]+\cos t\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{cc}\cos t& \sin t\\ -\sin t& \cos t\end{array}\right]\end{array}$$

 

로 계산된다.