근궤적법 (Root locus method)에서 K→∞ 일 때의 근

두 개의 다항식 \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 가 주어졌을 때, 근궤적법(root locus method)은 \(K\) 가 \(0\) 부터 \(\infty\) 까지 변할 때 다음 다항식의 근(root)을 복소평면 위에 스케치하는 방법이다.

 

\[ 1+ K \frac{N(s)}{D(s)} = 0 \tag{1} \]

 

근궤적법은 다음과 같은 가정하에 수행된다.

     (1) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 계수는 모두 실수(real number)이고 최고차항의 계수는 \(1\)이다.
     (2) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 근은 알고 있다.
     (3) \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 는 공통 근이 없다.
     (4) \(N(s)\) 의 차수(order)는 \(D(s)\) 의 차수보다 작거나 같다.

여기서 \(D(s)=0\) 의 근을 극점(pole), \(N(s)=0\) 의 근을 영점(zero)이라고 한다.

근궤적법에 관한 규칙이 6개 정도 있는데, 여기서는 그 중 \(K \to \infty\) 일 때 식 (1)의 근을 구해 보고자 한다. 참고로 \(K=0\) 일 때는 식 (1)에서 \(D(s)+KN(s)=0\) 이므로 \(D(s)=0\) 의 근과 같다.

\(K \to \infty\) 일 때는 식 (1)에서 \( \frac{1}{K} D(s)+N(s)=0\) 이므로 \(N(s)=0\) 의 근과 같다. 여기서 \(D(s)\) 의 차수를 \(n\), \(N(s)\) 의 차수를 \(m\) 이라고 한다면, \(n\) 개의 근 중 \(m\) 개의 근을 구했으므로 \(n-m\) 개의 근을 더 구해야 한다.

 

 

다음과 같이 다항식 \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 를 명시적으로 써보자.

 

\[ \begin{align} D(s) &= s^n+a_{n-1} s^{n-1}+ \cdots +a_1 s+a_0 \tag{2} \\ \\ N(s) &= s^m+b_{m-1} s^{m-1}+ \cdots +b_1 s+b_0 \end{align} \]

 

식 (2)에서 두번째 최고차항의 계수는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ a_{n-1}= - \sum_{i=1}^n p_i , \ \ \ \ \ \ b_{m-1}= - \sum_{j=1}^m z_j \tag{3} \]

 

여기서 \(p_i\) 는 극점, \(z_j\) 는 영점이다. 만약 다항식 \(N(s)\) 와 \(D(s)\) 의 근이 복소근이라면 그 근은 켤레복소수이므로 식 (3)은 다음과 같이 실수부만을 합한 결과와 같다.

 

\[ a_{n-1}= - \sum_{i=1}^n Re(p_i ) , \ \ \ \ \ \ b_{m-1}= - \sum_{j=1}^m Re(z_j ) \tag{4} \]

 

이제 \(N(s)\) 의 근은 아니지만 \(K \to \infty\) 일 때 식 (1)의 근이 되는 어떤 복소수 \(\lambda\) 가 있다고 하자. 즉,

 

\[ N(\lambda) \ne 0, \ \ \ \ \ \ 1+K \frac{N(\lambda)}{D(\lambda)} = 0 \tag{5} \]

 

식 (5)에 의하면 \(D(\lambda) \to \infty\) 이어야 하므로 \(\lambda\) 도 매우 큰 복소수 (\(\vert \lambda \vert ≫ 1\)) 이어야 함을 알 수 있다. 따라서 식 (5)에 식 (2)를 대입하면 다음과 같이 근사화된 관계식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} -K = \frac{D(\lambda)}{N(\lambda)} &= \frac{\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots +a_1 \lambda +a_0}{\lambda^m+b_{m-1} \lambda^{m-1}+ \cdots +b_1 \lambda +b_0 } \tag{6} \\ \\ &= \lambda^{n-m}+( a_{n-1}-b_{m-1} ) \lambda^{n-m-1}+ \cdots \\ \\ & \approx \lambda^{n-m} \left( 1+ \frac{ a_{n-1}-b_{m-1} }{\lambda} \right) \end{align} \]

 

위 식의 양변에 \(\frac{1}{n-m}\) 승을 하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} (-K)^{1/(n-m)} &=(Ke^{j\pi+j2\pi k} )^{1/(n-m)} =(K)^{1/(n-m)} e^{j\pi (1+2k)/(n-m)} \tag{7} \\ \\ &= \lambda \left(1+ \frac{ a_{n-1}-b_{m-1}}{\lambda} \right)^{1/(n-m)} \\ \\ & \approx \lambda \left( 1+ \frac{a_{n-1}-b_{m-1} }{\lambda (n-m) } \right) \\ \\ &= \lambda + \frac{ a_{n-1}-b_{m-1}}{n-m} \end{align} \]

 

여기서 \(k=0, 1, 2, ..., (n-m-1)\) 이다. 식 (7)과 (4)를 이용하면 \(\lambda\) 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \lambda &= (K)^{1/(n-m)} e^{j\pi (1+2k)/(n-m)}-\frac{ a_{n-1}-b_{m-1}}{n-m} \tag{8} \\ \\ &= (K)^{1/(n-m)} e^{j\pi (1+2k)/(n-m)}+ \frac{\sum_{i=1}^n Re(p_i ) - \sum_{j=1}^m Re(z_j ) }{n-m} \\ \\ &= (K)^{1/(n-m)} e^{j \theta_a }+ \sigma_a, \ \ \ \ \ \ k=0, 1, 2, ..., n-m-1 \end{align} \]

 

식 (8)에 의하면 \(K \to \infty\) 일 때, 식 (1)의 근 \(\lambda\) 는 복소평면의 실수축에 있는 점 \(\sigma_a\)를 중심으로 각도가 \(\theta_a\) 인 방사형 선상에 있음을 알 수 있다. 여기서 방사형 선을 점근선(asymptote), \(\sigma_a\) 를 점근선의 중심점(centroid), \(\theta_a\) 를 점근선의 각도라고 하며 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} \sigma_a & =\frac{\sum_{i=1}^n Re(p_i ) - \sum_{j=1}^m Re(z_j ) }{n-m} \tag{9} \\ \\ \theta_a &= \frac{\pi (1+2k)}{n-m}, \ \ \ \ \ \ k=0, 1, 2, ..., n-m-1 \end{align} \]

 

 

 

예를 들어

 

\[ \begin{align} & 1+K \frac{N(s)}{D(s)} =0 \tag{10} \\ \\ & D(s)=s(s+1)(s+2) \\ \\ & N(s)=1 \end{align} \]

 

인 경우, \(n=3, \ m=0\) 이므로 점근선은 \(n-m=3\) 개이며, 점근선의 중심점과 각도는 각각 다음과 같다,

 

\[ \begin{align} & \sigma_a= \frac{(0-1-2)}{(3-0}=-1 \\ \\ & \theta_a= \frac{\pi (1+2k)}{3-0}=60^0, \ \ 180^0, \ \ 300^0 \end{align} \]

 

따라서 \(K \to \infty\) 일 때, 식 (10)의 근은 3개의 점근선 상에 있으며 \(\vert s \vert \to \infty\) 이다.