연속시간 상태공간 방정식의 이산화 (Discretization)

보통 제어기는 디지털 방식으로 구현되고 있다. 이 방식에서는 제어기의 출력도 디지털 신호이기 때문에 일정한 시간 간격에서만 사용할 수 있다. 즉 이산시간(discrete-time) 단계에서만 새로운 제어입력 값을 사용할 수 있다. 하지만 제어 대상 시스템이 연속시간(continuous-time) 시스템이라면 연속적인 입력이 필요하기 때문에 간헐적으로 계산되는 제어 입력을 사용할 수는 없다. 이 때 일반적으로 사용하는 방법은 다음 샘플링 시간까지 제어입력 값을 일정하게 유지시키는 것이다. 이를 0차홀드(ZOH, zero-order hold) 방식이라고 한다. 물론 더 복잡한 유형의 홀드 연산도 가능하지만, ZOH가 가장 널리 사용된다.

 

 

연속시간 (continuous-time) 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템은 다음과 같이 상태공간 방정식(state-space equation)으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)\\ & \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$, $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{R}}^q$ 이고 $A,B,C,D$ 는 상수 행렬이다.

이제 시스템의 입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 시간 $t=t_k$ 에서만 바뀌고, 시간 $t_k\le t<t_{k+1}$사이에서는 일정한 값으로 유지된다고 가정하자. 즉,

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t_k),t_k\le t<t_{k+1}\end{array}$$

 

여기서 $T=t_{k+1}-t_k$ 는 샘플링 시간이고 $\mathbf{u}(t_k)$ 는 시간 $t=t_k$ 에서 $\mathbf{u}(t)$ 값을 의미한다. $k$ 는 시간스텝(time step)을 나타내는 인덱스로서 정수 값을 갖는다.

 

 

그러면 샘플링 구간 $t\in [t_k,t_{k+1})$ 에서 연속시간 시스템의 해를 구하면 다음과 같이 된다 (https://pasus.tistory.com/296).

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& \mathbf{x}(t_{k+1})& =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}B\mathbf{u}(\tau )d\tau \\ & =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}Bd\tau \mathbf{u}(t_k)\end{array}$$

 

위 식에서 적분변수를 $\lambda =\tau -t_k$ 로 변환하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& \mathbf{x}(t_{k+1})& =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_0^{t_{k+1}-t_k}{e}^{A(t_{k+1}-t_k-\lambda )}Bd\lambda \mathbf{u}(t_k)\\ & =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_0^T{e}^{A(T-\lambda )}Bd\lambda \mathbf{u}(t_k)\end{array}$$

 

이 된다. 다시 $\tau =T-\lambda$ 로 변환하여 정리하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \mathbf{x}(t_{k+1})& =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_T^0{e}^{A\tau }B(-d\tau )\mathbf{u}(t_k)\\ & =e^{AT}\mathbf{x}(t_k)+{\int }_0^T{e}^{A\tau }Bd\tau \mathbf{u}(t_k)\end{array}$$

 

이 된다. 이산시간 시스템의 기호를 따르기 위하여 다음과 같이 정의하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathbf{x}}_{k+1}=\mathbf{x}(t_{k+1}),{\mathbf{x}}_k=\mathbf{x}(t_k),{\mathbf{u}}_k=\mathbf{u}(t_k)\end{array}$$

 

다음과 같이 연속시간 시스템 (1)의 이산시간 등가 모델(equivalent model)을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathbf{x}}_{k+1}=F{\mathbf{x}}_k+G{\mathbf{u}}_k\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& F& =e^{AT}\\ G& ={\int }_0^T{e}^{A\tau }Bd\tau \\ & =A^{-1}{\left[e^{A\tau }\right]}_0^{T}B\\ & =A^{-1}[e^{AT}-I]B\end{array}$$

 

이다. 식 (8)에서는 $A$ 의 역행렬이 존재함을 가정하였다.

식 (1)의 측정 모델은 동적운동이 없는 정적 시스템이기 때문에 다음과 같이 간단히 샘플링된 변환식을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\mathbf{y}}_k=C{\mathbf{x}}_k+D{\mathbf{u}}_k\end{array}$$

 

여기서 ${\mathbf{y}}_k=\mathbf{y}(t_k)$ 이다. 식 (7)과 (9)를 이산시간(discrete-time) 차분 방정식(difference equation)이라고 한다.

식 (8)을 테일러 시리즈(Taylor series)로 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& F& =e^{AT}=I+AT+\frac{T^2}{2}{A}^2+\cdots \\ G& =A^{-1}[e^{AT}-I]B\\ & =A^{-1}[AT+\frac{T^2}{2}{A}^2+\cdots ]B\\ & =BT+\frac{T^2}{2}AB+\cdots \end{array}$$

 

만약 샘플링 시간 $T$ 가 매우 작다면 위 식에서 $T^2$ 이상은 절삭할 수 있다. 이를 오일러 근사 (Euler's approximation)라고 한다.

오일러 근사식은 식 (1)에서 미분을 다음과 같이 근사화하여 직접 구할 수도 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & \dot{\mathbf{x}}(t_k)\approx \frac{\mathbf{x}(t_{k+1})-\mathbf{x}(t_k)}{T}=A\mathbf{x}(t_k)+B\mathbf{u}(t_k)\\ \to & \mathbf{x}(t_{k+1})=(I+AT)\mathbf{x}(t_k)+BT\mathbf{u}(t_k)\\ \\ \to & {\mathbf{x}}_{k+1}=(I+AT){\mathbf{x}}_k+BT{\mathbf{u}}_k\end{array}$$

 

식 (11)에서 $\dot{\mathbf{x}}(t_k)$ 을 근사화할 때 미래 시간과 현재 시간의 $\mathbf{x}(t)$ 값을 이용(forward difference)했는데, 현재 시간과 과거 시간의 값을 이용(backward difference) 할 수도 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& & \dot{\mathbf{x}}(t_k)\approx \frac{\mathbf{x}(t_k)-\mathbf{x}(t_{k-1})}{T}=A\mathbf{x}(t_k)+B\mathbf{u}(t_k)\\ \to & \mathbf{x}(t_k)=AT\mathbf{x}(t_k)+\mathbf{x}(t_{k-1})+BT\mathbf{u}(t_k)\\ \\ \to & {\mathbf{x}}_k=(I-AT{)}^{-1}{\mathbf{x}}_{k-1}+(I-AT{)}^{-1}BT{\mathbf{u}}_k\\ \\ & \approx (I+AT){\mathbf{x}}_{k-1}+BT{\mathbf{u}}_k\end{array}$$

 

식 (12)에서 세번째 줄은 $T$ 가 매우 작다는 가정하에서 성립한다. 식 (7) 또는 (11)과 식 (12)의 차이점은 제어입력 ${\mathbf{u}}_k$ 가 가해지는 싯점에 있다. 식 (7) 또는 (11)에서는 ${\mathbf{x}}_{k+1}$ 를 계산할 때 ${\mathbf{u}}_k$ 가 적용된 반면 식 (12)에서는 ${\mathbf{x}}_k$ 를 계산할 때 ${\mathbf{u}}_k$ 가 적용되었다.

 

 

제어 분야에서는 식 (7) 또는 (11)의 형식이 일반적으로 사용되는 반면에, 기계학습 분야에서는 식 (12)의 형식이 사용되기도 한다.

 

 

만약 시스템의 입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 시간 $t_{k-1}<t\le t_k$ 사이에서는 일정한 값 $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t_k)$ 로 유지된다고 가정하면, 식 (1)의 해는 다음과 같이 된다.

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& \mathbf{x}(t_k)& =e^{AT}\mathbf{x}(t_{k-1})+{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}{e}^{A(t_k-\tau )}B\mathbf{u}(\tau )d\tau \\ & =e^{AT}\mathbf{x}(t_{k-1})+{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}{e}^{A(t_k-\tau )}Bd\tau \mathbf{u}(t_k)\end{array}$$

 

그러면 연속시간 시스템 (1)의 이산시간 등가 모델은 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\mathbf{x}}_k=F{\mathbf{x}}_{k-1}+G{\mathbf{u}}_k\end{array}$$

 

여기서 $F$ 와 $G$ 는 식 (8)과 동일하다. 식 (14)는 식 (12)와 마찬가지로 제어입력이 가해지는 싯점이 식 (7) 또는 (11)과 차이가 있다.

지금까지 ZOH에 의한 등가 이산화 방법에 대해 설명했다. 이 방법은 샘플링 순간에 정확한 이산시간 모델을 제공한다. 이밖에 연속시간 전달함수(transfer function)를 이산시간 등가 함수로 변환하는 방법도 있다.