상태천이행렬 (State Transition Matrix) 과 Floquet 정리

다음과 같이 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 는 상수 행렬이다. 이 시스템의 해는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/234).

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)\end{array}$$

 

 

 

이번에는 다음과 같은 선형 시변(LTV, linear time-varying) 시스템의 해를 구해보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)\end{array}$$

 

여기서 행렬 $A(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 는 시간 연속 함수(continuous function)이다. 이 시스템의 해는 시불변 시스템과는 달리 그리 간단하게 얻어지지 않는다. 이 시스템의 해를 구하기 위해서 행렬 두 개를 정의한다.

먼저 기본행렬(fundamental matrix)이다. $j$ 번째 성분만 $1$ 이고 나머지 성분은 모두 $0$ 인 기본 벡터 ${\mathbf{e}}_j=[0\cdots 1\cdots 0{]}^T$ 가 있을 때 ${\psi }_j(t)$ 를 다음과 같은 미분 방정식의 해라고 정의하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\dot{\psi }}_j(t)=A(t){\psi }_j(t),{\psi }_j(t_0)={\mathbf{e}}_j\end{array}$$

 

여기서 ${\psi }_j(t_0)$ 는 ${\psi }_j(t)$ 의 초기값을 의미한다. 그러면 초기값이 다음과 같을 때에는

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& c_1{\psi }_1(t_0)+\cdots +c_n{\psi }_n(t_0)=\mathrm{\Psi }(t_0)\mathbf{c}=\mathbf{x}(t_0)\end{array}$$

 

위 시스템 해는 중첩의 원리에 의해서

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& c_1{\psi }_1(t)+\cdots +c_n{\psi }_n(t)=\mathrm{\Psi }(t)\mathbf{c}=\mathbf{x}(t)\end{array}$$

 

로 주어질 것이다. 여기서 $\mathbf{c}=[c_1{c}_2\cdots c_n{]}^T$ 는 상수 벡터이고,

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathrm{\Psi }(t)=[{\psi }_1(t){\psi }_2(t)\cdots {\psi }_n(t)]\end{array}$$

 

이다. 여기서 $\mathrm{\Psi }(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 를 시스템 $\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)$ 의 기본행렬이라고 한다.

기본행렬의 정의에 의하면 $\mathrm{\Psi }(t_0)=I$ 이고 다음 미분방정식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& \dot{\mathrm{\Psi }}(t)& =[{\dot{\psi }}_1(t){\dot{\psi }}_2(t)\cdots {\dot{\psi }}_n(t)]\\ & =[A(t){\psi }_1(t)A(t){\psi }_2(t)\cdots A(t){\psi }_n(t)]\\ \\ & =A(t)[{\psi }_1(t){\psi }_2(t)\cdots {\psi }_n(t)]\\ \\ & =A(t)\mathrm{\Psi }(t)\end{array}$$

 

식 (6)에 의하면 임의의 시간 $\tau$ 에서 $\mathbf{x}(\tau )=\mathrm{\Psi }(\tau )\mathbf{c}$ 이므로 $\mathbf{c}={\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )\mathbf{x}(\tau )$ 가 되어서

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathbf{x}(t)=\mathrm{\Psi }(t){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )\mathbf{x}(\tau )\end{array}$$

 

로 표현할 수 있다.

다음은 상태천이행렬(STM, state transition matrix)이다. 시스템 $\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)$ 의 기본행렬을 $\mathrm{\Psi }(t)$ 라고 할 때, 이 시스템의 상태천이행렬 $\mathrm{\Phi }(t,\tau )$ 를 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{\Phi }(t,\tau )=\mathrm{\Psi }(t){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )\end{array}$$

 

그러면 식 (9)에 의해서 어떤 시간 $\tau$ 에서 상태변수가 주어졌을 때 다른 시간 $t$ 에서의 상태변수는 상태천이행렬을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. 상태천이행렬이라는 이름 그대로 두 싯점간의 상태변수를 매핑해준다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathbf{x}(t)=\mathrm{\Phi }(t,\tau )\mathbf{x}(\tau )\end{array}$$

 

정의에 의하면 상태천이행렬은 다음 몇가지 특징을 갖는다.

먼저 상태천이행렬을 미분하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& \frac{d}{dt}\mathrm{\Phi }(t,\tau )& =\dot{\mathrm{\Psi }}(t){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )=A(t)\mathrm{\Psi }(t){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )\\ & =A(t)\mathrm{\Phi }(t,\tau )\end{array}$$

 

위 미분방정식의 초기값은 $\mathrm{\Phi }(\tau ,\tau )=I$ 이다. 이는 상태천이행렬의 정의에 의해서 $\mathrm{\Phi }(\tau ,\tau )=\mathrm{\Psi }(\tau ){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )=I$ 이기 때문이다. $\mathrm{\Phi }(t,\tau )$는 $n\times n$ 행렬이기 떄문에 위 식에 의하면 $n^2$ 개의 스칼라 미분방정식이 나온다.

또한 정의에 의하면, 상태천이행렬의 역행렬은

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\mathrm{\Phi }}^{-1}(t,\tau )=\mathrm{\Psi }(\tau ){\mathrm{\Psi }}^{-1}(t)=\mathrm{\Phi }(\tau ,t)\end{array}$$

 

이 된다. 또한 다음과 같이 연쇄법칙도 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& \mathrm{\Phi }(t_2,t_0)& =\mathrm{\Psi }(t_2){\mathrm{\Psi }}^{-1}(t_0)\\ & =\mathrm{\Psi }(t_2){\mathrm{\Psi }}^{-1}(t_1)\mathrm{\Psi }(t_1){\mathrm{\Psi }}^{-1}(t_0)\\ \\ & =\mathrm{\Phi }(t_2,t_1)\mathrm{\Phi }(t_1,t_0)\end{array}$$

 

만약 선형시스템의 시불변이라면 식 (2)에 의해서 상태천이행렬은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& \mathbf{x}(t)& =e^{A(t-\tau )}\mathbf{x}(\tau )\\ & =\mathrm{\Phi }(t,\tau )\mathbf{x}(\tau )\\ \\ & =\mathrm{\Phi }(t-\tau )\mathbf{x}(\tau )\end{array}$$

 

일반적으로 상태천이행렬을 계산하기는 어렵지만 시불변 선형시스템인 경우 상태천이행렬을 쉽게 계산할 수 있다. 또한 식 (15)에 의하면

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& \mathrm{\Phi }(t,\tau )& =e^{A(t-\tau )}=e^{At}{e}^{-A\tau }=e^{At}(e^{A\tau }{)}^{-1}\\ & =\mathrm{\Psi }(t){\mathrm{\Psi }}^{-1}(\tau )\end{array}$$

 

이므로 시불변 시스템 $\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)$ 의 기본행렬은 $\mathrm{\Psi }(t)=e^{At}$ 이다.

 

 

이제 식 (3)으로 주어지는 선형 시변 시스템에서 행렬 $A(t)$ 가 주기(period) $T$ 를 갖는 주기 함수라고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t),A(t)=A(t+T)\end{array}$$

 

 

 

이 시스템의 기본행렬은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(18)}& \dot{\mathrm{\Psi }}(t+T)& =A(t+T)\mathrm{\Psi }(t+T)\\ & =A(t)\mathrm{\Psi }(t+T)\end{array}$$

 

위 식을 식 (8)과 비교해 보면 다음과 같이 상수 비특이(non-singular) 행렬 $M$ 이 존재함을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \mathrm{\Psi }(t+T)=\mathrm{\Psi }(t)M\end{array}$$

 

여기서 $M=e^{\overline{A}T}$ 로 놓고, 행렬 $P(t)$ 를 $P(t)=\mathrm{\Psi }(t)e^{-\overline{A}t}$ 로 정의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(20)}& P(t+T)& =\mathrm{\Psi }(t+T)e^{-\overline{A}(t+T)}=\mathrm{\Psi }(t)M{e}^{-\overline{A}T}{e}^{-\overline{A}t}\\ & =\mathrm{\Psi }(t)e^{-\overline{A}t}=P(t)\end{array}$$

 

가 되어서 $P(t)$ 도 시스템의 주기와 동일한 주기를 갖는 주기 행렬이 된다. $P(t)$ 를 이용하여 시스템의 상태변수 $\mathbf{x}(t)$를 $\mathbf{z}(t)$ 로 변환해 보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(21)}& P(t)\mathbf{z}(t)=\mathbf{x}(t)\end{array}$$

 

식 (21)을 식 (17)에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(22)}& \dot{\mathbf{z}}(t)& ={\dot{P}}^{-1}(t)\mathbf{x}(t)+P^{-1}(t)\dot{\mathbf{x}}(t)\\ & =[{\dot{P}}^{-1}(t)+P^{-1}(t)A(t)]P(t)\mathbf{z}(t)\end{array}$$

 

위 식에서 ${\dot{P}}^{-1}(t)$ 는 다음과 같이 $P^{-1}(t)P(t)=I$ 을 미분하여 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(23)}& & {\dot{P}}^{-1}(t)P(t)+P^{-1}(t)\dot{P}(t)=0\\ \to & {\dot{P}}^{-1}(t)=-P^{-1}(t)\dot{P}(t)P^{-1}(t)\end{array}$$

 

식 (23)을 식 (22)에 대입하면 시스템의 상태변수 $\mathbf{x}(t)$ 가 $\mathbf{z}(t)$ 로 변환된 미분방정식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(24)}& \dot{\mathbf{z}}(t)& =[-P^{-1}(t)\dot{P}(t)P^{-1}(t)+P^{-1}(t)A(t)]P(t)\mathbf{z}(t)\\ & =P^{-1}[A(t)P(t)-\dot{P}(t)]\mathbf{z}(t)\\ \\ & =e^{\overline{A}t}{\mathrm{\Psi }}^{-1}(t)[A(t)\mathrm{\Psi }(t)e^{-\overline{A}t}-A(t)\mathrm{\Psi }(t)e^{-\overline{A}t}+\mathrm{\Psi }(t)e^{-\overline{A}t}\overline{A}]\mathbf{z}(t)\\ \\ & =\overline{A}\mathbf{z}(t)\end{array}$$

 

식 (24)에 의하면 원래 시스템이 선형 시불변 시스템으로 변환된 것을 알 수 있다. 이와 같이 주기적 선형 시변 시스템을 적절한 상태변수 변환을 통하여 신형 시불변 시스템으로 바꿀 수 있다는 것을 Floquet 정리라고 한다.

식 (19)에서 행렬 $M$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(25)}& M={\mathrm{\Psi }}^{-1}(t)\mathrm{\Psi }(t+T)\end{array}$$

 

여기서 $M$ 은 상수 행렬이므로 위 식은 모든 시간에서 동일한 값을 갖는다. 따라서 다음식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(26)}& M& ={\mathrm{\Psi }}^{-1}(t_0)\mathrm{\Psi }(t_0+T)\\ & =\mathrm{\Psi }(t_0+T)\\ \\ & =\mathrm{\Phi }(t_0+T,t_0)\end{array}$$

 

식 (26)으로 정의되는 행렬 $M$ 을 모노드로미 행렬(monodromy matrix)이라고 한다.

식 (24)의 시스템 행렬 $\overline{A}$ 는 모노드로미 행렬 $M$ 과 다음과 같은 관계식을 갖는다.

 

$$\begin{array}{}\text{(27)}& \overline{A}=\frac{1}{T}\log M\end{array}$$