전체 글347 J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율 - 2 J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율을 다음과 같이 유도한 바 있다 (https://pasus.tistory.com/350). \[ \begin{align} \frac{da}{dt} & = 3J_2 \frac{a^2 \mu R_e^2 }{hr^4} \begin{bmatrix} e \sin \theta \ (3 \sin^2 i \sin^2 (\omega + \theta)-1) \\ -(1+e \cos \theta ) \sin^2 i \sin 2(\omega+ \theta) \end{bmatrix} \tag{1} \\ \\ \frac{de}{dt} &= \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu R_e^2}{hr^3 } \begin{bmatrix} \frac{h^2}{\mu r} \sin \theta.. 2024. 9. 24. J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율 - 1 J2 섭동에 의한 궤도요소(orbital elements)의 시간 변화율은 라그랑지 행성 방정식(Lagrange planetary equation)이나 가우스 행성 방정식(Gauss planetary equation)을 이용하여 계산할 수 있다. 여기서는 가우스 행성 방정식을 이용해서 계산해 보도록 하겠다. 게시글 (https://pasus.tistory.com/346)에 있는 가우스 행성 방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \frac{da}{dt}= \frac{2a^2}{h} e \sin \theta \ a_r+ \frac{2a^2}{h} (1+e \cos \theta ) \ a_\theta \tag{1} \\ \\ & \frac{de}{dt}= \frac{h}{\mu} \si.. 2024. 9. 19. J2 섭동 가속도 (J2 Perturbative Acceleration) 이체문제 하에서 지구를 단순하게 구형 대칭 질량체라고 가정하면 중력 포텐셜 함수(gravity potential function)는 \(V(r)=-\frac{\mu}{r}\) 이며 원추형 궤도를 생성한다. 하지만 지구는 구형 대칭 질량체가 아니고 적도 부분이 볼록하고 북극과 남극에서는 펀평한 타원구체 형태를 갖고 있으며 질량 분포 또한 불균일 하다. 이 경우 중력 포텐셜 함수는 구역 조화항(zonal harmonics), 부문 조화항(sectorial harmonics) 및 테세리얼 조화항(tesseral harmonics)을 포함한 복잡한 함수로 모델링할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/348). 만약 지구의 모양과 질량 분포를 자전축을 중심으로 하는 축대칭으로 근사화한다면.. 2024. 9. 14. 중력 포텐셜 함수 (Gravity Potential Function) 이체문제(two-body problem)는 두 질점 사이에 작용하는 중력과 그에 따른 운동에 관한 문제다. 질량 분포가 구대칭인 구체(sphere)라면 모든 질량이 구체의 중심에 집중되어 있는 질점(point mass)처럼 작용하므로 이체문제의 가정에 부합한다. 하지만 대부분의 천체의 경우 기하학적 구조와 질량 분포는 불규칙하다. 지구도 모양이 구형이 아니라 타원체에 가깝고 밀도 또한 균일하지 않다. 이런 상황에서는 저궤도 위성의 경우 불균일한 중력의 영향 떄문에 궤도 섭동을 겪게 된다. 따라서 궤도의 장기적인 예측을 위해서는 지구를 단순하게 질점으로 가정하는 대신 중력 포텐셜 함수에 중력의 불균일한 요인을 추가하여 일정 수준의 정확도를 갖는 중력 모델을 개발할 필요가 있다. 다음 그림과 같이 임.. 2024. 9. 8. 벡터 항등식과 벡터 미분 항등식 먼저 쓸모가 많은 벡터 항등식 4개를 소개한다. 필요할 때 참고하면 된다. 증명은 복잡하긴 해도 어렵진 않다. 여기서 모든 벡터는 3차원 벡터이다. \begin{align} & \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})= \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})= \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \\ \\ & \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} \\ \\ & (\math.. 2024. 9. 5. 가우스 변분 방정식 (Gauss Variational Equation) 라그랑지 행성 방정식은 섭동력이 보존력(conservative force)이어야 한다는 조건이 있었다. 하지만 섭동력이 보존력이 아닌 경우도 많다. 예를 들면 대기 항력, 제어 추력, 태양 복사 압력 등이다. 특히 섭동력이 제어 추력인 경우, 이 힘이 궤도요소에 어떤 영향을 미치는지를 직접적으로 이해하는 것은 제어기 설계에 있어서 매우 중요하다. 가우스 변분 방정식(Gauss variational equation)은 임의의 섭동력으로 인한 궤도요소의 시간 변화율을 힘의 관점에서 명시적으로 표현하기 때문에 섭동력이 비보존력인 경우에 특히 유용하다. 더구나 보존력인 경우에도 힘을 포텐셜 함수의 그래디언트로 표현할 수 있기 때문에 적용 가능하다. 라그랑지 행성 방정식을 유도할 때는 특별한 좌표계를 언급하지.. 2024. 9. 1. 라그랑지 행성 방정식 (Lagrange Planetary Equation) 이체문제는 우주에는 두 개의 질점만 존재하며, 중력이 두 질점 사이에 작용하는 유일한 힘이라는 가정을 기반으로 한다. 이체문제에서 이 힘을 제외한 모든 힘을 섭동력(perturbation force)이라고 한다. 두 질점 운동의 일반적인 섭동력에는 비구형 중심체, 대기 항력, 추진 추력, 태양 복사 압력, 제3의 질점에 의한 중력 등이 있다. 섭동력은 이체문제의 케플러 궤도에 교란을 가하여 정상적인 궤도에서 벗어나는 현상을 초래한다. 파라미터 변분법(VOP, variation of parameters)은 섭동력에 의해 교란된 동적 시스템의 풀이에 적합한 방법이다. 이 방법은 교란되지 않은 시스템 해(solution)의 상수(constant) 파라미터를 시변(time-varying) 파라미터로 일반화할.. 2024. 8. 28. [Continuous-Time] 밸런싱 변환을 이용한 모델 차원 축소 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 이 LTI 시스템은 제어가능(controllable)하고 관측가능(observable)하며 안정(stable)하다고 가정한다. 그러면 이 시스템의 무한 제어가능성 그래미안(infi.. 2024. 8. 8. [Continuous-Time] 관측가능성과 제어가능성의 관계 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align}\] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 주요 제어가능성(controllability) 정리의 의하면 시스템 \((A, B)\) 가 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 의 랭크(rank)가 \(n\) .. 2024. 8. 1. [Continuous-Time] 관측가능성 (Observability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력, \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q \) 는 제어입력이다. 만약 미지의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 에 대해 시간 범위 \(t \in [0, \ t_1]\) 에서의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(.. 2024. 7. 31. [Continuous-Time] 최소에너지 제어와 그래미안 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 방정식 (1)의 해는 다음과 같다. \[ \mathbf{x}(t)=e^{At} \mathbf{x}(0)+ \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}(\tau) \ d \tau \tag{2} \] 이 시스템이 제어가능(controllable)하다면 유한 시간 \(t_1 \lt \infty\) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)= \mathbf{x}.. 2024. 7. 29. [Continuous-Time] 제어가능성 그래미안 시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 그래미안(controllability gramian) \(W_c\) 는 다음과 같이 정의한다 (참고로 여러 문헌을 보면 그래미안을 grammian 으로 표기 한 것도 있고 gramian 으로 표기 한 것도 있다). \[ W_c (t)= \int_0^t e^{A \tau} BB^T e^{A^T \tau} \ d \tau \tag{1} \] 시스템이 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 임의의 \(t \gt 0\) 에 대해서 \(W_c (t) \gt 0\) 이라는 것은 이미 증명하였다 (https://pasus.tistory.com/336). 식 (1)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다. \[ \dot{W}_c (t)=AW_c+W_c A^T+BB^T,.. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 안정성과 리야프노프 방정식 행렬 \(A\) 의 모든 고유값이 음의 실수부를 갖는다면 행렬 \(A\) 는 안정(stable)하다고 한다. 만약 행렬 \(A\) 가 안정하다면 다음 리야프노프 방정식(Lyapunov equation), \[ A^T P+PA=-N \tag{1} \] 은 모든 행렬 \(N\) 에 대해서 유일해를 갖고, 그 해는 다음과 같다. \[ P= \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} \ dt \tag{2} \] 증명은 다음과 같다. 먼저 식 (2)를 (1)에 대입한다. \[ \begin{align}A^T P+PA &= \int_0^\infty A^T e^{A^T t} N e^{At} \ dt + \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} .. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 제어가능성과 PBH 테스트 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템이 제어불가능하다면 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이 존재한다 (https://pasus.tistory.com/337). 그렇다면 구체적으로 \(A\) 의 고유값 중 어떤 값이 제어불가능한 고유값일까. 이를 판별하기 위한 방법으로 PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)가 있다. PBH 테스트에 의하면, 어떤 복소수 .. 2024. 7. 24. 이전 1 2 3 4 ··· 25 다음
