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파티클 군집 최적화 (Particle Swarm Optimization) 파티클 군집 최적화(PSO, particle swarm optimization)는 1995년에 에버하트(Eberhart)와 케네디(Kennedy)가 개발한 최적화 알고리즘으로서 먹이를 찾는 새(bird)들의 군집 행동을 모방해서 개념을 정립했다고 한다. 새 떼는 무리 내부의 리더(leader)나 무리 외부의 통제자 없이 새들간의 상호 작용을 통해 먹이를 찾는다고 한다. 이러한 새들의 집단적 행동을 모방하여 최적화 문제를 풀기 위해서는 군집 지능(swarm intelligence)이라는 전제가 필요하다. 군집 지능은 단순하게 행동하는 개별 에이전트들을 군집으로 적절히 연결하면 그들의 집단적 행동이 매우 지능적인 결과를 만들 수 있다는 것을 의미한다. 즉 멍청한 에이전트들을 연결해 놓으면 전체적으로 똑똑한 .. 2024. 12. 20.
노이즈 공분산 추정 방법: ALS 칼만필터(Kalman filter)는 시스템의 동역학 모델과 센서의 확률적 특성을 이용하여 시스템의 상태를 추정하는 알고리즘이다 (https://pasus.tistory.com/105). 만약 시스템의 동역학 모델이 선형이고 그 모델의 오차와 센서 노이즈를 가우시안(Gaussian) 확률 함수로 정확히 표현할 수 있다면 칼만필터가 계산한 시스템의 상태 추정값은 최소평균제곱오차(MMSE, minimum mean-square error) 관점에서 최적(optimal)이다. 가우시안이 아니더라도 칼만필터는 최상(best)의 추정값을 산출한다. 하지만 실제로는 많은 상황에서 시스템 모델의 오차와 센서 노이즈의 확률적 특성을 모르거나 부분적으로만 아는 경우가 많기 때문에 부정확한 확률 특성 값을 사용한 칼만필터의.. 2024. 12. 17.
이노베이션 (Innovation)의 확률적 특성 칼만필터(Kalman filter)의 이노베이션(innovation) 또는 측정 잔차는 측정값(measurement)과 측정 예측값(measurement prediction)의 차이로서 칼만필터가 작동 중에 유일하게 실제값과 비교하여 알 수 있는 값이다. 따라서 이 값과 이 값의 확률적 특성을 이용하면 칼만필터가 설계대로 잘 작동하고 있는지 여부를 판단할 수 있을 뿐만 아니라 칼만필터 설계값들을 튜닝할 수 있는 근거가 된다. 먼저 칼만필터 알고리즘을 간략히 살펴본 후 이노베이션의 확률적 특성에 대해서 알아보자. 다음과 같이 선형 시스템이 있다. \[ \begin{align} \mathbf{x}_{t+1} &= F_t \mathbf{x}_t + G_t \mathbf{u}_t + \Gamma_t \mat.. 2024. 12. 15.
크로네커 곱 (Kronecker Product) 두 행렬 \(A \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ B \in \mathbb{R}^{p \times q}\) 의 크로네커 곱(Kronecker product) \(A \otimes B\) 는 다음과 같이 정의된다.  \[ \begin{align}A \otimes B= \begin{bmatrix} a_{11} B & ⋯ & a_{1m} B \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n1} B & ⋯ & a_{nm} B \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{np \times mq} \end{align} \]   예를 들어서 행렬 A와 B가 각각 다음과 같을 때,  \[ \begin{align}A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatr.. 2024. 12. 10.
정상 시퀀스 (Stationary Sequence) 랜덤 시퀀스의 정상성(stationarity)이란 랜덤 시퀀스의 확률적 특성 일부 또는 전부가 시불변(time-invariant)이라는 뜻이다. 정상 시퀀스에는 엄밀한 의미의 정상(SSS, strict-sense stationary) 시퀀스와 넓은 의미의 정상(WSS, wide-sense stationary) 시퀀스로 두 가지가 있다. SSS 시퀀스는 임의의 싯점 \(t\) 와 임의의 차수 \(n\) 에 대해서 시퀀스 \( ( \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_{t+1}, ... , \mathbf{x}_{t+n-1 }) \) 과 임의의 정수 \(h\) 만큼 시프트된 시퀀스 \((\mathbf{x}_{t+h}, \mathbf{x}_{t+1+h}, ... , \mathbf{x}_{t+n-1+h.. 2024. 11. 6.
대기 항력에 의한 궤도요소의 시간 변화율 고도 100 km 이하의 궤도인 초저궤도(VLEO, Very Low Earth Orbit)가 최근의 우주임무와 관련하여 주목을 받고 있다. 그러나 이러한 낮은 고도를 효율적으로 사용하려면 대기 항력을 극복해야 하는 큰 과제가 있다. 이 문제를 해결하기 위한 한가지 대안으로서 공기 호흡식 플라즈마 추진기(air-breathing plasma thruster) 관련 연구가 활발해지고 있다. 공기 호흡식 플라즈마 추진기는 홀 추진기, 이온 추진기, 자기플라즈마 역학(MPD) 추진기와 같은 기존의 전기추진시스템(electric propulsion system)과는 달리 대기에서 플라즈마를 생성하고 전기와 자기력을 사용하여 추진력을 생성하므로 무거운 탱크가 필요하지 않는 장점이 있다. 여기서는 추력기가 아니라.. 2024. 10. 29.
J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율 - 2 J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율을 다음과 같이 유도한 바 있다 (https://pasus.tistory.com/350). \[ \begin{align} \frac{da}{dt} & = 3J_2 \frac{a^2 \mu R_e^2 }{hr^4} \begin{bmatrix} e \sin \theta \ (3 \sin^2 i \sin^2 (\omega + \theta)-1) \\ -(1+e \cos \theta ) \sin^2 i \sin 2(\omega+ \theta) \end{bmatrix} \tag{1} \\ \\ \frac{de}{dt} &= \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu R_e^2}{hr^3 } \begin{bmatrix} \frac{h^2}{\mu r} \sin \theta.. 2024. 9. 24.
J2 섭동에 의한 궤도요소의 시간 변화율 - 1 J2 섭동에 의한 궤도요소(orbital elements)의 시간 변화율은 라그랑지 행성 방정식(Lagrange planetary equation)이나 가우스 행성 방정식(Gauss planetary equation)을 이용하여 계산할 수 있다. 여기서는 가우스 행성 방정식을 이용해서 계산해 보도록 하겠다. 게시글 (https://pasus.tistory.com/346)에 있는 가우스 행성 방정식은 다음과 같았다.  \[ \begin{align} & \frac{da}{dt}= \frac{2a^2}{h} e \sin \theta \ a_r+ \frac{2a^2}{h} (1+e \cos \theta ) \ a_\theta \tag{1} \\ \\ & \frac{de}{dt}= \frac{h}{\mu} \si.. 2024. 9. 19.
J2 섭동 가속도 (J2 Perturbative Acceleration) 이체문제 하에서 지구를 단순하게 구형 대칭 질량체라고 가정하면 중력 포텐셜 함수(gravity potential function)는 \(V(r)=-\frac{\mu}{r}\) 이며 원추형 궤도를 생성한다. 하지만 지구는 구형 대칭 질량체가 아니고 적도 부분이 볼록하고 북극과 남극에서는 펀평한 타원구체 형태를 갖고 있으며 질량 분포 또한 불균일 하다. 이 경우 중력 포텐셜 함수는 구역 조화항(zonal harmonics), 부문 조화항(sectorial harmonics) 및 테세리얼 조화항(tesseral harmonics)을 포함한 복잡한 함수로 모델링할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/348). 만약 지구의 모양과 질량 분포를 자전축을 중심으로 하는 축대칭으로 근사화한다면.. 2024. 9. 14.
중력 포텐셜 함수 (Gravity Potential Function) 이체문제(two-body problem)는 두 질점 사이에 작용하는 중력과 그에 따른 운동에 관한 문제다. 질량 분포가 구대칭인 구체(sphere)라면 모든 질량이 구체의 중심에 집중되어 있는 질점(point mass)처럼 작용하므로 이체문제의 가정에 부합한다. 하지만 대부분의 천체의 경우 기하학적 구조와 질량 분포는 불규칙하다. 지구도 모양이 구형이 아니라 타원체에 가깝고 밀도 또한 균일하지 않다. 이런 상황에서는 저궤도 위성의 경우 불균일한 중력의 영향 떄문에 궤도 섭동을 겪게 된다. 따라서 궤도의 장기적인 예측을 위해서는 지구를 단순하게 질점으로 가정하는 대신 중력 포텐셜 함수에 중력의 불균일한 요인을 추가하여 일정 수준의 정확도를 갖는 중력 모델을 개발할 필요가 있다. 다음 그림과 같이 임.. 2024. 9. 8.
벡터 항등식과 벡터 미분 항등식 먼저 쓸모가 많은 벡터 항등식 4개를 소개한다. 필요할 때 참고하면 된다. 증명은 복잡하긴 해도 어렵진 않다. 여기서 모든 벡터는 3차원 벡터이다.   \begin{align} & \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})= \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})= \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \\ \\ & \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} \\ \\ & (\math.. 2024. 9. 5.
가우스 변분 방정식 (Gauss Variational Equation) 라그랑지 행성 방정식은 섭동력이 보존력(conservative force)이어야 한다는 조건이 있었다. 하지만 섭동력이 보존력이 아닌 경우도 많다. 예를 들면 대기 항력, 제어 추력, 태양 복사 압력 등이다. 특히 섭동력이 제어 추력인 경우, 이 힘이 궤도요소에 어떤 영향을 미치는지를 직접적으로 이해하는 것은 제어기 설계에 있어서 매우 중요하다. 가우스 변분 방정식(Gauss variational equation)은 임의의 섭동력으로 인한 궤도요소의 시간 변화율을 힘의 관점에서 명시적으로 표현하기 때문에 섭동력이 비보존력인 경우에 특히 유용하다. 더구나 보존력인 경우에도 힘을 포텐셜 함수의 그래디언트로 표현할 수 있기 때문에 적용 가능하다. 라그랑지 행성 방정식을 유도할 때는 특별한 좌표계를 언급하지.. 2024. 9. 1.
라그랑지 행성 방정식 (Lagrange Planetary Equation) 이체문제는 우주에는 두 개의 질점만 존재하며, 중력이 두 질점 사이에 작용하는 유일한 힘이라는 가정을 기반으로 한다. 이체문제에서 이 힘을 제외한 모든 힘을 섭동력(perturbation force)이라고 한다. 두 질점 운동의 일반적인 섭동력에는 비구형 중심체, 대기 항력, 추진 추력, 태양 복사 압력, 제3의 질점에 의한 중력 등이 있다. 섭동력은 이체문제의 케플러 궤도에 교란을 가하여 정상적인 궤도에서 벗어나는 현상을 초래한다. 파라미터 변분법(VOP, variation of parameters)은 섭동력에 의해 교란된 동적 시스템의 풀이에 적합한 방법이다. 이 방법은 교란되지 않은 시스템 해(solution)의 상수(constant) 파라미터를 시변(time-varying) 파라미터로 일반화할.. 2024. 8. 28.
[Continuous-Time] 밸런싱 변환을 이용한 모델 차원 축소 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.  \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \]   여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 이 LTI 시스템은 제어가능(controllable)하고 관측가능(observable)하며 안정(stable)하다고 가정한다. 그러면 이 시스템의 무한 제어가능성 그래미안(infi.. 2024. 8. 8.

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