케플러 문제 (Kepler’s problem) - 3

비행시간(time of flight)을 계산할 수 있는 케플러 방정식(Kepler's equation)은 $e\approx 1$ 근방에서 계산 정확도가 크게 저하된다. 특히 $E$ 가 $0$ 에 가까우면 $M_e=E-e\sin E\approx E-E=0$ 이 되므로 계산 결과의 신뢰도가 떨어진다. 또한 케플러 방정식은 궤도의 모양에 따라서 다른 방정식을 사용해야 하는 불편함이 따른다.

이러한 두 가지 단점을 극복하고자 새로운 변수를 도입한 케플러 방정식이 개발되었다. 이 방정식은 모든 궤도에 대해서 유효한 범용 방정식이다.

이 방정식을 유도해 보자. 역학적 에너지(https://pasus.tistory.com/173) $\mathcal{E}$ 의 정의로부터 시작한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}=-\frac{\mu }{2a}\end{array}$$

 

여기서 속도의 제곱은 $v^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$ 이므로 식 (1)에 대입하면

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathcal{E}=\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)-\frac{\mu }{r}=-\frac{\mu }{2a}\end{array}$$

 

이 된다. 각운동량의 크기(https://pasus.tistory.com/288) $h=r^2\dot{\theta }=\sqrt{\mu p}$ 로부터 다음 식을 얻을 수 있으므로

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& r^2{\dot{\theta }}^2=\frac{\mu p}{r^2}\end{array}$$

 

식 (2)에서 ${\dot{r}}^2$ 을 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\dot{r}}^2=-\frac{\mu p}{r^2}+\frac{2\mu }{r}-\frac{\mu }{a}\end{array}$$

 

여기서 새로운 변수 $\chi$ 를 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \dot{\chi }=\frac{\sqrt{\mu }}{r}\end{array}$$

 

그러면 식 (4)를 새로운 변수로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\dot{r}}^2=-{\dot{\chi }}^{2}p+2{\dot{\chi }}^{2}r-{\dot{\chi }}^2\frac{r^2}{a}\end{array}$$

 

이 변수를 범용변수(universal variable)라고 한다. 정의에 의하면 범용변수 $\chi$ 의 단위는 $\sqrt{km}$ 이다. 식 (6)의 양변을 ${\dot{\chi }}^2$ 로 나누면,

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{{\dot{r}}^2}{{\dot{\chi }}^2}={\left(\frac{dr}{d\chi }\right)}^2=-p+2r-\frac{r^2}{a}\end{array}$$

 

이 되고, 변수를 분리하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& d\chi =\frac{dr}{\sqrt{-p+2r-\frac{r^2}{a}}}\end{array}$$

 

이 된다. 식 (8)을 '수학 핸드북'의 적분 테이블을 검색하여 정적분을 구하면

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \chi +c_0=\sqrt{a}{\sin }^{-1}\left(\frac{\frac{r}{a}-1}{\sqrt{1-\frac{p}{a}}}\right)\end{array}$$

 

이다. 여기서 $c_0$ 는 적분상수이다. 한편 통반경(semi-latus rectum)은 $p=a(1-e^2)$ 이므로 식 (9)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \chi +c_0=\sqrt{a}{\sin }^{-1}\left(\frac{\frac{r}{a}-1}{e}\right)\end{array}$$

 

위 식에서 $r$ 을 풀면,

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& r=a(1+e\sin \left(\frac{\chi +c_0}{\sqrt{a}}\right))\end{array}$$

 

이 되는데, 이 식을 범용변수의 정의인 식 (5)에 대입하면

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \sqrt{\mu }dt=a(1+e\sin \left(\frac{\chi +c_0}{\sqrt{a}}\right))d\chi \end{array}$$

 

이 된다. $t=t_0$ 에서 $\chi =0$ 을 가정하고 위 식을 적분하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& \sqrt{\mu }(t-t_0)& =a\chi -ae\sqrt{a}(\cos \left(\frac{\chi +c_0}{\sqrt{a}}\right)-\cos \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right))\\ & =a\chi -ae\sqrt{a}[\cos \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right)\cos \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)\\ & -\sin \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right)\sin \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)-\cos \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)]\end{array}$$

 

이 된다. 이제 적분상수를 계산하기 위해서 $t=t_0$ 에서 우주비행체의 위치벡터 ${\overrightarrow{r}}_0$ 와 속도벡터 ${\overrightarrow{v}}_0$ 가 주어졌다고 가정한다. 그러면, 식 (11)로부터

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \frac{r_0}{a}-1=e\sin \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)\end{array}$$

 

를 얻을 수 있다. 식 (11)을 미분하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \dot{r}=\frac{ae}{\sqrt{a}}\cos \left(\frac{\chi +c_0}{\sqrt{a}}\right)\frac{\sqrt{\mu }}{r}\end{array}$$

 

가 되는데 위 식에 초기값을 대입하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\dot{r}}_0=\frac{ae}{\sqrt{a}}\cos \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)\frac{\sqrt{\mu }}{r_0}\end{array}$$

 

가 된다. 여기서 $r\dot{r}=\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v}$ 관계식을 대입하면 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& e\cos \left(\frac{c_0}{\sqrt{a}}\right)=\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{\sqrt{\mu a}}\end{array}$$

 

식 (17)과 (14)를 (13)에 대입하면, 다음 식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{(18)}& \sqrt{\mu }(t-t_0)& =a\chi -ae\sqrt{a}[\cos \left(\frac{\sqrt{\chi }}{\sqrt{a}}\right)\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{e\sqrt{\mu a}}& -\sin \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right)\frac{1}{e}(\frac{r_0}{a}-1)-\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{e\sqrt{\mu a}}]\\ \\ & =a(\chi -\sqrt{a}\sin \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right))\\ & +\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{\sqrt{\mu }}a(1-\cos \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right))\\ & +r_0\sqrt{a}\sin \left(\frac{\chi }{\sqrt{a}}\right)\end{array}$$

 

 

 

여기서 새로운 무차원 변수 $z$ 를 하나 더 도입한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(19)}& z=\frac{{\chi }^2}{a}\end{array}$$

 

그러면 식 (18)을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{(20)}& \sqrt{\mu }(t-t_0)& =\frac{{\chi }^2}{z}(\chi -\frac{\chi }{\sqrt{z}}\sin \sqrt{z})& +\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{\sqrt{\mu }}\frac{{\chi }^2}{z}(1-\cos \sqrt{z})\\ & +r_0\frac{\chi }{\sqrt{z}}\sin \sqrt{z}\\ \\ & =\left(\frac{\sqrt{z}-\sin \sqrt{z}}{(\sqrt{z}{)}^3}\right){\chi }^3\\ & +\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{\sqrt{\mu }}{\chi }^2\frac{1-\cos \sqrt{z}}{z}\\ & +r_0\frac{\chi }{\sqrt{z}}\sin \sqrt{z}\end{array}$$

 

식 (20)은 $z=0$ 에서 특이점을 갖는다. 이를 제거할 목적으로 다음과 같이 두 개의 함수를 도입한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(21)}& & C(z)=\frac{1-\cos \sqrt{z}}{z}\\ & S(z)=\frac{\sqrt{z}-\sin \sqrt{z}}{(\sqrt{z}{)}^3}\end{array}$$

 

$C(z)$ 와 $S(z)$ 를 Stumpff 함수 또는 'C와 S함수' 라고 한다. 이 함수를 식 (20)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \sqrt{\mu }(t-t_0)=S(z){\chi }^3+\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0}{\sqrt{\mu }}{\chi }^{2}C(z)+r_0\chi (1-zS(z))\end{array}$$

 

식 (22)는 모든 궤도 모양에서 사용할 수 있으므로 범용 케플러 방정식(universal Kepler's equation)이라고 한다.

무차원 변수 $z$ 의 정의에 의하면 $z$ 는 궤도가 쌍곡선이면 음수, 타원이면 양수, 그리고 포물선이면 $0$ 의 값을 갖는다. $z$ 가 음수일 경우 $\sqrt{z}$ 는 허수가 되기 때문에 $C(z)$ 와 $S(z)$ 를 하이퍼 삼각함수로 변환할 수 있다. 즉, $z<0$ 일 때 sin 과 cos 함수는 각각

 

$$\begin{array}{rl}\text{(23)}& \sin \sqrt{z}& =\sin j\sqrt{-z}=\frac{e^{-\sqrt{-z}}-e^{\sqrt{-z}}}{2j}& =j\frac{e^{\sqrt{-z}}-e^{-\sqrt{-z}}}{2}=j\sinh \sqrt{-z}\\ \\ \cos \sqrt{z}& =\cos j\sqrt{-z}=\frac{e^{-\sqrt{-z}}+e^{\sqrt{-z}}}{2}=\cosh \sqrt{-z}\end{array}$$

 

이므로 식 (21)은 다음과 같이 하이퍼 삼각함수로 바꿀 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(24)}& C(z)& =\frac{1-\cosh \sqrt{-z}}{z}=\frac{\cosh \sqrt{-z}-1}{-z},z<0\\ S(z)& =\frac{\sqrt{z}-j\sinh \sqrt{-z}}{(\sqrt{z}{)}^3}=\frac{j\sqrt{-z}-j\sinh \sqrt{-z}}{-j(\sqrt{-z}{)}^3}\\ & =\frac{\sinh \sqrt{-z}-\sqrt{-z}}{(\sqrt{-z}{)}^3},z<0\end{array}$$

 

$C(z)$ 와 $S(z)$ 를 급수로 전개하면,

 

$$\begin{array}{rl}\text{(25)}& C(z)& =\frac{1-\cos \sqrt{z}}{z}=\frac{1}{z}-\frac{1}{z}(1-\frac{(\sqrt{z}{)}^2}{2}+\frac{(\sqrt{z}{)}^4}{24}-\cdots )& =\frac{1}{2}-\frac{z}{24}+\cdots \\ \\ S(z)& =\frac{\sqrt{z}-\sin \sqrt{z}}{(\sqrt{z}{)}^3}=\frac{1}{z}-\frac{1}{(\sqrt{z}{)}^3}(\sqrt{z}-\frac{(\sqrt{z}{)}^3}{6}+\frac{(\sqrt{z}{)}^5}{120}-\cdots )\\ & =\frac{1}{6}-\frac{z}{120}+\cdots \end{array}$$

 

이므로 $z=0$ 인 경우에는 각각

 

$$\begin{array}{r}\text{(26)}& C(z)& =\frac{1}{2},z=0\\ S(z)& =\frac{1}{6},z=0\end{array}$$

 

이 된다. 다음 그림은 $C(z)$ 와 $S(z)$ 를 그린 것이다.

 

 

식 (22)가 모든 궤도 모양에 대한 케플러 방정식을 어떻게 나타내는지 알아보기 위하여 근지점(perigee)에서부터 시간을 측정 한다고 가정하고 식 (22)와 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도의 케플러 방정식과 비교해 보자.

먼저 가정에 의하여 식 (22)에서 $t_0=0$, $r_0=r_p$, ${\overrightarrow{r}}_0\cdot {\overrightarrow{v}}_0=0$ 이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(27)}& \sqrt{\mu }t=S(z){\chi }^3+r_p\chi (1-zS(z))\end{array}$$

 

타원궤도인 경우에는

 

$$\begin{array}{rl}\text{(28)}& S(z)& =\frac{\sqrt{z}-\sin \sqrt{z}}{(\sqrt{z}{)}^3}=\frac{\frac{\chi }{\sqrt{a}}-\sin \frac{\chi }{\sqrt{a}}}{\frac{{\chi }^3}{a\sqrt{a}}}& =\frac{a}{{\chi }^2}-\frac{a\sqrt{a}}{{\chi }^3}\sin \frac{\chi }{\sqrt{a}}\\ \\ a& =\frac{h^2}{\mu (1-e^2)},r_p=a(1-e)\end{array}$$

 

이므로 식 (27)의 양변을 $\sqrt{a^3}$ 로 나누고 식 (28)을 대입하면

 

$$\begin{array}{rl}\text{(29)}& \sqrt{\frac{\mu }{a^3}}t& =(\frac{a}{{\chi }^2}-\frac{a\sqrt{a}}{{\chi }^3}\sin \frac{\chi }{\sqrt{a}})\frac{{\chi }^3}{\sqrt{a^3}}& +a(1-e)\frac{\chi }{\sqrt{a^3}}[1-\frac{{\chi }^2}{a}(\frac{a}{{\chi }^2}-\frac{a\sqrt{a}}{{\chi }^3}\sin \frac{\chi }{\sqrt{a}})]\\ \\ & =\frac{\chi }{\sqrt{a}}-e\sin \frac{\chi }{\sqrt{a}}\end{array}$$

 

가 된다. 타원궤도의 케플러 방정식(https://pasus.tistory.com/308),

 

$$\begin{array}{}\text{(30)}& \sqrt{\frac{\mu }{a^3}}t=E-e\sin E\end{array}$$

 

과 비교하면 $\chi =\sqrt{a}E$ 인 것을 알 수 있다.

 

 

포물선궤도인 경우에는 $z=0$ 이므로 $S(0)=\frac{1}{6}$ 이고, 근지점까지의 거리는 $r_p=\frac{h^2}{2\mu }$ 이다. 식 (27)의 양변을 ${\left(\frac{\sqrt{\mu }}{h}\right)}^3$ 으로 곱하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(31)}& \frac{{\mu }^2}{h^3}t& ={\left(\frac{\sqrt{\mu }}{h}\right)}^3\frac{1}{6}{\chi }^3+{\left(\frac{\sqrt{\mu }}{h}\right)}^3\frac{h^2}{2\mu }\chi \\ & =\frac{1}{6}{\left(\frac{\sqrt{\mu }}{h}\chi \right)}^3+\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{\mu }}{h}\chi \right)\end{array}$$

 

이 된다. 포물선궤도의 케플러 방정식(https://pasus.tistory.com/307),

 

$$\begin{array}{}\text{(32)}& \frac{{\mu }^2}{h^3}t=\frac{1}{6}{\tan }^3\frac{\theta }{2}+\frac{1}{2}\tan \frac{\theta }{2}\end{array}$$

 

과 비교하면 $\chi =\frac{h}{\sqrt{\mu }}\tan \frac{\theta }{2}$ 인 것을 알 수 있다.

쌍곡선궤도인 경우에는

 

$$\begin{array}{rl}\text{(33)}& S(z)& =\frac{\sinh \sqrt{-z}-\sqrt{-z}}{(\sqrt{-z}{)}^3}=\frac{\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{\chi }{\sqrt{-a}}}{\frac{{\chi }^3}{(\sqrt{-a}{)}^3}}& =\frac{(\sqrt{-a}{)}^3}{{\chi }^3}\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{-a}{{\chi }^2}\\ \\ a& =\frac{h^2}{\mu (1-e^2)},r_p=a(1-e)\end{array}$$

 

이므로 식 (27)의 양변을 $(\sqrt{-a}{)}^3$ 으로 나누고 식 (33)을 대입하면

 

$$\begin{array}{rl}\text{(34)}& \frac{\sqrt{\mu }}{(\sqrt{-a}{)}^3}t& =(\frac{(\sqrt{-a}{)}^3}{{\chi }^3}\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{-a}{{\chi }^2})\frac{{\chi }^3}{(\sqrt{-a}{)}^3}& -(-a)(1-e)\frac{\chi }{(\sqrt{-a}{)}^3}[1+\frac{{\chi }^2}{-a}(\frac{(\sqrt{-a}{)}^3}{{\chi }^3}\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{-a}{{\chi }^2})]\\ \\ & =\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{\chi }{\sqrt{-a}}-(1-e)\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}\\ \\ & =e\sinh \frac{\chi }{\sqrt{-a}}-\frac{\chi }{\sqrt{-a}}\end{array}$$

 

가 된다. 쌍곡선궤도의 케플러 방정식(https://pasus.tistory.com/309),

 

$$\begin{array}{}\text{(35)}& \frac{\sqrt{\mu }}{(\sqrt{-a}{)}^3}t=\frac{{\mu }^2}{h^3}(e^2-1{)}^{3/2}t=e\sinh F-F\end{array}$$

 

과 비교하면 $\chi =\sqrt{-a}F$ 인 것을 알 수 있다.