라그랑지 계수 (Lagrange coefficients) - 2

라그랑지 계수(Langrange coefficients)를 실제 비행각(true anomaly)의 변화량 \(\Delta \theta\) 의 함수로 표현했는데(https://pasus.tistory.com/311), 이를 범용변수(universal variable) \(\chi\) 의 함수로 표현할 수도 있다.

라그랑지 계수는 궤도중심좌표계(perifocal frame)의 각 축 성분을 이용하여 다음과 같이 계산했었다.

 

\[ \begin{align} f &= \frac{x\dot{y}_0-y\dot{x}_0}{h}, \ \ \ \ \ g= \frac{-xy_0+yx_0}{h} \tag{1} \\ \\ \dot{f} &= \frac{\dot{x} \dot{y}_0- \dot{y} \dot{x}_0}{h}, \ \ \ \ \ \dot{g}= \frac{-\dot{x}y_0+ \dot{y}x_0}{h} \end{align} \]

 

여기서 \(x, y, \dot{x}, \dot{y}\) 을 범용변수의 식으로 표현하면 라그랑지 계수 전체를 범용변수의 함수로 나타낼 수 있을 것이다.

 

 

우선 범용변수에 관한 게시글(https://pasus.tistory.com/310)에서 몇 가지 필요한 수식을 옮겨온다.

 

\[ \begin{align} & \chi ̇= \frac{\sqrt{\mu}}{r} \tag{2} \\ \\ & r = a \left( 1+ e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \tag{3} \\ \\ & z= \frac{\chi^2}{a} \tag{4} \\ \\ & C(z)= \frac{1- \cos \sqrt{z}}{z} \tag{5} \\ \\ & S(z)= \frac{\sqrt{z}- \sin \sqrt{z}}{(\sqrt{z})^3} \tag{6} \\ \\ & \sqrt{\mu} (t-t_0 )= S(z) \chi^3+ \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{\sqrt{\mu}} \chi^2 C(z)+r_0 \chi (1-zS(z)) \tag{7} \end{align} \]

 

먼저 \(x\) 부터 시작하자. 지구중심과 우주비행체간의 거리에 관한 식,

 

\[ r= \frac{ a(1-e^2 )}{1+e \cos \theta} \tag{8} \]

 

으로부터 \(re \cos \theta= a(1-e^2 )-r\) 의 관계식을 얻을 수 있다. 이 식과 식 (3)을 이용하면 \(x\) 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} x &= r \cos \theta = \frac{a}{e} (1-e^2 )- \frac{r}{e} \tag{9} \\ \\ &= \frac{a}{e} (1-e^2 )- \frac{a}{e} \left( 1+e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \\ \\ &= \frac{a}{e} \left( 1-e^2-1-e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \\ \\ &=-a \left( e+ \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \end{align} \]

 

\(y\) 는 관계식 \(x^2+y^2=r^2\) 으로부터 유도해 낼 수 있다.

 

 

식 (3)과 (9)를 이용하여 \(y^2\) 을 계산하면,

 

\[ \begin{align} y^2 &= r^2-x^2 \tag{10} \\ \\ &= a^2 \left( 1+e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right)^2- a^2 \left( e+ \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right)^2 \\ \\ &= a^2 \left( 1+2e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) +e^2 \sin^2 \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. -e^2 -2e \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) -\sin^2 \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \\ \\ & =a^2 \left( 1-e^2+\sin^2 \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) (e^2-1) \right) \\ \\ & =a^2 (1-e^2 ) \left( 1-\sin^2 \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \\ \\ & =a^2 (1-e^2 ) \cos^2 \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \end{align} \]

 

이 되므로, \(y\) 는 다음과 같다.

 

\[ y = a \sqrt{1-e^2 } \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{11} \]

 

\(\dot{x}\) 은 식 (9)를 미분하고 식 (2)를 대입하면 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{x} &= - a \frac{1}{\sqrt{a}} \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \dot{\chi} \tag{12} \\ \\ &= - \frac{ \sqrt{\mu a}}{r} \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \end{align} \]

 

\(\dot{y}\) 도 식 (11)을 미분하고 식 (2)를 대입하면 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{y} &= - a \sqrt{1-e^2 } \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right)\dot{\chi} \tag{13} \\ \\ &=- \frac{ \sqrt{\mu a(1-e^2 ) } }{r} \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \end{align} \]

 

\(\frac{h^2}{\mu}=a(1-e^2 )\) 의 관계식에 의하면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \dot{y} = - \frac{h}{r} \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{14} \]

 

 

 

\(x, y, \dot{x}, \dot{y}\) 을 모두 구했으므로 이제 \(x_0, y_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0\) 만 구하면 라그랑지 계수를 계산할 수 있다. 아래첨자 \(0\) 은 시간 \(t=t_0\) 에서의 값인 초기값을 말하는데 범용변수는 초기 시간에 \(\chi=0\) 으로 가정했으므로 식 (9), (11), (12), (14)에서 다음과 같은 초기값을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} & x_0 =-a \left( e+ \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \tag{15} \\ \\ & y_0=a \sqrt{1-e^2 } \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{16} \\ \\ & \dot{x}_0= - \frac{ \sqrt{\mu a}}{r} \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{17} \\ \\ & \dot{y}_0= - \frac{h}{r} \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{18} \end{align} \]

 

식 (1)의 \(f\) 에 관한 식에 식 (9), (11), (17), (18)을 차례로 대입하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} f &= \frac{x\dot{y}_0-y \dot{x}_0}{h} \tag{19} \\ \\ &= \frac{1}{h} \left[ a \left( e+ \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \frac{h}{r_0} \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \left. +a \sqrt{1-e^2 } \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \frac{ \sqrt{\mu a} }{r_0} \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right] \end{align} \]

 

\(\frac{h^2}{\mu}=a(1-e^2 )\) 의 관계식에 의하면

 

\[ \sqrt{1-e^2 }= \frac{h}{ \sqrt{\mu a} } \tag{20} \]

 

이므로 식 (19)에 대입하면

 

\[ \begin{align} f &= \frac{1}{h} \left[ a \left( e+\sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \frac{h}{r_0} \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \tag{21} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. + \frac{h}{ \sqrt{\mu a} } a \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right)\frac{ \sqrt{\mu a}}{r_0} \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right] \\ \\ &= \frac{a}{r_0} \left[ \left( e+ \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \right) \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. + \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right] \\ \\ &= \frac{a}{r_0} \left[ e \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) + \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. +\cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right] \end{align} \]

 

이 되는데, 삼각함수 공식에 의하면

 

\[ \begin{align} & \sin \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) +\cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{22} \\ \\ & =\cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a} } -\frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) =\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \end{align} \]

 

이므로 식 (21)은 다음과 같이 간단하게 된다.

 

\[ f= \frac{a}{r_0} \left[ e \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) + \cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \tag{23} \]

 

식 (3)에 의하면 \(t=t_0\) 에서,

 

\[ \frac{r_0}{a}-1=e \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \tag{24} \]

 

이 성립하므로 이를 식 (23)에 대입하고, 식 (4)와 (5)를 이용하면 식 (23)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} f &= \frac{a}{r_0} \left[ \frac{r_0}{a}-1+ \cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \tag{25} \\ \\ &= 1 - \frac{a}{r_0} \left( 1-\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right) \\ \\ &= 1-\frac{1}{r_0} \frac{\chi^2}{z} (1-\cos \sqrt{z}) \\ \\ &=1- \frac{\chi^2}{r_0} C(z) \end{align} \]

 

비슷한 방법으로 \(g\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} g & = \frac{-xy_0+yx_0}{h} \tag{26} \\ \\ &= \frac{a^2}{\sqrt{\mu a}} \left[ e \left( \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right)-\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right. \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \left. + \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \sin \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \right)+ \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \end{align} \]

 

여기서 식 (3)을 미분하면,

 

\[ \dot{r} = \frac{ae}{\sqrt{a}} \cos \left( \frac{\chi+c_0}{\sqrt{a}} \right) \frac{ \sqrt{\mu}}{r} \tag{27} \]

 

가 되는데 위 식에 초기값을 대입하면,

 

\[ \dot{r}_0= \frac{ae}{\sqrt{a}} \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right) \frac{ \sqrt{\mu}}{r_0} \tag{28} \]

 

가 된다. 여기에 \(r\dot{r}= \vec{r} \cdot \vec{v}\) 관계식을 대입하면 다음 식이 성립한다.

 

\[ e \cos \left( \frac{c_0}{\sqrt{a}} \right)= \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu a} } \tag{29} \]

 

식 (29)와 (24)를 식 (26)에 대입하면,

 

\[ \begin{align} g & = \frac{a^2}{\sqrt{\mu a}} \left[ \left( \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu a} } \right) -\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu a} } \right) \right. \right. \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \left. + \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \left( \frac{r_0}{a}-1 \right) \right)+ \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \tag{30} \\ \\ & = \frac{a^2}{\sqrt{\mu a}} \left[ \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu a} } \right) \left( 1 -\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right) +\frac{r_0}{a} \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \end{align} \]

 

이 된다. 한편 식 (30)의 양변에 \(\sqrt{\mu}\) 를 곱하고 식 (4)와 (6)을 이용하면,

 

\[ \begin{align} \sqrt{\mu} g & = \frac{a^2}{\sqrt{a}} \left[ \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu a} } \right) \left( 1 -\cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right) +\frac{r_0}{a} \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \right] \tag{31} \\ \\ &=a \left[ \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu} } \right) (1- \cos \sqrt{z} )+ \frac{r_0}{\sqrt{a}} \sin \sqrt{z} \right] \\ \\ &= \left( \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{ \sqrt{\mu} } \right) \chi^2 C(z)+r_0 \chi (1-zS(z)) \end{align} \]

 

이 된다. 다시 식 (7)을 대입하면,

 

\[ \begin{align} \sqrt{\mu} g= \sqrt{\mu} (t-t_0 )-S(z) \chi^3 \tag{32} \end{align} \]

 

이므로 \(g\) 는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} g=(t-t_0 )- \frac{\chi^3}{\sqrt{\mu}} S(z) \tag{33} \end{align} \]

 

 

 

계속해서 \(\dot{f}\) 도 계산해 보자.

 

\[ \begin{align} \dot{f} &= \frac{\dot{x} \dot{y}_0- \dot{y} \dot{x}_0}{h} \tag{34} \\ \\ & =- \frac{ \sqrt{\mu a}}{rr_0 } \sin \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right) \end{align} \]

 

식 (4)와 (6)을 대입하면 \(\dot{f}\) 은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \dot{f} &= - \frac{\sqrt{\mu}}{rr_0 } \frac{\chi}{ \sqrt{z} } \left( \sqrt{z}-( \sqrt{z} )^3 S(z) \right) \tag{35} \\ \\ &=\frac{ \sqrt{\mu}}{rr_0 } \chi (zS(z)-1) \end{align} \]

 

마지막으로 \(\dot{g}\) 차례다. 삼각함수 공식과 식 (3), 그리고 식 (5)에 의하면,

 

\[ \begin{align} \dot{g} &= \frac{-\dot{x}y_0+ \dot{y}x_0}{h} \tag{36} \\ \\ & = \frac{a}{r} \left[ \cos \left( \frac{\chi}{\sqrt{a}} \right)+ \left( \frac{r}{a}-1 \right) \right] \\ \\ & =1- \frac{a}{r}+ \frac{a}{r} (1-zC(z)) \\ \\ & =1- \frac{\chi^2}{r} C(z) \end{align} \]

 

이 된다.

정리하면, 라그랑지 계수를 범용변수로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} f & =1-\frac{\chi^2}{r_0} C(z) \\ \\ g &= (t-t_0 )- \frac{\chi^3}{\sqrt{\mu}} S(z) \\ \\ \dot{f} &= \frac{ \sqrt{\mu}}{rr_0 } \chi (zS(z)-1) \\ \\ \dot{g} &= 1- \frac{\chi^2}{r} C(z) \end{align} \]