발사체의 발사 궤적

발사체에 작용하는 힘은 로켓 엔진에서 생성되는 추력(thrust), 공기 저항으로 인한 항력(drag), 그리고 중력이다. 추력과 비행 방향(또는 속도 방향)은 발사체의 동체 라인과 일치하며 항력은 속도의 반대 방향으로 작용한다. 중력은 지구의 중심 방향으로 작용한다. 다음 그림은 지표를 기준으로 발사체의 속도와 궤적을 그린 것이다.

 

 

\(T\)는 추력, \(D\)는 항력, \(V\)는 속도, \(h\)는 고도, \(g\)는 중력 가속도, \(m\)은 질량, \(\gamma \)는 비행 경로각이다. 비행 경로각은 발사체의 속도 벡터와 수평면의 각도다. 지구가 둥글기 때문에 수평면은 발사체의 위치마다 달라서 국지적인 수평면(local horizon), 또는 지역 수평면이라고 한다.

 

 

지구 자전의 영향을 무시하고 지구가 원형이라고 가정하면, 발사체의 운동 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \dot{V} = \frac{T}{m} - \frac{D}{m} -g \sin \gamma \tag{1} \\ \\ & V \dot{\gamma} = - \left( g- \frac{V^2}{R_E +h} \right) \cos \gamma \tag{2} \\ \\ & \dot{h} = V \sin \gamma \tag{3} \end{align} \]

 

여기서 \(R_E\)는 지구 반지름이다.

위성 발사체의 임무는 인공위성을 정해진 궤도에 올려 놓는 것이다. 발사체는 보통 지상 발사장에서 수직으로 발사되고 정해진 궤도에 진입할 때는 지표면과 거의 평행하게 비행한다. 즉 발사시에는 비행 경로각이 \(90\)도이고 궤도에 진입할 시에는 비행 경로각이 거의 \(0\)도라는 뜻이다.

그러면 발사체를 왜 수직으로 발사할까?

물론 최근에는 발사체를 항공기 동체 밑에 매달아서 일정 고도까지 오른 후에 미사일을 발사하듯이 발사체를 수평으로 발사하는 방법도 개발되고 있기는 하다. 지상 발사장에서 발사체를 수직으로 발사하는 이유는 발사대를 기울이는 것보다 수직으로 세우는 것이 구조상의 장점이 있고, 보통 발사체에는 큰 측면 하중을 견딜 수 있는 강성이 없으며, 공기 밀도가 높은 대기권을 빨리 벗어나게 하여 공기 저항(항력)을 줄일 수 있기 때문이다.

 

 

수식을 통해서 확인해 보자.

발사 후 일정 시간이 경과한 후에 발사체의 속도가 얼마나 증가했는 지는 식(1)을 적분해 보면 알 수 있다.

 

\[ \Delta V = \int \frac{T}{m} dt - \int \frac{D}{m} dt - \int g \sin \gamma \ dt \tag{4} \]

 

식 (4)를 보면 첫번째 항만 발사체의 속도 증가에 도움이 되고, 둘째항과 셋째항은 방해가 되는 것을 알 수 있다. 두번째 항은 공기 저항 때문에 생기는 속도 손실이다. 공기 밀도가 클수록 항력은 커진다. 따라서 항력에 의한 속도 손실을 줄이기 위해서는 공기 밀도가 높은 대기권을 빨리 벗어나야 한다. 고도 방정식인 식 (3)에 의하면 비행 경로각 \(\gamma\)가 \(90\)도에 가까울수록, 즉 수직에 가까울 수록 빠른 시간 안에 고도를 높일 수 있음을 알 수 있다.

 

 

하지만 식 (4)의 세번째 항에 의하면 발사체가 수직으로 비행하면 지구 중력이 발사체의 추력 방향과 반대 방향으로 직접 작용하여 속도 손실이 커짐을 알 수 있다. 이를 중력 손실이라고 하는데, 이를 최소화하기 위해서는 발사체가 수직 비행하는 것 보다 수평 비행하는 것이 좋다.

이와 같이 서로 상반된 손실 원인을 고려해서 발사체는 피치오버(pitchover) 기동을 실시한다. 피치오버는 발사체를 수직 방향에서 미리 설정된 비행 방향(발사 방향각)으로 약간 기울이는 기동을 말한다. 피치오버 각도는 발사체에 따라 다른데, 어떤 발사체는 몇 도 정도에 불과한 반면 다른 발사체는 수십 도의 큰 각도를 사용하기도 한다. 피치오버 기동은 발사체가 발사대를 통과 한 직후에 실시한다. 발사 초기에 하는 이유는 발사체의 속도가 작아서 측면 방향의 공기 역학적 부하를 최소화할 수 있기 때문이다.

일단 프로그램된 피치오버 기동에 의해서 경사각이 \(90\)도에서 벗어나면 그 다음부터는 중력의 영향으로 발사체가 공기 밀도가 낮은 고고도까지 상승하는 동안 경사각이 지속적으로 감소한다. 이는 식 (2)를 통해 확인할 수 있다. 중력 가속도는 지구 중심을 향하므로 발사체의 속도 벡터가 지속적으로 수평 방향으로 바뀌게 되는 것이다. 이를 중력 회전(gravity turn) 기동이라고 한다. 중력 회전 기동에 의해서 발사체는 수직 비행에서 수평 비행으로 점진적으로 전환된다.