기본 궤도 미분 방정식

전 우주에 물체가 딱 2개 밖에 없다고 가정한다. 이 2개의 물체도 질점(부피와 모양이 없이 질량만 가진 물체)이라고 가정한다. 질량이 있으므로 두 질점 사이에는 만유인력이 작용한다. 이런 조건에서 이 두 질점의 운동 방정식을 세워보려고 한다. 이와 같이 '만유인력 하에서의 두 질점의 운동에 관한 문제'를 이체문제(two-body problem)라고 한다.

 

 

그림과 같이 질량 \(M\)과 질량 \(m\)인 두 질점이 거리 \(r\)만큼 떨어져 있고, 두 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다. 그림에는 관성좌표계 \(\{i\}\)도 표시했다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 관성좌표계가 필요하기 때문이다.

 

 

그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 \(M\)에는 질점 \(m\)방향으로 힘이 작용하므로 질점 \(M\)의 운동방정식은 뉴턴의 제2법칙에 의해서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} = M \frac{ ^i d^2 \vec{r}_M}{ dt^2} \tag{1} \]

 

여기서 \( \vec{r}_M \)은 관성좌표계의 원점에서 질점 \(M\)까지의 위치벡터, \(G\)는 만유인력 상수, \( \vec{r} \)은 질점 \(M\)에서 질점 \(m\)까지의 위치벡터이며 그 크기는 \(r\)이다.

한편 질점 \(m\)에도 질점 \(M\)방향으로 힘이 작용하므로 질점 \(m\)의 운동방정식은 다음과 같다.

 

\[ -G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} = m \frac{ ^i d^2 \vec{r}_m}{ dt^2} \tag{2} \]

 

여기서 \( \vec{r}_m \)은 관성좌표계의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치벡터다. 수식에 있는 음(\(-\))의 부호는 질점 \(m\)에 작용하는 힘이 위치벡터 \( \vec{r}\)과 반대방향으로 작용한다는 것을 의미한다.

질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대 운동을 기술하기 위해 식 (2)에서 (1)을 빼 본다.

 

\[ -G \frac{M}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} - G \frac{m}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} = \frac{ ^i d^2 \vec{r}_m}{ dt^2} - \frac{ ^i d^2 \vec{r}_M}{ dt^2} \tag{3} \]

 

여기서 \( \vec{r}=\vec{r}_m -\vec{r}_M \)임을 이용하면, 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ -G \frac{(M+m)}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} = \frac{ ^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} \tag{4} \]

 

정리하면 이체문제의 운동 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \frac{ ^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{5} \]

 

여기서 \(\mu=G(M+m)\)을 중력 파라미터라고 한다. 식 (5)를 기본 궤도 미분 방정식(FODE, fundamental orbital differential equation)이라고 한다.

식 (5)에서 주의할 점은 기본 궤도 미분 방정식은 관성좌표계에 대해서 질점 \(M\) 또는 \(m\)에 관한 개별 운동을 표현한 운동 방정식이 아니라, 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이라는 것이다.

식 (5)는 비선형 2차 미분 방정식이다. 일반적으로 비선형 미분 방정식은 수치 적분을 통해서해를 구할 수 있지만, 기본 궤도 미분 방정식 (5)의 경우는 수칙 적분 없이 해석적인 해를 구해낼 수 있다. 물론 이 과정에서 여러 번의 내적, 외적과 같은 벡터 연산이 필요하다.

 

 

이제, 두 질점의 질량 중심점의 움직임을 살펴보기 위하여 식 (1)과 (2)를 더해 보도록 한다.

 

\[ \begin{align} -G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} + G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} &= m \frac{ ^i d^2 \vec{r}_m}{ dt^2} + M \frac{ ^i d^2 \vec{r}_M}{ dt^2} \tag{6} \\ \\ &= 0 \end{align} \]

 

두 질점의 질량 중심점은 다음 식과 같이 벡터 \( \vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 배리센터(barycenter)라고도 한다.

 

\[ \vec{r}_c = \frac{ M \vec{r}_M + m \vec{r}_m}{ M+m } \tag{7} \]

 

 

 

식 (7)에 의하면 질량 중심점은 항상 두 질점을 연결하는 선 위에 있다. 식 (6)과 (7)을 이용하면 질량 중심점의 가속도는 다음과 같이 \(0\)이 된다는 것을 알 수 있다.

 

\[ \frac{ ^i d^2 \vec{r}_c }{dt^2} = \frac{^i d^2}{dt^2} \left( \frac{ M \vec{r}_M + m \vec{r}_m}{ M+m } \right) = 0 \tag{8} \]

 

기본 궤도 방정식을 유도할 때 관성좌표계의 원점을 임의의 위치로 하였다. 하지만 두 질점의 질량 중심점은 관성좌표계에서 가속도가 \(0\)이므로 질량 중심점에 관성좌표계의 원점을 위치시킬 수 있다. 물론 질량 중심점은 절대 정지하고 있는 관성좌표계에서 일정한 속도로 움직인다.

 

 

이제 \( \vec{r}_c\)는 \(0\)이므로, 식 (7)로부터 질량 중심점에서 질점 \(M\)까지의 거리 \(r_M\)과 질점 \(m\)까지의 거리 \(r_m\)은 각각 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} r_M &= \frac{m}{M+m} \ r \tag{9} \\ \\ r_m &= \frac{M}{M+m} \ r \end{align} \]

 

여기서 두 질점 사이의 거리는 \(r=r_M+r_m\)이다.

새로운 관성좌표계를 기준으로 질점 M과 m의 운동 방정식을 유도해 보면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \frac{ ^i d^2 \vec{r}_M}{ dt^2} + \frac{\mu_M}{r_M^3} \vec{r}_M = 0 \tag{10} \\ \\ & \frac{ ^i d^2 \vec{r}_m}{ dt^2} + \frac{\mu_m}{r_m^3} \vec{r}_m = 0 \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & \mu_M= \frac{Gm^3}{(M+m)^2} \\ \\ & \mu_m= \frac{GM^3}{(M+m)^2} \end{align} \]

 

이다. 식 (5)와 (10)을 비교해 보면 중력 파라미터에 관한 값과 위치 벡터만 다를 뿐이지 미분 방정식의 형태는 똑 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 해의 풀이 방법도 또 같고 형태도 똑 같을 것이라고 짐작할 수 있다.

미분 방정식 (5)나 (10)을 풀기 위해서는 위치 벡터와 속도 벡터의 초기값이 필요한데 이 값만 주어진다면 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동의 궤적과 관성좌표계를 기준으로 한 질점 \(M\)과 \(m\)의 절대 운동 궤적을 계산할 수 있다.

 

 

궤적이 그리는 모양을 보면 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 이렇게 4가지 밖에 안 나온다. 이유는 나중에 계속 ...