기본 궤도 미분 방정식

전 우주에 물체가 딱 2개 밖에 없다고 가정한다. 이 2개의 물체도 질점(부피와 모양이 없이 질량만 가진 물체)이라고 가정한다. 질량이 있으므로 두 질점 사이에는 만유인력이 작용한다. 이런 조건에서 이 두 질점의 운동 방정식을 세워보려고 한다. 이와 같이 '만유인력 하에서의 두 질점의 운동에 관한 문제'를 이체문제(two-body problem)라고 한다.

 

 

그림과 같이 질량 $M$과 질량 $m$인 두 질점이 거리 $r$만큼 떨어져 있고, 두 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다. 그림에는 관성좌표계 $\{i\}$도 표시했다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 관성좌표계가 필요하기 때문이다.

 

 

그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 $M$에는 질점 $m$방향으로 힘이 작용하므로 질점 $M$의 운동방정식은 뉴턴의 제2법칙에 의해서 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& G\frac{Mm}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=M\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_M}{d{t}^2}\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{r}}_M$은 관성좌표계의 원점에서 질점 $M$까지의 위치벡터, $G$는 만유인력 상수, $\overrightarrow{r}$은 질점 $M$에서 질점 $m$까지의 위치벡터이며 그 크기는 $r$이다.

한편 질점 $m$에도 질점 $M$방향으로 힘이 작용하므로 질점 $m$의 운동방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& -G\frac{Mm}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=m\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_m}{d{t}^2}\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{r}}_m$은 관성좌표계의 원점에서 질점 $m$까지의 위치벡터다. 수식에 있는 음($-$)의 부호는 질점 $m$에 작용하는 힘이 위치벡터 $\overrightarrow{r}$과 반대방향으로 작용한다는 것을 의미한다.

질점 $M$에 대한 질점 $m$의 상대 운동을 기술하기 위해 식 (2)에서 (1)을 빼 본다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& -G\frac{M}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}-G\frac{m}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_m}{d{t}^2}-\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_M}{d{t}^2}\end{array}$$

 

여기서 $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_m-{\overrightarrow{r}}_M$임을 이용하면, 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& -G\frac{(M+m)}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}\end{array}$$

 

정리하면 이체문제의 운동 방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r}=0\end{array}$$

 

여기서 $\mu =G(M+m)$을 중력 파라미터라고 한다. 식 (5)를 기본 궤도 미분 방정식(FODE, fundamental orbital differential equation)이라고 한다.

식 (5)에서 주의할 점은 기본 궤도 미분 방정식은 관성좌표계에 대해서 질점 $M$ 또는 $m$에 관한 개별 운동을 표현한 운동 방정식이 아니라, 질점 $M$에 대한 질점 $m$의 상대적인 운동을 표현한 식이라는 것이다.

식 (5)는 비선형 2차 미분 방정식이다. 일반적으로 비선형 미분 방정식은 수치 적분을 통해서해를 구할 수 있지만, 기본 궤도 미분 방정식 (5)의 경우는 수칙 적분 없이 해석적인 해를 구해낼 수 있다. 물론 이 과정에서 여러 번의 내적, 외적과 같은 벡터 연산이 필요하다.

 

 

이제, 두 질점의 질량 중심점의 움직임을 살펴보기 위하여 식 (1)과 (2)를 더해 보도록 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& -G\frac{Mm}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}+G\frac{Mm}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}& =m\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_m}{d{t}^2}+M\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_M}{d{t}^2}\\ & =0\end{array}$$

 

두 질점의 질량 중심점은 다음 식과 같이 벡터 ${\overrightarrow{r}}_c$가 가리키는 점으로 배리센터(barycenter)라고도 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\overrightarrow{r}}_c=\frac{M{\overrightarrow{r}}_M+m{\overrightarrow{r}}_m}{M+m}\end{array}$$

 

 

 

식 (7)에 의하면 질량 중심점은 항상 두 질점을 연결하는 선 위에 있다. 식 (6)과 (7)을 이용하면 질량 중심점의 가속도는 다음과 같이 $0$이 된다는 것을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_c}{d{t}^2}=\frac{{}^i{d}^2}{d{t}^2}\left(\frac{M{\overrightarrow{r}}_M+m{\overrightarrow{r}}_m}{M+m}\right)=0\end{array}$$

 

기본 궤도 방정식을 유도할 때 관성좌표계의 원점을 임의의 위치로 하였다. 하지만 두 질점의 질량 중심점은 관성좌표계에서 가속도가 $0$이므로 질량 중심점에 관성좌표계의 원점을 위치시킬 수 있다. 물론 질량 중심점은 절대 정지하고 있는 관성좌표계에서 일정한 속도로 움직인다.

 

 

이제 ${\overrightarrow{r}}_c$는 $0$이므로, 식 (7)로부터 질량 중심점에서 질점 $M$까지의 거리 $r_M$과 질점 $m$까지의 거리 $r_m$은 각각 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& r_M& =\frac{m}{M+m}r\\ r_m& =\frac{M}{M+m}r\end{array}$$

 

여기서 두 질점 사이의 거리는 $r=r_M+r_m$이다.

새로운 관성좌표계를 기준으로 질점 M과 m의 운동 방정식을 유도해 보면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& & \frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_M}{d{t}^2}+\frac{{\mu }_M}{r_M^3}{\overrightarrow{r}}_M=0\\ & \frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_m}{d{t}^2}+\frac{{\mu }_m}{r_m^3}{\overrightarrow{r}}_m=0\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& {\mu }_M=\frac{G{m}^3}{(M+m{)}^2}\\ \\ & {\mu }_m=\frac{G{M}^3}{(M+m{)}^2}\end{array}$$

 

이다. 식 (5)와 (10)을 비교해 보면 중력 파라미터에 관한 값과 위치 벡터만 다를 뿐이지 미분 방정식의 형태는 똑 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 해의 풀이 방법도 또 같고 형태도 똑 같을 것이라고 짐작할 수 있다.

미분 방정식 (5)나 (10)을 풀기 위해서는 위치 벡터와 속도 벡터의 초기값이 필요한데 이 값만 주어진다면 질점 $M$에 대한 질점 $m$의 상대적인 운동의 궤적과 관성좌표계를 기준으로 한 질점 $M$과 $m$의 절대 운동 궤적을 계산할 수 있다.

 

 

궤적이 그리는 모양을 보면 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 이렇게 4가지 밖에 안 나온다. 이유는 나중에 계속 ...