행렬지수함수 (Matrix Exponential) 계산

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 의 행렬지수함수(matrix exponential) $e^{At}$ 는 다음과 같이 정의된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& e^{At}=I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\frac{1}{3!}{A}^3{t}^3+\cdots \end{array}$$

 

몇가지 특별한 형식을 갖는 행렬 $A$ 의 지수함수를 계산해보고, 일반적인 행렬에 대한 계산으로 확장시켜 보도록 한다.

 

 

먼저 $A$ 가 대각행렬일 경우다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& A=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]\end{array}$$

 

이 때는

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A^n=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^n& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2^n& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3^n\end{array}\right]\end{array}$$

 

이므로 식 (3)을 (1)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& e^{At}=\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}& 0\\ 0& 0& e^{{\lambda }_{3}t}\end{array}\right]\end{array}$$

 

다음은 A가 조단 표준형(Jordan canonical form)일 경우다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]\end{array}$$

 

 

조단형은 다음과 같이 분리할 수 있으므로,

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& & A=\lambda I+N\\ & N=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

$e^{At}$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& e^{At}=e^{(\lambda I+N)t}=e^{\lambda t}{e}^{Nt}\end{array}$$

 

그런데 여기서

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& N^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],N^3=N^4=N^5=\cdots =0\end{array}$$

 

이므로 식 (1)에 의해서

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& e^{Nt}=I+Nt+\frac{1}{2}{N}^2{t}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& t& \frac{t^2}{2}\\ 0& 1& t\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

 

이 된다. 식 (7)과 (9)에 의하면, 조던 표준형의 행렬지수함수는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& e^{At}=\left[\begin{array}{ccc}{e}^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \frac{t^2}{2}{e}^{\lambda t}\\ 0& e^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}\\ 0& 0& e^{\lambda t}\end{array}\right]\end{array}$$

 

행렬이 $n\times n$ 경우는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & A=\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& & & \\ & \lambda & 1& & \\ & & \ddots & & \\ & & & \lambda & 1\\ & & & & \lambda \end{array}\right]\\ & e^{At}=\left[\begin{array}{ccccc}{e}^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \frac{t^2}{2}{e}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^n}{n!}{e}^{\lambda t}\\ 0& e^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{\lambda t}\\ & & \ddots & & \\ 0& 0& 0& \cdots & t{e}^{\lambda t}\\ 0& 0& 0& \cdots & e^{\lambda t}\end{array}\right]\end{array}$$

 

마지막으로 $A$ 가 복소수 $\lambda =\sigma +j\omega$ 의 실수부와 허수부로 이루어진 수정 표준형(modified canonical form)인 경우다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& A=\left[\begin{array}{cc}\sigma & \omega \\ -\omega & \sigma \end{array}\right]\end{array}$$

 

이 경우는 다음과 같이 대칭행렬과 반대칭(skew-symmetric) 행렬로 분리할 수 있으므로

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& A& =\left[\begin{array}{cc}\sigma & 0\\ 0& \sigma \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& \omega \\ -\omega & 0\end{array}\right]\\ & =\sigma I+S\end{array}$$

 

$e^{At}$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& e^{At}=e^{(\sigma I+S)t}=e^{\sigma t}{e}^{St}\end{array}$$

 

그런데 여기서

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& & S^2=-{\omega }^{2}I\\ & S^3=-{\omega }^{2}S\\ \\ & S^4=-{\omega }^2{S}^2={\omega }^{4}I\\ \\ & S^5={\omega }^{4}S\\ \\ & \cdots \end{array}$$

 

이므로 식 (1)에 의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& e^{St}& =\left[\begin{array}{cc}1-\frac{{\omega }^2{t}^2}{2}+\frac{{\omega }^4{t}^4}{4!}-\cdots & \omega t-\frac{{\omega }^3{t}^3}{3!}+\frac{{\omega }^5{t}^5}{5!}-\cdots \\ -(\omega t-\frac{{\omega }^3{t}^3}{3!}+\frac{{\omega }^5{t}^5}{5!}-\cdots )& 1-\frac{{\omega }^2{t}^2}{2}+\frac{{\omega }^4{t}^4}{4!}-\cdots \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\cos (\omega t)& \sin (\omega t)\\ -\sin (\omega t)& \cos (\omega t)\end{array}\right]\end{array}$$

 

이 된다. 식 (14)와 (16)에 의하면, 행렬 (12)의 행렬지수함수는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& e^{At}=e^{\sigma t}\left[\begin{array}{cc}\cos (\omega t)& \sin (\omega t)\\ -\sin (\omega t)& \cos (\omega t)\end{array}\right]\end{array}$$

 

 

 

3가지 특별한 구조를 갖는 행렬의 지수함수를 계산해 보았는데 이제 일반적인 행렬 $A$ 를 이 3가지 구조로 변환하는 방법을 알아보자. 일반적인 행렬은 이 3가지가 혼재돼 있는 구조로 바꿀 수 있다고 보면 된다. 이 때 변환은 상사변환(similarity transformation, 닮음꼴 변환이라고 번역해도 좋을 듯 싶다)을 사용한다. 두 행렬 $A$ 와 $B$ 가 다음 관계식을 만족하면 두 행렬은 상사관계에 있다고 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& A=TB{T}^{-1}\end{array}$$

 

두 행렬 $A$ 와 $B$ 가 상사관계에 있다면 두 행렬의 지수함수도 상사관계에 있게 된다. 즉,

 

$$\begin{array}{r}\text{(19)}& T{e}^{Bt}{T}^{-1}& =T(I+Bt+\frac{1}{2}{B}^2{t}^2+\frac{1}{3!}{B}^3{t}^3+\cdots )T^{-1}\\ & =T{T}^{-1}+TB{T}^{-1}t+\frac{1}{2}T{B}^2{T}^{-1}{t}^2+\frac{1}{3!}T{B}^3{T}^{-1}{t}^3+\cdots \\ \\ & =I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\frac{1}{3!}{A}^3{t}^3+\cdots \\ \\ & =e^{At}\end{array}$$

 

위 식에서

 

$$\begin{array}{rl}& A^2=(TB{T}^{-1})(TB{T}^{-1})=T{B}^2{T}^{-1}\\ \\ & A^3=(TB{T}^{-1})(TB{T}^{-1})(TB{T}^{-1})=T{B}^3{T}^{-1}\\ \\ \cdots \end{array}$$

 

임을 이용하였다. 행렬 $A$ 를 대각행렬, 조단 표준형, 수정 표준형인 행렬 $B$ 로 상사변환한다면 $e^{At}$ 를 식 (19)를 이용해서 쉽게 구할 수 있다.

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$의 고유값(eigenvalue)은 중복된 값을 포함하여 $n$ 개가 나온다. 일단 고유값이 중복된 값 없이 $n$ 개가 모두 다른 값인 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\in \mathbb{C}$ 인 것으로 가정한다. 그러면 $n$ 개의 고유값에 대응하는 서로 다른 $n$ 개의 고유벡터 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,...,{\mathbf{v}}_n$ 을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(20)}& A{\mathbf{v}}_i={\lambda }_i{\mathbf{v}}_i\end{array}$$

 

위 식을 풀어쓰면,

 

$$\begin{array}{}\text{(21)}& A\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\end{array}$$

 

또는

 

$$AT=T\mathrm{\Lambda }$$

 

이 된다. $\mathrm{\Lambda }$ 는 행렬 $A$ 의 고유값을 성분으로 하는 대각행렬이고 $T$ 는 고유벡터를 열로 하는 변환행렬이다. 식 (21)에 의하면 $A$ 와 $\mathrm{\Lambda }$ 는 상사관계에 있으므로 지수함수는 식 (4)에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(22)}& e^{At}=T\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & & \\ & e^{{\lambda }_{2}t}& & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]T^{-1}\end{array}$$

 

 

고유값이 만약 복소수라면 고유벡터도 복소벡터가 된다. 이 때는 고유값과 고유벡터를 실수화하는 것이 편리하다. 예를 들어 고유값과 고유벡터가 다음과 같이 켤레복소수로 주어졌다면,

 

$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\lambda }_{1,2}=\sigma \pm j\omega ,{\mathbf{v}}_{1,2}={\mathbf{v}}_R\pm j{\mathbf{v}}_I\end{array}$$

 

식 (20)에 의해서

 

$$\begin{array}{r}\text{(24)}& A[{\mathbf{v}}_R+j{\mathbf{v}}_I]& =(\sigma +j\omega )[{\mathbf{v}}_R+j{\mathbf{v}}_I]\\ & =(\sigma {\mathbf{v}}_R-\omega {\mathbf{v}}_I)+j(\omega {\mathbf{v}}_R+\sigma {\mathbf{v}}_I)\\ \\ A[{\mathbf{v}}_R-j{\mathbf{v}}_I]& =(\sigma -j\omega )[{\mathbf{v}}_R-j{\mathbf{v}}_I]\\ \\ & =(\sigma {\mathbf{v}}_R-\omega {\mathbf{v}}_I)-j(\omega {\mathbf{v}}_R+\sigma {\mathbf{v}}_I)\end{array}$$

 

가 된다. 위 식으로부터 다음 식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(25)}& A\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_R& {\mathbf{v}}_I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_R& {\mathbf{v}}_I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sigma & \omega \\ -\omega & \sigma \end{array}\right]\end{array}$$

 

또는

 

$$AT=T{A}_0$$

 

여기서 $A_0$ 는 행렬 $A$ 의 고유값의 실수부와 허수부를 성분으로 하는 수정 표준형 행렬이고 $T$ 는 고유벡터의 실수부 벡터와 허수부 벡터를 열로 하는 변환행렬이다. 식 (25)에 의하면 $A$ 와 $A_0$ 는 상사관계에 있으므로 지수함수는 식 (17)에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(26)}& e^{At}=e^{\sigma t}T\left[\begin{array}{cc}\cos (\omega t)& \sin (\omega t)\\ -\sin (\omega t)& \cos (\omega t)\end{array}\right]T^{-1}\end{array}$$

 

 

 

만약 행렬 $A$ 의 고유값이 중복된 값을 갖는다면 이에 해당하는 선형 독립인 고유벡터를 몇 개 얻을 수 있는지 따져봐야 한다. 예를 들어서 행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$ 가 3개의 중복된 고유값 ${\lambda }_m$ 를 갖는다고 할 때, 이 고유값에 해당하는 고유벡터가 ${\mathbf{v}}_1$ 밖에 없다면,

 

$$\begin{array}{}\text{(27)}& A{\mathbf{v}}_1={\lambda }_m{\mathbf{v}}_1\end{array}$$

 

2개의 일반화(generalized) 고유벡터를 더 구해야 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(28)}& & A{\mathbf{v}}_2={\lambda }_m{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_1\\ & A{\mathbf{v}}_3={\lambda }_m{\mathbf{v}}_3+{\mathbf{v}}_2\end{array}$$

 

그러면

 

$$\begin{array}{r}\text{(29)}& & A\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_m& 1& 0\\ 0& {\lambda }_m& 1\\ 0& 0& {\lambda }_m\end{array}\right]\\ & AT=TJ\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $J$ 는 조단 표준형이다. 이 경우 식 (10)에 의해서 지수함수는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(30)}& e^{At}=T\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{m}t}& t{e}^{{\lambda }_{m}t}& \frac{t^2}{2}{e}^{{\lambda }_{m}t}\\ 0& e^{{\lambda }_{m}t}& t{e}^{{\lambda }_{m}t}\\ 0& 0& e^{{\lambda }_{m}t}\end{array}\right]T^{-1}\end{array}$$

 

만약 고유값에 해당하는 고유벡터가 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 등 2개가 있다면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(31)}& & A{\mathbf{v}}_1={\lambda }_m{\mathbf{v}}_1\\ & A{\mathbf{v}}_2={\lambda }_m{\mathbf{v}}_2\end{array}$$

 

1개의 일반화(generalized) 고유벡터를 더 구해야 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(32)}& A{\mathbf{v}}_3={\lambda }_m{\mathbf{v}}_3+{\mathbf{v}}_2\end{array}$$

 

그러면

 

$$\begin{array}{r}\text{(33)}& & A\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_m& 0& 0\\ 0& {\lambda }_m& 1\\ 0& 0& {\lambda }_m\end{array}\right]\\ & AT=T{J}_d\end{array}$$

 

이 된다. 이 경우 지수함수는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(34)}& e^{At}=T\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{m}t}& 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{m}t}& t{e}^{{\lambda }_{m}t}\\ 0& 0& e^{{\lambda }_{m}t}\end{array}\right]T^{-1}\end{array}$$

 

만약 고유값에 해당하는 고유벡터를 3개 모두 구할 수 있다면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(35)}& & A\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_m& 0& 0\\ 0& {\lambda }_m& 0\\ 0& 0& {\lambda }_m\end{array}\right]\\ & AT=T{J}_d\end{array}$$

 

이 되어서 지수함수는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(36)}& e^{At}=T\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{m}t}& 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{m}t}& 0\\ 0& 0& e^{{\lambda }_{m}t}\end{array}\right]T^{-1}=e^{{\lambda }_{m}t}I\end{array}$$

 

행렬 $A$ 의 중복된 고유값이 가질 수 있는 선형 독립인 고유벡터 갯수는 $nullity({\lambda }_{m}I-A)$ 에 달려있다. Nullity는 영공간(null space)의 차원이다.