[Continuous-Time] 관측가능성과 제어가능성의 관계

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}& =A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\\ \mathbf{y}& =C\mathbf{x}+D\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 는 제어입력, $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{R}}^q$ 는 출력이다.

주요 제어가능성(controllability) 정리의 의하면 시스템 $(A,B)$ 가 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 제어가능성 행렬 $Q_c$ 의 랭크(rank)가 $n$ 인 경우이다 (https://pasus.tistory.com/336).

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& rank(Q_c)=rank[BAB{A}^{2}B\cdots A^{n-1}B]=n\end{array}$$

 

여기서 어떤 행렬 $M$ 에 대해서 $rank(M)=rank(M^T)$ 이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& rank(Q_c^T)=rank\left[\begin{array}{c}{B}^T\\ B^T{A}^T\\ B^T{A}^{T2}\\ ⋮\\ B^T{A}^{T(n-1)}\end{array}\right]=n\end{array}$$

 

여기서 유의할 점은 위 식의 행렬은 시스템 $(B^T,A^T)$ 와 관련된 관측가능성 행렬이라는 것이다 (https://pasus.tistory.com/342). 따라서 주요 관측가능성(observability) 정리를 상기하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

1. $(A,B)$ 가 제어가능한 것과 $(B^T,A^T)$ 가 관측가능한 것은 동치이다.
2. $(C,A)$ 가 관측가능한 것과 $(A^T,C^T)$ 가 제어가능한 것은 동치이다.

이것이 의미하는 바는 제어가능성과 관측가능성은 서로 듀얼관계 (duality)를 갖는다는 것이다. 이런 듀얼관계를 이용하면 관측가능성과 관련된 많은 명제들의 증명을 쉽게 할 수 있다. 몇가지를 증명없이 나열하고자 한다.

 

 

1. 만약 관측가능성 행렬의 랭크가 $rank(Q_o)=n_o<n$ 이라면 $n_o$ 차원 관측가능한 부분공간과 $(n-n_o)$ 차원의 관측불가능한 부분공간으로 분할할 수 있다. 또한 시스템을 다음과 같은 구조로 변환하는 변환행렬 $T$ 가 존재한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& \left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{x}}}_o\\ {\dot{\mathbf{x}}}_u\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{A}_{oo}& 0\\ A_{uo}& A_{uu}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_o\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_o\\ B_u\end{array}\right]\mathbf{u}\\ \mathbf{y}& =\left[\begin{array}{cc}{C}_o& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_o\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]+D\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}=T\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_o\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]$, $A_{oo}\in {\mathbb{R}}^{n_o\times n_o}$, $C_o\in {\mathbb{R}}^{p\times n_o}$ 이다. 식 (4)에 의하면 상태변수 ${\mathbf{x}}_u$ 는 시스템의 출력 $\mathbf{y}$ 에 전혀 반영이 되지 않기 때문에 관측불가능한 부분공간의 상태변수가 된다. 한편 식 (4)에서 다음 일부 시스템을 관측가능 서브시스템(observable subsystem)이라고 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& {\dot{\mathbf{x}}}_o& =A_{oo}{\mathbf{x}}_o+B_o\mathbf{u}\\ \mathbf{y}& =C_o{\mathbf{x}}_o+D\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $(C_o,A_{oo})$ 는 관측가능하다. 또한 식 (4)의 특성다항식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& det(\lambda I-A)=det(\lambda I-A_{oo})det(\lambda I-A_{uu})\end{array}$$

 

따라서 시스템 (1)의 고유값은 $A_{oo}$ 의 고유값과 $A_{uu}$ 의 고유값의 합집합이라는 것을 알 수 있다. 여기서 $A_{uu}$ 의 고유값을 관측불가능한 고유값(unobservable eigenvalue)이라고 하고 그에 관련된 운동모드를 관측불가능한 모드라고 한다.

관측불가능한 고유값이 모두 안정하다면 시스템 (1)을 또는 $(C,A)$ 를 검출가능(detectable)한 시스템이라고 말한다. 달리 말하면 불안정한 고유값이 모두 관측가능하다면 검출가능하다고 한다.

식 (4)에서 변환행렬 $T$ 는 관측가능성 행렬 $Q_o$ 를 특이값 분해(singular value decomposition)해서 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& Q_o=U\mathrm{\Sigma }{V}^T\end{array}$$

 

여기서 $U\in {\mathbb{R}}^{nq\times nq}$, $V\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $\mathrm{\Sigma }\in {\mathbb{R}}^{nq\times n}$이고 $T=V$ 로 선택한다.

 

 

2. PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)에 의하면, 어떤 복소수 $\lambda$ 가 다음 랭크 조건을 만족한다면 시스템 $(C,A)$ 의 관측불가능한 고유값이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& rank\left[\begin{array}{c}\lambda I-A\\ C\end{array}\right]<n\end{array}$$

 

3. 시스템 $(C,A)$ 의 관측가능성 그래미안(observability gramian) $W_o$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& W_o(t)={\int }_0^t{e}^{A^T\tau }{C}^{T}C{e}^{A\tau }d\tau \end{array}$$

 

식 (9)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\dot{W}}_o(t)=A^T{W}_o+W_{o}A+C^{T}C,W_o(0)=0\end{array}$$

 

만약 $A$ 가 안정하다면 무한(infinite) 관측가능성 행렬은 다음과 같고,

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& W_o={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{A^{T}t}{C}^{T}C{e}^{At}dt\end{array}$$

 

$W_o$ 는 다음 대수 방정식의 해다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& A^T{W}_o+W_{o}A+C^{T}C=0\end{array}$$

 

또한 무한 관측가능성 그래미안 $W_o>0$ 은 안정한 시스템 $(C,A)$ 의 관측가능성 필요충분 조건이다.

시스템 $(C,A)$ 가 관측가능한 경우, 무한 관측가능성 그래미안과 유한 그래미안의 관계는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& W_o\ge W_o(t)\end{array}$$

 

4. 초기 상태가 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}$ 가 산출하는 출력은 $\mathbf{y}(t)=C{e}^{At}\mathbf{x}$ 이므로 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& \Vert \mathbf{y}{\Vert }^2& ={\int }_0^t{\mathbf{y}}^T(\tau )\mathbf{y}(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t{\mathbf{x}}^T{e}^{A^T\tau }{C}^{T}C{e}^{A\tau }\mathbf{x}dt\\ \\ & ={\mathbf{x}}^T{W}_o(t)\mathbf{x}\end{array}$$

 

이 에너지를 관측 에너지라고 한다. 만약 시스템이 안정하다면, 식 (13)에 의해서 식 (14)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2={\mathbf{x}}^T{W}_o(t)\mathbf{x}\le {\mathbf{x}}^T{W}_o\mathbf{x}\end{array}$$

 

따라서 초기 상태 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}$ 가 산출하는 관측 에너지의 상한(upper bound)은 ${\mathbf{x}}^T{W}_o\mathbf{x}$ 가 된다.