유동장의 시간미분에 대해서

유동장(flow field)은 압력, 밀도, 온도, 속도 등 4개의 파라미터로 정의할 수 있는데 모두 위치와 시간의 함수이다.

 

 

예를 들면 밀도는 기준 좌표계에서의 위치 $(x,y,z)$ 와 함께 시간 $t$ 의 함수로 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \rho =\rho (x,y,z,t)\end{array}$$

 

따라서 어떤 파라미터를 시간으로 미분할 경우 두 종류의 도함수(derivative)가 나온다. 바로 $d/dt$ 와 $\partial /\partial t$ 이다. 두 시간미분의 물리적인 의미를 알아보자.

아래 그림과 같이 어떤 유동장에서 운동하는 유체요소(fluid element)를 생각해보자.

 

 

시간 $t_1$ 일 때 이 유체요소는 위치 $(x_1,y_1,z_1)$ 에 있다고 하자. 그러면 이 유체요소의 속도벡터는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathbf{V}}_1=\mathbf{V}(x_1,y_1,z_1,t_1)\end{array}$$

 

시간이 경과하여 시간 $t_2$ 에서 이 유체요소는 위치 $(x_2,y_2,z_2)$ 로 이동했다고 하자. 그러면 속도벡터는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\mathbf{V}}_2=\mathbf{V}(x_2,y_2,z_2,t_2)\end{array}$$

 

속도벡터는 위치와 시간의 함수이므로 식 (3)을 위치 $(x_1,y_1,z_1)$ 와 시간 $t_1$ 을 기준으로 테일러(Taylor) 시리즈로 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& {\mathbf{V}}_2& ={\mathbf{V}}_1+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}\right)}_1(x_2-x_1)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}\right)}_1(y_2-y_1)\\ & +{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}\right)}_1(z_2-z_1)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)}_1(t_2-t_1)+\cdots \end{array}$$

 

식 (4)의 양변을 $t_2-t_1$ 으로 나누면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \frac{{\mathbf{V}}_2-{\mathbf{V}}_1}{t_2-t_1}& ={\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}\right)}_1\left(\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\right)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}\right)}_1\left(\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}\right)\\ & +{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}\right)}_1\left(\frac{z_2-z_1}{t_2-t_1}\right)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)}_1\end{array}$$

 

여기서 고차항은 무시했다. 이제 위 식의 양변에 극한 시간 $t_2\to t_1$ 을 취한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \underset{t_2\to t_1}{lim}\frac{{\mathbf{V}}_2-{\mathbf{V}}_1}{t_2-t_1}& ={\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}\right)}_1\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\right)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}\right)}_1\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}\right)\\ & +{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}\right)}_1\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{z_2-z_1}{t_2-t_1}\right)+{\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)}_1\end{array}$$

 

식 (6)의 왼쪽항은 유체요소가 공간상을 운동하며 위치 $1$ 을 통과할 때 속도의 순간적인 시간 변화율을 나타내는 것으로서, 미분의 정의대로 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{d\mathbf{V}}{dt}=\underset{t_2\to t_1}{lim}\frac{{\mathbf{V}}_2-{\mathbf{V}}_1}{t_2-t_1}\end{array}$$

 

식 (6)의 오른쪽에서 마지막 항 ${\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)}_1$ 은 고정된 위치 $1$ 에서의 속도의 시간 변화율을 나타낸다.

두 개는 물리적으로 서로 다른 양이다. 만약 관찰자가 유체요소의 운동을 계속 따라가며 관찰한다고 할 때, 유체요소가 위치 $1$ 을 통과하면서 속도가 바뀌는 양은 $\frac{d\mathbf{V}}{dt}$ 에 해당한다. 반면에 관찰자가 유체요소 대신에 고정된 위치 $1$ 을 관찰한다고 하면, 유동장의 일시적인 변동으로 인해 생기는 속도의 변화는 ${\left(\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)}_1$ 에 해당한다.

전자와 같이 특정 유체요소를 따라가며 유체요소의 변화를 관찰하는 접근방법을 라그랑지 방법(Lagrangian method)이라고 하고, 후자와 같이 고정된 점에서 유동장의 변화를 관찰하는 방법을 오일러 방법(Eulerian method)이라고 한다.

식 (6)에서 미분의 정의에 의하면 속도벡터의 각 축 성분은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & u=\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\right)\\ & v=\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}\right)\\ \\ & w=\underset{t_2\to t_1}{lim}\left(\frac{z_2-z_1}{t_2-t_1}\right)\end{array}$$

 

식 (7)과 (8)을 이용하면 식 (6)은 다음과 같이 일반적인 형태로 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& \frac{d\mathbf{V}}{dt}& =\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}u+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}v+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}w+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\\ & =(\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{V}+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\end{array}$$

 

식 (9)는 속도벡터 뿐만 아니라 유동장의 모든 파라미터에도 적용되므로 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{d}{dt}=(\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla })+\frac{\partial }{\partial t}\end{array}$$

 

식 (10)에서 $\frac{d}{dt}$ 를 물질미분(material derivative), 라그랑지 미분(Lagrange derivative) 또는 실질미분(substantial derivative)이라고 한다. 이 미분은 운동하는 유체요소의 총 시간 변화율을 나타낸다.

$(\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla })$ 는 대류미분(convective derivative)이라고 하는데, 유체요소가 다른 한 위치에서 다른 위치로 이동하면서 생기는 시간 변화율을 나타낸다.

$\frac{\partial }{\partial t}$ 는 로컬미분(local derivative)이라고 하며 어떤 고정된 위치에서의 시간 변화율을 나타낸다.