Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙으로부터 유도될 수 있다. 공기를 비롯한 유체는 고체와 달리 정해진 모양이 없기 때문에 뉴톤 제2법칙을 적용하기 위해서는 특별한 아이디어가 필요하다.
공기와 같은 속도로 움직이는 미소 유체요소(infinitesimal fluid element)를 생각해보자. 이 유체요소는 일정한 질량을 가지고 있으며, 질량을 유지하기 위해서 부피는 변할 수 있다고 가정한다. 이 유체요소를 질점으로 보면 뉴톤 제2법칙을 적용할 수 있다.
이 유체요소에 작용하는 힘은 체적력(body force), 압력, 그리고 점성력(viscous force)이 있다. 먼저 체적력에는 대표적으로 중력이 있으며 이밖에 관성력과 전자기력 등이 있다. 체적력
가 된다. 여기서
압력은 유체요소의 표면에 작용하는 표면력(surface force)으로서 표면에 수직으로 작용한다. 먼저 그림에 표시된 대로
점성력도 유체요소의 표면에 작용하는 표면력으로서 표면에 수직으로 작용하는 수직응력(normal stress)과 평행하게 작용하는 전단응력(shear stress)로 나눠진다.
먼저 그림에 표시된 대로
한편 유체요소의 가속도를 속도를 미분해서 계산할 수 있다. 먼저
위 식은 속도벡터
유체요소의 질량
이 성립한다. 식 (1), (2), (3), (5)를 식 (6)에 대입하고
위 식에 의하면 미지수가
유체의 점성은 유체의 변형에 대항하는 저항력과 같은 역할을 하는데 전단응력이 유체의 점성과 관련이 있다. 아래 그림과 같이 물체의 표면 주위를 흐르는 유체는 점성 때문에 표면에서는 속도가
속도가 느린 유동층은 속도가 빠른 유동층에 힘을 가하여 속도가 느려지게 하고, 반대로 속도가 빠른 층은 속도가 느린 층에 반대의 힘을 가하여 속도가 느려지게 하는데 이와 같은 속도의 차이 때문에 전단응력이 발생하게 된다.
뉴톤유체(Newtonian fluid)는 전단응력
여기서 비례상수
식 (7)의 유체가 뉴톤유체라는 가정을 하면 다음 식이 추가로 얻어진다.
한편, 수직응력은 점성력뿐만 아니라 유체요소가 일정한 질량을 유지하기 위한 팽창과 수축 과정에서의 저항력도 고려해야 하므로 다음과 같은 관계식을 갖는다.
여기서
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