Navier-Stokes 방정식 - 2

Navier-Stokes 방정식은 비선형 연립 편미분 방정식으로서 이 방정식의 해가 항상 존재하는지 여부도 아직 증명되지 않은 밀레니엄 문제 7개 중의 하나로 꼽힌다. 극히 단순한 경우를 제외하고는 해석적인 해가 존재하지 않을 뿐만 아니라, 수치해(numerical solution) 마저 구하기가 매우 어렵다.

 

 

비압축성(incompressible) 유체를 가정한다면 밀도 \(\rho\) 는 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \tag{1} \]

 

식 (1)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식에서 \(x\) 축 성분은 다음과 같이 간략화된다.

 

\[ \begin{align} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla u \right) &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \tag{2} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ +\mu \frac{\partial }{\partial z} \left( \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} +\mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial w}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } + \rho f_x \end{align} \]

 

비슷한 방법으로 \(y, z\) 축 성분을 계산하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla v \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial z^2 } + \rho f_y \tag{3} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla w \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2 } + \rho f_z \end{align} \]

 

식 (2)와 (3)을 벡터 형식으로 바꿔 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{V} + \rho \ \mathbf{f} \tag{4} \]

 

식 (4)는 비압축성 유동의 Navier-Stokes 방정식이다.

 

 

만약 비점성 유동이라면 Navier-Stokes 방정식에서 점성계수를 모두 \(0\) 으로 놓으면 된다. 그러면 다음과 같이 된다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} \right) = -\nabla p + \rho \ \mathbf{f} \tag{5} \]

 

위 식을 오일러 방정식(Euler's equation)이라고 한다.

식 (5)에서 다음과 같은 관계식을 이용하면,

 

\[ (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{V} = \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V}\cdot \mathbf{V}) + (\nabla \times \mathbf{V}) \times \mathbf{V} \tag{6} \]

 

식 (5)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V}) = \mathbf{V}\times \mathbf{\omega} - \frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{f} \tag{7} \]

 

여기서 \( \mathbf{\omega}= \nabla \times \mathbf{V} \) 는 vorticity이다.

만약 유동이 비점성, 비회전(irrotational)에다가 정상상태(속도가 위치만의 함수인 경우)이고 체적력이 보존력(conservative force)이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V}) = - \frac{\nabla p}{\rho} - \nabla U \tag{8} \]

 

여기서 \(U\) 는 포텐셜 에너지(potential energy) 함수다.

만약 유동이 비점성, 비회전, 정상상태에다가 비압축성이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \nabla \left( \frac{1}{2} (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} ) + \frac{p}{\rho} + U \right) = 0 \tag{9} \]

 

그리고 보존력이 중력이라면 다음 식이 성립한다.

 

\[ \frac{1}{2} \rho V^2 + p + \rho gh = const \tag{10} \]

 

여기서 \(g\) 는 중력 가속도이고 \(h\) 는 기준선에서의 높이다.

 

 

식 (10)을 베르누이 방정식(Bernoulli's equation)이라고 한다.