Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현

Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.

 

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla u \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \tag{1} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla v \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+\rho f_y \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla w \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} +\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}+\rho f_z \end{align} \]

 

여기서 \(\mathbf{f}=f_x \mathbf{i}+ f_y \mathbf{j}+f_z \mathbf{k}\) 는 단위 질량당 체적력, \(\mathbf{V}=u \mathbf{i}+ v \mathbf{j}+w \mathbf{k}\) 는 위치 및 시간 \((x, y, z, t)\) 에서의 속도벡터, \(\tau_{ij}\) 는 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)이다.

 

 

식 (1)을 벡터 형태로 표현하기 위해서 다음과 같이 응력(stress)을 다이아딕 텐서 (dyadic tensor)로 표기해 보자.

 

\[ \begin{align} \tau = & \ \ \ \ \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{2} \\ \\ & + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} \\ \\ & + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} \end{align} \]

 

그러면 \(\nabla \cdot \tau \) 는 다음과 같은 벡터로 계산된다.

 

\[ \begin{align} \nabla \cdot \tau &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot ( \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} ) \\ \\ &= \left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) \mathbf{j} \\ \\ & \ \ \ + \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \right) \mathbf{k} \end{align} \]

 

식 (3)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식인 식 (1)을 다음과 같이 벡터 형태로 간단하게 표현할 수 있다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p+\nabla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{4} \]

 

한편 단위 다이아딕(unit dyadic) \(\bar{\mathbf{I}}\) 를 다음과 정의하면

 

\[ \bar{\mathbf{I}} = \mathbf{ii}+ \mathbf{jj}+ \mathbf{kk} \tag{5} \]

 

식 (4)에 있는 \(\nabla p\) 를 단위 다이아딕을 이용하여 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

 

\[ \nabla p= \nabla \cdot p \bar{\mathbf{I}} \tag{6} \]

 

식 (6)을 (4)에 대입하면 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = \nabla \cdot \sigma + \rho \mathbf{f} \tag{7} \]

 

식 (7)을 코시 운동량 방정식(Cauchy momentum equation)이라고 한다. 위 식에서 \(\sigma\) 를 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \sigma = -p \bar{\mathbf{I}}+ \tau \tag{8} \]

 

압력 \(p\) 도 표면력으로서 수직응력처럼 표면에 수직으로 작용하는데, 식 (8)에 의하면 압력을 수직응력에 포함시켜 표현한 것이다.

뉴톤유체(Newtonian fluid) 가정을 도입하면 응력과 속도 변화율 사이에 다음과 같은 비례관계가 성립한다.

 

\[ \begin{align} & \tau_{xy}=\tau_{yx} = \mu \left( \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y} \right) \tag{9} \\ \\ & \tau_{xz}=\tau_{zx} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{yz}=\tau_{zy} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{\partial v}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{xx} = \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} \\ \\ & \tau_{yy} = \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial v}{\partial y} \\ \\ & \tau_{zz} = \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial w}{\partial z} \end{align} \]

 

여기서 \(\lambda\) 는 제2의 점성계수 또는 체적 점성계수이다.

 

 

식 (9)를 응력 다이아딕 텐서로 표현하기 위해서 먼저 다음과 같이 다이아딕 \(\nabla \mathbf{V}\) 를 계산해 보자.

 

\[ \begin{align} \nabla \mathbf{V} &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) (u \mathbf{i} + v \mathbf{j} +w \mathbf{k} ) \tag{10} \\ \\ &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ij} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ik} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ji} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{jk} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ki} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{kj} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

 

다이아딕 \(\nabla \mathbf{V}\) 의 전치(transpose) \((\nabla \mathbf{V})^T\) 는 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \begin{align} (\nabla \mathbf{V})^T &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ji} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ki} \tag{11} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ij} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{kj} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ik} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{jk} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

 

식 (10)과 (11)을 이용하면 응력 다이아딕 텐서 \(\tau\) 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \tau =\mu \left( \nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \tag{12} \]

 

식 (12)를 식 (4)에 대입하면 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) \tag{13} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = - \nabla p +\nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]

 

한편, 비압축성(incompressible) 유동은 밀도 \(\rho\) 가 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \nabla \cdot \mathbf{V} =0 \tag{14} \]

 

식 (14)를 식 (13)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 된다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p +\nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{15} \]

 

식 (15)의 오른쪽항에서 텐서항을 더 전개하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \nabla \cdot \left[ \mu (\nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T ) \right] & = \mu \nabla^2 \mathbf{V} + \mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{V} ) \tag{16} \\ \\ &= \mu \nabla ^2 \mathbf{V} \end{align} \]

 

식 (16)을 식 (15)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{17} \]

 

 

 

정리하면 다음과 같다.

일반적인 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p+\nabla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{18} \]

 

뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) \tag{19} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = - \nabla p +\nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]

 

비압축성 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p +\nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf{V}+( \nabla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{20} \end{align} \]

 

또는

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{21} \]

 

이다.