Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현

Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \rho (\frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }u)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}+\rho f_x\\ & \rho (\frac{\partial v}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }v)=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}+\rho f_y\\ \\ & \rho (\frac{\partial w}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }w)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zz}}{\partial z}+\rho f_z\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{f}=f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}+f_z\mathbf{k}$ 는 단위 질량당 체적력, $\mathbf{V}=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k}$ 는 위치 및 시간 $(x,y,z,t)$ 에서의 속도벡터, ${\tau }_{ij}$ 는 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)이다.

 

 

식 (1)을 벡터 형태로 표현하기 위해서 다음과 같이 응력(stress)을 다이아딕 텐서 (dyadic tensor)로 표기해 보자.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& \tau =& {\tau }_{xx}\mathbf{ii}+{\tau }_{xy}\mathbf{ij}+{\tau }_{xz}\mathbf{ik}\\ & +{\tau }_{yx}\mathbf{ji}+{\tau }_{yy}\mathbf{jj}+{\tau }_{yz}\mathbf{jk}\\ \\ & +{\tau }_{zx}\mathbf{ki}+{\tau }_{zy}\mathbf{kj}+{\tau }_{zz}\mathbf{kk}\end{array}$$

 

그러면 $\mathrm{\nabla }\cdot \tau$ 는 다음과 같은 벡터로 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& \mathrm{\nabla }\cdot \tau & =(\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k})\cdot ({\tau }_{xx}\mathbf{ii}+{\tau }_{xy}\mathbf{ij}+{\tau }_{xz}\mathbf{ik}\\ & +{\tau }_{yx}\mathbf{ji}+{\tau }_{yy}\mathbf{jj}+{\tau }_{yz}\mathbf{jk}+{\tau }_{zx}\mathbf{ki}+{\tau }_{zy}\mathbf{kj}+{\tau }_{zz}\mathbf{kk})\\ \\ & =(\frac{\partial {\tau }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z})\mathbf{i}+(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z})\mathbf{j}\\ \\ & +(\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zz}}{\partial z})\mathbf{k}\end{array}$$

 

식 (3)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식인 식 (1)을 다음과 같이 벡터 형태로 간단하게 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \tau +\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

한편 단위 다이아딕(unit dyadic) $\overline{\mathbf{I}}$ 를 다음과 정의하면

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \overline{\mathbf{I}}=\mathbf{ii}+\mathbf{jj}+\mathbf{kk}\end{array}$$

 

식 (4)에 있는 $\mathrm{\nabla }p$ 를 단위 다이아딕을 이용하여 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathrm{\nabla }p=\mathrm{\nabla }\cdot p\overline{\mathbf{I}}\end{array}$$

 

식 (6)을 (4)에 대입하면 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

식 (7)을 코시 운동량 방정식(Cauchy momentum equation)이라고 한다. 위 식에서 $\sigma$ 를 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sigma =-p\overline{\mathbf{I}}+\tau \end{array}$$

 

압력 $p$ 도 표면력으로서 수직응력처럼 표면에 수직으로 작용하는데, 식 (8)에 의하면 압력을 수직응력에 포함시켜 표현한 것이다.

뉴톤유체(Newtonian fluid) 가정을 도입하면 응력과 속도 변화율 사이에 다음과 같은 비례관계가 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& & {\tau }_{xy}={\tau }_{yx}=\mu (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})\\ & {\tau }_{xz}={\tau }_{zx}=\mu (\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})\\ \\ & {\tau }_{yz}={\tau }_{zy}=\mu (\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})\\ \\ & {\tau }_{xx}=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})+2\mu \frac{\partial u}{\partial x}\\ \\ & {\tau }_{yy}=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})+2\mu \frac{\partial v}{\partial y}\\ \\ & {\tau }_{zz}=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})+2\mu \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}$$

 

여기서 $\lambda$ 는 제2의 점성계수 또는 체적 점성계수이다.

 

 

식 (9)를 응력 다이아딕 텐서로 표현하기 위해서 먼저 다음과 같이 다이아딕 $\mathrm{\nabla }\mathbf{V}$ 를 계산해 보자.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& \mathrm{\nabla }\mathbf{V}& =(\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k})(u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k})\\ & =\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{ii}+\frac{\partial v}{\partial x}\mathbf{ij}+\frac{\partial w}{\partial x}\mathbf{ik}\\ \\ & +\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{ji}+\frac{\partial v}{\partial y}\mathbf{jj}+\frac{\partial w}{\partial y}\mathbf{jk}\\ \\ & +\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{ki}+\frac{\partial v}{\partial z}\mathbf{kj}+\frac{\partial w}{\partial z}\mathbf{kk}\end{array}$$

 

다이아딕 $\mathrm{\nabla }\mathbf{V}$ 의 전치(transpose) $(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T$ 는 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T& =\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{ii}+\frac{\partial v}{\partial x}\mathbf{ji}+\frac{\partial w}{\partial x}\mathbf{ki}\\ & +\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{ij}+\frac{\partial v}{\partial y}\mathbf{jj}+\frac{\partial w}{\partial y}\mathbf{kj}\\ \\ & +\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{ik}+\frac{\partial v}{\partial z}\mathbf{jk}+\frac{\partial w}{\partial z}\mathbf{kk}\end{array}$$

 

식 (10)과 (11)을 이용하면 응력 다이아딕 텐서 $\tau$ 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \tau =\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})\overline{\mathbf{I}}\end{array}$$

 

식 (12)를 식 (4)에 대입하면 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& & \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})\\ & =-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot [\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})\overline{\mathbf{I}}]+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

한편, 비압축성(incompressible) 유동은 밀도 $\rho$ 가 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V}=0\end{array}$$

 

식 (14)를 식 (13)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \left[\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)\right]+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

식 (15)의 오른쪽항에서 텐서항을 더 전개하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& \mathrm{\nabla }\cdot [\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)]& =\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{V}+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})\\ & =\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{V}\end{array}$$

 

식 (16)을 식 (15)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{V}+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

 

 

정리하면 다음과 같다.

일반적인 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \tau +\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(19)}& & \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})\\ & =-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot [\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})\overline{\mathbf{I}}]+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

비압축성 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V}=0\\ \\ \text{(20)}& & \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \left[\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)\right]+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

또는

 

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{V}+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

이다.