Vorticity 미분 방정식

VPM (Vortex Particle Method)은 비압축성 유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 풀기 위한 효율적인 수치 기법으로서, 격자가 필요 없기 (meshless) 때문에 유한체적법 (FVM, finite volume method)과 같은 기존의 격자(mesh) 기반 수치 기법에 대한 대안으로서 주목받고 있다.

 

 

VPM은 Vorticity 미분 방정식을 지배 방정식으로 사용하기 때문에 이를 유도해 보고자 한다.

 

 

먼저 체적력을 무시할 수 있을 때 비압축성(incompressible) 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \tag{1} \\ \\ & \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+( \mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{V} = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \mathbf{V} \end{align} \]

 

여기서 \(\nu = \frac{\mu}{\rho}\) 는 kinematic viscosity 이다. 다음과 같은 관계식을 이용하면,

 

\[ (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{V} = \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} )+ ( \nabla \times \mathbf{V}) \times \mathbf{V} \tag{2} \]

 

식 (1)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} )+ ( \nabla \times \mathbf{V}) \times \mathbf{V} = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \mathbf{V} \tag{3} \]

 

여기서 vorticity는 \(\mathbf{\omega}= \nabla \times \mathbf{V}\) 로 정의되므로 위 식에 대입하면,

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ \frac{1}{2} \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} )+ \mathbf{\omega} \times \mathbf{V} = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \mathbf{V} \tag{4} \]

 

이 된다. 식 (4)의 양변에 curl을 취하면,

 

\[ \begin{align} & \nabla \times \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ \frac{1}{2} \nabla \times \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} )+ \nabla \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{V} ) \tag{5} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - \nabla \times \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla \times \nabla^2 \mathbf{V} \end{align} \]

 

이 되는데, 여기서

 

\[ \begin{align} & \nabla \times \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} \tag{6} \\ \\ & \nabla \times \nabla (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} ) = 0 \\ \\ & \nabla \times \nabla p =0 \end{align} \]

 

이므로 식 (5)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} +\nabla \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{V} ) = \nu \nabla \times \nabla^2 \mathbf{V} \tag{7} \]

 

또한 다음과 같은 관계식을 이용하면,

 

\[ \begin{align} \nabla \times \nabla^2 \mathbf{V} &= \nabla^2 (\nabla \times \mathbf{V} ) \tag{8} \\ \\ &= \nabla^2 \mathbf{\omega} \end{align} \]

 

식 (7)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} +\nabla \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{V} ) = \nu \nabla^2 \mathbf{\omega} \tag{9} \]

 

한편, 식 (9)의 왼쪽의 두번째 항을 전개하면,

 

\[ \begin{align} \nabla \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{V} ) &= \mathbf{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{V} )- \mathbf{V} (\nabla \cdot \mathbf{\omega}) \tag{10} \\ \\ & \ \ \ \ \ + (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{\omega} -(\mathbf{\omega} \cdot \nabla ) \mathbf{V} \end{align} \]

 

이 되는데, 비압축성 유체 가정에 의해서 \(\nabla \cdot \mathbf{V}=0\) 이고, \(\nabla \cdot \mathbf{\omega} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{V})=0\) 이므로, 식 (10)은 다음과 같이 간략화 된다.

 

\[ \nabla \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{V} ) = (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{\omega} -(\mathbf{\omega} \cdot \nabla ) \mathbf{V} \tag{11} \]

 

식 (11)을 식 (9)에 대입하면,

 

\[ \frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{\omega} = (\mathbf{\omega} \cdot \nabla ) \mathbf{V} + \nu \nabla^2 \mathbf{\omega} \tag{12} \]

 

이 된다. VPM은 격자(mesh) 대신에 대량의 입자(particle)를 생성하여 그 운동을 시뮬레이션하기 때문에 라그랑지 방법을 적용할 수 있도록 식 (13)을 물질미분(material derivative)으로 바꿔줘야 한다. 그러면 최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

\[ \frac{d \mathbf{\omega}}{dt} = (\mathbf{\omega} \cdot \nabla ) \mathbf{V} + \nu \nabla^2 \mathbf{\omega} \tag{13} \]

 

식 (13)을 vorticity 미분 방정식 또는 수송 방정식 (transport equation)이라고 한다.

식 (13)의 오른쪽에서 첫번째 항을 vorticity 변형율 (deformation rate) 또는 vortex stretching (와류 연장)이라고 하고, 두번째 항을 점성 확산 (viscous diffusion)이라고 한다.